Сложное показательное уравнение. Показательные уравнения
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Уравнения, часть $С$
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.
Схема решения сложных уравнений:
- Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
- Решить уравнение.
- Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.
ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно - числовую запись):
1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.
${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$
2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.
$√{g(x)}; g(x) ≥ 0$.
3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.
${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$
4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.
$log_{f(x)}g(x)\table\{\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$
Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b∙log_{c}d=log_{c}b∙log_{a}d$, если $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$
5. $c^(log_{a}b)=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
$log_{2}x=log_{2}2^3$
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
Ответ: $х = 8$
Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем ОДЗ:
$\table\{\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$
$log_{3}(x^2-3x-5)=log_{3}(7-2x)$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
Проверим найденные корни по условиям $\table\{\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
Ответ: $х=-3$
- Метод замены переменной.
В данном методе надо:
- Записать ОДЗ уравнения.
- По свойствам логарифмов добиться того, чтобы в уравнении получились одинаковые логарифмы.
- Заменить $log_{a}f(x)$ на любую переменную.
- Решить уравнение относительно новой переменной.
- Вернутся в п.3, подставить вместо переменной значение и получить простейшее уравнение вида: $log_{a}x=b$
- Решить простейшее уравнение.
- После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо поставить их в п.1 и проверить условие ОДЗ.
Решите уравнение $log_{2}√x+2log_{√x}2-3=0$
1. Запишем ОДЗ уравнения:
$\table\{\ х>0,\text"так как стоит под знаком корня и логарифма";\ √х≠1→х≠1;$
2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:
$log_{2}√x+{2}/{log_{2}√x}-3=0$
4. Получим дробно - рациональное уравнение относительно переменной t
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.
${t^2+2-3t}/{t}=0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$t^2+2-3t=0$, $t≠0$
5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:
$log_{2}√x=1$, $log_{2}√x=2$
Прологарифмируем правые части уравнений
$log_{2}√x=log_{2}2$, $log_{2}√x=log_{2}4$
Приравняем подлогарифмические выражения
$√x=2$, $√x=4$
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат
$х_1=4$, $х_2= 16$
7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.
$\{\table\ 4 >0; \4≠1;$
Первый корень удовлетворяет ОДЗ.
$\{\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $4; 16$
- Уравнения вида $log_{a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.
Дробно рациональные уравнения
- Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
- Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.
Показательные уравнения
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n·a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n∙m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Виды показательных уравнений:
1. Простые показательные уравнения:
а) Вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $а >0, a≠1, x$ - неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.
b) Уравнение вида $a^{f(x)}=b, b>0$
Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается
$log_{a}a^{f(x)}=log_{a}b$
2. Метод уравнивания оснований.
3. Метод разложения на множители и замены переменной.
- Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.
- Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t > 0$.
- Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
- Делаем обратные замену с учетом того, что $t >
Решите уравнение $2^{3x}-7·2^{2x-1}+7·2^{x-1}-1=0$
По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.
$(2^x)^3-{7·(2^x)^2}/{2}+{7·2^x}/{2-1}=0$
Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$
Получаем кубическое уравнение вида
$t^3-{7·t^2}/{2}+{7·t}/{2}-1=0$
Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей
$2t^3-7·t^2+7·t-2=0$
Разложим левую часть уравнения методом группировки
$(2t^3-2)-(7·t^2-7·t)=0$
Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$
$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$
Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов
$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$
Решим первое уравнение
Решим второе уравнение через дискриминант
$D=25-4·2·2=9=3^2$
$t_2={5-3}/{4}={1}/{2}$
$t_3={5+3}/{4}=2$
$2^x=1; 2^x={1}/{2}; 2^x=2$
$2^x=2^0; 2^x=2^{-1}; 2^x=2^1$
$х_1=0; х_2=-1; х_3=1$
Ответ: $-1; 0; 1$
4. Метод преобразования в квадратное уравнение
- Имеем уравнение вида $А·a^{2f(x)}+В·a^{f(x)}+С=0$, где $А, В$ и $С$ - коэффициенты.
- Делаем замену $a^{f(x)}=t, t > 0$.
- Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
- Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.
Способы разложения на множители:
- Вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:
- Определить общий множитель.
- Разделить на него данный многочлен.
- Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).
Разложить на множители многочлен: $10a^{3}b-8a^{2}b^2+2a$.
Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:
$10a^{3}b-8a^{2}b^2+2а=2a({10a^{3}b}/{2a}-{8a^{2}b^2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a^{2}b-4ab^2+1)$
Это и есть конечный результат разложения на множители.
Применение формул сокращенного умножения
1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Метод группировки
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Произведение данных скобок - это конечный результат разложения на множители.
С помощью формулы квадратного трехчлена.
Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена
Сборник для решения показательных уравнений
Введение
В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: - приведения алгоритма решения показательных уравнений; - при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; - при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.
Цель данного сборника: изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и начала анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения»;
Проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;
Систематизировать методы решения показательных уравнений;
Систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Пособие содержит два раздела. В первом разделе определяются показательное уравнение, свойства степеней, типы показательных уравнений и методы их решения с образцами решения. Во втором разделе представлены ряд примеров встречаемые в заданиях ЕГЭ. В конце предоставлены ответы к этим заданиям. Данное пособие можно использовать как на занятиях, так и для индивидуального обучения, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по теме: «Показательные уравнения».
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, называется показательным.
Должны помнить! При решении показательных уравнений часто используется:.
1. Теорема: если a 0 ;, a ≠ 1 и = , то = .
2. Свойства степеней: a x * a y = a x + y = = * ( x = , ( y = ,
a - x = ; a 0 = 1, a 1 = a .
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы решения.
1. Простейшее показательное уравнение вида:
a x = b , где a 0; b 0, a ≠ 1, имеет решение x = .
Пример 1. Решите уравнение 2 x = 3.
Решение:
x
=
Ответ:
2. Для решения уравнений вида: a f ( x ) = b , где a 0; b 0, a ≠ 1, нужно представить основания а в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели.
Пример 2. Решите уравнение 5 2х+4 = 25.
3. Показательное уравнение вида
a f ( x ) = a ȹ( x ) , a 0, a ≠ 1
решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а . Равносильное ему уравнение
f (x ) = ȹ(x ).
Пример 3. Решите уравнение 6 2х – 8 = 216 х
Решение. 6 2х – 8 = 6 3х, т.к. 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6
2х – 3х = 8
Пример 4. (ЕГЭ) Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения 0,1х-1 = 16.
1). (-1;1]; 3). (-3; -1];
2). (1;10]; 4). (16; 20].
Решение. Представим числа и 16 в виде степени числа 2:
2 -5 и 16 = 2 4
Получим уравнение, равносильное данному:
(2 -5) 0,1х-1 = 2 4, т.е. 2 -5 (0,1х - 1) = 2 4 .
Такое уравнение равносильно уравнению
5(0,1х - 1) = 4
0,5х = 4 – 5
Число 2 содержится в промежутке (1;10], указанном в качестве одного из вариантов ответов. Следовательно, верный ответ 2.
Пример 4. (ЕГЭ) Найдите сумму квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х .
1) 26 2) 25 3) 17 4)13.
Решение. Используя свойства степеней, преобразуем правую часть уравнения: 9 -2х = (3 2) -2х = 3 -4х
Данное уравнение примет вид: -5 = 3 -4 .
Из свойств монотонности показательной функции следует, что показательные уравнение равносильно уравнению
х 2 – 5 = -4х.
Решим квадратное уравнение х 2 + 4х -5 = 0
D = b 2 – 4ac
D = 4 2 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, уравнение имеет два корня:
Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению полученные корни являются конями и данного уравнения. В прочем можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа -5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х равна (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.
Номер верного ответа - 1
4. Уравнение вида a 0 a 2x + a 1 a x + a 2 = 0.
Это уравнение называется трёхчленным показательным уравнением. Подставка a x = y обращает его в обычное квадратное уравнение a 0 y 2 x + a 1 y + a 2 = 0 . Решив его, найдем корни y 1 и y 2 . После этого решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений a x = y 1 , a x = y 2 . Последние уравнения имеют решение при y 1 0 и y 2 0 .
Пример 5. Решить уравнение 2 2 x - 2 x - 2=0.
Решение. Пусть 2 x = y, тогда уравнение примет вид
y 2 – y – 2 = 0
D = (-1) 2 – 41 (-2) = 9 0, 2 корня
a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, нет решения, т.к. -1
Пример 6. Решить уравнение 9 x – 3 x – 6 = 0
Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9 x = 3 2 x = (3 x) 2 . Тогда исходное уравнение примет вид (3 x) 2 – 3 x – 6 = 0. Обозначим 3 x = y, тогда имеем y 2 – y – 6 = 0
y 1 = 3; y 2 = -2.
a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – нет решения, т.к. -2
5. Уравнение вида
Это уравнение решается путём вынесения общего множителя за скобки.
Пример 7. Решить уравнение
2 x +1 + 32 x -1 – 52 x + 6 = 0
Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2 x -1 , получим
2 x -1 (2 2 + 3 – 52) = -6
2 x -1 (-3) = -6
2 x -1 = -6: (-3)
6. Уравнение вида , где f(x) – выражение, содержащее неизвестное число; a 0; a ≠ 1.
