Арифметика от какого. Из истории возникновения понятия натурального числа. Что такое ментальная арифметика

С арифметики начинается знакомство с математикой. С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености».

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы-алгебру, анализ математический и т.д Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н. э.

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н. э.). Пифагорейцы преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.), Улугбека - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры, в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основное арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики - число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики - научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т.п. В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можйо описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: a + b = b + а, можно выразить специальными терминами.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;


часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;


«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);


«формальную арифметику» - часть математической логики, занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;


«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математик и

/Энциклопедический словарь юного математика, 1989/

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 211 имени Л.И. Сидоренко

г. Новосибирска

Исследовательская работа:

Ментальная арифметика развивает ли умственные способности ребёнка?

Секция «Математика»

Проект выполнила:

Климова Руслана

ученица 3 «Б» класса

МАОУ СОШ № 211

имени Л.И. Сидоренко

Руководитель проекта:

Васильева Елена Михайловна

Новосибирск 2017

Введение 3

2. Теоретическая часть

2.1 История арифметики 3

2.2 Первые устройства для счета 4

2.3 Абакус 4

2.4 Что такое ментальная арифметика? 5

3. Практическая часть

3.1 Занятия в школе ментальной арифметики 6

3.2 Выводы по занятиям 6

4. Выводы по проекту 7,8

5. Список используемой литературы 9

1.ВВЕДЕНИЕ

Прошлым летом мы с бабушкой и мамой посмотрели передачу «Пусть говорят», где 9-летний мальчик - Данияр Курманбаев из Астаны, считал в уме (ментально) быстрее калькулятора, проделывая при этом манипуляции пальцами обеих рук. И в передаче рассказали об интересной методике развития умственных способностей – о ментальной арифметике.

Меня это поразило и мы с мамой заинтересовались данной методикой.

Оказалось, что в нашем городе есть 4 школы, где обучают ментально считать задачи и примеры любой сложности. Это «Абакус», «АмаКидс», «Пифагорка», «Менар». Занятия в школах недешевые. Мы с родителями выбирали школу, чтобы она была недалеко от дома, занятия были не очень дорогие, чтобы были реальные отзывы о программе преподавания, а также сертифицированные преподаватели. По всем параметрам подходила школа «Менар».

Я попросила маму записать меня в эту школу, так как очень хотела научиться считать быстро, повысить успеваемость в школе и открыть для себя что-то новое.

Методике ментальной арифметике больше пятисот лет. Эта методика – система устного счёта. Обучение ментальной арифметике проводится во многих странах мира - в Японии, США и Германии, Казахстане. В России её только начинают осваивать.

Цель проекта: выяснить:

ментальная арифметика развивает ли умственные способности ребенка?

Объект проекта: ученица 3 «Б» класса МАОУ СОШ № 211 Климова Руслана.

Предмет исследования: ментальная арифметика - система устного счета.

Задачи исследования:

Узнать, как происходит обучение по ментальной арифметике;

Разобраться, ментальная арифметика развивает ли мыслительные способности ребёнка?

Выяснить, можно ли обучиться ментальной арифметике самостоятельно в домашних условиях?

2.1 ИСТОРИЯ АРИФМЕТИКИ

В каждом деле нужно знать историю его развития.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте.

Арифметика изучает числа и действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящие к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.

Название «арифметика» происходит от греческого слова (арифмос) - число.

Возникновение арифметики связано с трудовой деятельностью людей и с развитием общества.

Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений мы изучаем, начиная с начальных классов. Все эти правила не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Арифметика возникла из повседневной жизни людей.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя - бизона или лося - приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.

Основной объект арифметики – число.

2.2 ПЕРВЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ СЧЕТА

Люди издавна старались облегчить себе счет с помощью разных средств и приборов. Первой, самой древней «счетной машиной» были пальцы рук и ног. Этого простого устройства вполне хватало – например, для подсчета убитых всем племенем мамонтов.

Потом появилась торговля. И древние торговцы (вавилонские и других городов) производили расчеты при помощи зерен, камешков и раковин, которые в стали выкладывать на специальной доске, названной абаком.

Аналогом абака в древнем Китае был счетный прибор «су-анпан», в древнем Китае - японские счеты, называемые «соробаном».

Русские счеты впервые появились в России в XVI веке. Они представляли собой доску с нанесенными на ней параллельными прямыми. Позднее вместо доски стали употреблять раму с проволоками и косточками.

2.3 АБАКУС

Слово «абак» (абакус) означает счётная доска.

Давайте рассмотрим современный абакус…

Чтобы научиться пользоваться счетами, необходимо знать, что они из себя представляют.

Счеты состоят из:

• разделительной полосы;

  верхних косточек;

  нижних косточек.

Посередине находится центральная точка. Верхние косточки обозначают пятерки, а нижние – единицы. Каждая вертикальная полоса косточек, начиная справа налево, обозначает один из разрядов цифр:

• десятки тысяч и т. д.

Например, чтобы отложить пример: 9 - 4=5, необходимо на первой линии справа придвинуть верхнюю косточку (она обозначает пятерку) и поднять 4 нижние косточки. Затем опустить 4 нижние косточки. Так мы получаем требуемое число 5.