Для решения таких уравнений надо:
1. заменить 1 = a 0 ; a f (x) = a 0 ;
2. решить уравнение f (x) = 0
Пример 8. Решить уравнение
По определению степени с нулевым показателем имеем:
x 2 – 7x + 12 = 0, (т.к. 1 = 2 0)
D = b 2 – 4ac
Решая квадратное уравнение, получим: x 1 = 3, x 2 = 4.
Ответ: 3; 4.
7. Уравнение вид
Это уравнение приводится к трёхчленному показательному уравнению путём деления обеих частей на a x или b x .
Пример 9. Решите уравнение 9 x + 6 x = 2 2 x +1
Решение. Перепишем уравнение в виде 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.
Разделив обе части уравнения на 2 2 x ≠ 0, получим
Пусть, тогда уравнение примет вид
y 2 + y -2 = 0 . Решая квадратное уравнение получим = -2 , = 1.
а) - нет решения, т.к. -2
Примеры.
I. Решить уравнения:
31. 0,5 x +7 0.5 1-2 x = 2
32. 0,6 x 0,6 3 =
34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108
35. 2 x +1 + 2 x -1 + 2 x = 28
36. 2 3 x +2 – 2 3 x -2 = 30
37. 3 x -1 – 3 x + 3 x +1 = 63
40. 7 x – 7 x-1 = 6
41. 5 3x + = 140
42. 3 2y-1 +3 2y-2 -3 2y-4 = 315
43. 2 x+1 + 32 x-1 -52 x + 6 =0
44. 9 x - 43 x +3 =0
45. 16 x -174 x +16 =0
46. 25 x – 65 x + 5 =0
47. 64 x – 8 x – 56 =0
48. 84 x – 62 x + 1 =0
50. 13 2 x +1 – 13 x - 12 = 0
II . (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения:
1. 3 4 x +5 = 81
1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]
2. 4 5 x -8 = 64
1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]
3. 6 3 x +5 = 36
1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)
6. 6 10 x -1 = 36
1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)
1) [-1;1] 2) (1;2) 3)
10. 5 2 x +1 = 125
1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)
11. 2 5 x +1 = 4
1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)
1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)
13. 6 2 x +2 = 216
1) 2) 3) [-2;0] 4)
14. 7 2 x +2 = 343
1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)
15. 3 3 x +3 = 9
1) [-1;1] 2) 3) 4)
16. 2 3 x +1 = 8
1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)
1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)
18. 0,1 2 x = 100 3 x +1
1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)
19. 0.2 x -0.5 = 0.04 x -1
1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)
20. 0.008 x = 5 1-2 x
1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)
III. Найдите сумму квадратов корней уравнения
1) 9 2) 0 3) 4 4)
1) 9 2) 1 3) 8 4)
1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04
1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25
1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25
1) 26 2) 25 3) 17 4) 13
1) 9 2) 0 3) 4 4)
1) 9 2) 1 3) 8 4)
Ответы
I. Решить уравнения
II . (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень уравнения
III . Найдите сумму квадратов корней уравнения
Дополнительные примеры:
1. 4 3-2 x = 4 2- x
2. 2 5 x +1 = 4 2 x
3. 5 3 = 25 x +0,5
8. 5 x -4 = 25 2
11. 4 x +2 x -24 = 0
12. 9 x – 4 * 3 x – 45 = 0
13. 4 x – 3 * 2 x = 40
14. 2 4 x – 50 * 2 2 x = 896
15. 7 2 x – 6 * 7 x – 7 = 0
16. 9 x – 8 * 3 x – 9 = 0
17. 16 x + 4 * 4 x – 5 = 0
18. 4 x -9 * 2 x + 8 = 0
19. 36 x – 4 * 6 x – 12 = 0
20. 64 x – 8 x – 56 = 0
21. 7 x +2 + 4 * 7 x +1 = 539
22. 2 x +1 + 3 * 2 x -1 – 5 * 2 x + 6 = 0
23. 7 x + 7 x +2 = 350
24. 7 * 5 x – 5 x +1 = 2 * 5 3
25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21
26. 5 1+2 x + 5 2 x +3 = 650
27. 6 x +1 + 35 * 6 x -1 = 71
28. 4 x +1 +4 x = 320
29. 3 x +1 – 2 * 3 x -2 = 25
30. 2 3 x +2 – 2 3 x -2 = 30
33. 4 x = 5 – x
35. 2 -3 x = 2x – 3
36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0
37. 2 * 2 2 x – 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x =0
38. 3 * 16 x + 2 * 81 x = 5 * 36 x
39. 3 * 4 2 x – 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0
40. 6 * 4 x – 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0
41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 – 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2
42. 4 x + 3 x -1 = 4 x -1 + 3 x +2
44. 7 x -5 * – 49 * + 3 * 7 x -5 = 147
45. 3 * 2 x +1 +2 * 5 x -2 = 5 x + 2 x -2
47. 0,125 * 2 -4х-16 =
51. (0,2) х+0,5 = (0,04) х
53. 32 (х+8)(х-4) = 0,25 *
54. 5 х+1 = 5 х-1
55. 7 х+1 - 7 х + 2 * 7 х-1 – 14 * 7 х-2 = 48
56. 3 2х-1 – 9 х + = 675
57. 5 2х-1 + 5 х+1 = 250
58. – 5 * + 4 = 0
59. 2 2+х + 2 2-х = 17
60. 2 х+1 * 5 х = 10 х+1 * 5 х+2
61. 2 х * 5 х-1 = 200
64. 7 х+1 + 3 * 7 х = 3 х+2 + 3 х
65. 9 х – 5 х – 3 2х * 15 + 5 х+1 * 3 = 0
66. 25 х – 7 х – 7 * 5 2х+1 + 5 * 7 х+1 = 0
67. 9 х + 6 х – 2 * 4 х = 0
68. 4 * 2 2х – 6 х = 18 * 9 х
69. 4 х = 2 * 10 х + 3 * 25 х
70. 64 * 9 -х – 84 * 12 -х + 27 * 16 -х = 0
72. 8 х + 8 = 3 * 4 х + 3 * 2 х+1
73. 3 -12х-1 – 9 -6х-1 – 27 -4х-1 + 81 1-3х = 2192
Заключение
Подведя итоги можно сделать следующие выводы:
1, Показательные уравнения представляют интерес для обучающихся. При решении показательных уравнений развиваются навыки систематизации, логического мышления при выборе правильного метода решения, повышает творческие и умственные способности.
2. Для каждого вида уравнений трудности могут возникнуть при определения метода решения.
В курсе алгебры и начала анализа, в заданиях ЕГЭ часто встречаются показательные уравнения. На уроках на изучение этой темы уделяется мало времени, в учебниках показаны не все методы решения показательных уравнений, приведено мало примеров для самостоятельного решения. По этому данное пособие поможет обучающимся глубже вникнуть в решение, усвоить программный материал данной темы для успешной сдачи письменного экзамена за курс общеобразовательной школы, а также для желающих при сдаче ЕГЭ.
Литература
Математика в таблицах и схемах. Для школьников и абитуриентов. СПб, ООО «Виктория плюс», 2004, 224 с.
Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.
Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. - М.: Просвещение, 1991. -208 с.
Готовимся к единому государственному экзамену. Математика/ J1.0. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др. - 2 -е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004,- 120 с.
Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Типовые тестовые задания: Учебно - практическое пособие / Л.Д Лаппо, М.А. Попов. - М.: Издательство «Экзамен», 2004 - 48 с.
Единый государственный экзамен: математика: 2004 - 2005: Контрол. измерит, материалы / Л. О. Денищева, Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С. Ковалёвой; М - во образования и науки Рос. Федерации. Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки. - М. : Просвещение, 2005. - 80 с.
Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004 - 2005 / Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. - М.6 Изд - во Эксмо, 2005.- 80 с. (Подготовка к ЕГЭ)
а) Решите уравнение: .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение задачи
Данный урок показывает, как грамотно использовать замену в показательном уравнении, как решить простейшее тригонометрическое уравнение и определить его корни, принадлежащие определенному промежутку. Первая часть задачи – решение показательного уравнения. Для этого выполняется замена и получается дробно-рациональное уравнение, решение которого возможно несколькими способами: приведение к квадратному уравнению или подбором. В данном случае оба способа приемлемы, так как уравнение не очень сложное. После получения корней выполняем обратную замену и получаем два простейших тригонометрических уравнения вида sina=t. Корни данного уравнения находятся по стандартным формулам. Для того, чтобы определить лишние корни в решении наиболее оптимальным является использование единичной окружности, с отмеченными на ней корнями уравнения. Таким образом мы получаем общее решение уравнения – ответ на пункт а) задачи. Для ответа на пункт б) необходимо правильно учесть промежуток и рассчитать корни. В данном случае это сделать очень легко, так как все корни легко отметить на единичной окружности и найти их значение, используя периодичность синуса и косинуса (не следует забывать, что период синуса и косинуса 2π). Решение получено.
Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении темы «Тригонометрические уравнения» («Арксинус», «Арксинус и решение уравнения sina=t»); для учащихся 11-х классов при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции» («Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения», «Показательные уравнения»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Тригонометрические уравнения», «Показательная и логарифмическая функции».