Умственные способности детей развиваются благодаря умению считать в уме. Для тренировки обоих полушарий нужно постоянно заниматься, решая арифметические задачки. Через короткое время ребенок уже будет решать сложные задачи, не пользуясь калькулятором.

2.4 ЧТО ТАКОЕ МЕНТАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА?

Ментальная арифметика – это методика развития умственных способностей детей от 4 до 14 лет. Основа ментальной арифметики – это счёт на абакусе. Ребенок считает на счетах обеими руками, делая вычисления в два раза быстрее. На счетах дети не только складывают и вычитают, но и учатся умножать и делить.

Ментальность - это мыслительная способность человека.

Во время уроков математики развивается только левое полушарие мозга, отвечающее за логическое мышление, а правое развивают такие предметы, как литература, музыка, рисование. Есть специальные техники обучения, которые направлены на развитие обоих полушарий. Учёные говорят, что успеха добиваются те люди, у которых полностью развиты оба полушария головного мозга. У многих людей более развито левое полушарие и менее развито правое.

Есть предположение, что ментальная арифметика позволяет задействовать оба полушария, выполняя вычисления различной сложности.
Использование абакуса заставляет работать левое полушарие - развивает мелкую моторику и позволяет ребенку наглядно увидеть процесс подсчета.
Навыки тренируются постепенно с переходом от простого к сложному. В итоге к концу программы ребенок может в уме складывать, вычитать, умножать и делить трех-, четырехзначные числа.

Поэтому я решила пойти на занятия в школу ментальной арифметики. Так как мне очень хотелось научиться быстро учить стихи, развить свою логику, развить целеустремленность, а также развить некоторые качества своей личности.

3. 1 ЗАНЯТИЯ В ШКОЛЕ МЕНТАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ

Мои уроки ментальной арифметики проходили в классах, оборудованных компьютерами, телевизором, магнитно-маркерной доской и большим учительским абакусом. Около кабинетов на стене висят дипломы об образовании преподавателя и сертификаты педагога, а также патенты на использование международной методики ментальной арифметики.

На пробном занятии учитель мне и моей маме показал нам счеты-абакус, вкратце рассказал, как ими пользоваться и сам принцип счета.

Обучение построено так: один раз в неделю 2 часа я занималась в группе, где было 6 человек. На уроках мы пользовались абакусом (счетами). Передвигая пальчиками (мелкая моторика) косточки на счетах, учились выполнять арифметические операции физически.

На уроке обязательно присутствовала умственная разминка. И всегда были перерывы, на которых мы немного могли перекусить, попить воды или поиграть в игры. Домой нам всегда выдавали листы с примерами, для самостоятельной работы дома.

В 1 месяц обучения я:

познакомилась со счетами. Научилась правильно пользоваться руками при счёте: большим пальцем обеих рук поднимаем костяшки на абакусе, указательными пальцами опускаем костяшки.

Во 2 месяц обучения я:

научилась считать двухэтапные примеры с десятками. На второй спице от крайней правой расположены десятки. При счёте с десятками уже используем большой и указательный пальцы левой руки. Тут такая же техника, как и с правой рукой: большим поднимаем, указательным опускаем.

В 3 месяц обучения я:

решала на абакусе примеры вычитания и сложения с единицами и десятками - трехэтапные.

Решала примеры вычитания и сложения с тысячными - двухэтапные

В 4 месяц обучения:

Познакомилась с ментальной картой. Глядя на карту, я должна была мысленно двигать костяшки и видеть ответ.

Также на занятиях по ментальной арифметике тренировалась работать на компьютере. Там установлена программа, где задается количество чисел для счета. Частота их показа 2 секунды, я смотрю, запоминаю и считаю. Пока считаю на счетах. Дают по 3, 4 и 5 чисел. Числа пока однозначные.

В ментальной арифметике применяется более 20 формул для расчетов (близкие родственники, помощь брата, помощь друга и т.д.), которые нужно запомнить.

3.2 ВЫВОДЫ ПО ЗАНЯТИЯМ

Я занималась по 2 часа в неделю и по 5-10 минут в день самостоятельно в течение 4 месяцев.

Первый месяц обучения	Четвёртый месяц
1.Считаю на абакусе 1 лист (30 примеров)
2. Считаю ментально 1 лист (10 примеров)
3.Учу стихотворение (3-и четверостишия)
	20-30 минут
4.Выполнение домашнего задания (математика: одна задача,10 примеров)
40-50 минут

4. ВЫВОДЫ ПО ПРОЕКТУ

1) Меня заинтересовали логические задачки, головоломки, кроссворды, игры на нахождение отличий. Я стала усидчивей, внимательной и собранной. У меня улучшилась память.

2) Целью ментальной математики является развитие мозга ребенка. Занимаясь ментальной арифметикой мы развиваем свои навыки:

Логику и воображение развиваем, выполняя математические операции сначала на реальном абакусе, а затем воображая абакус в уме. А также решая логические задачи на уроках.

Концентрацию внимания улучшаем, выполняя арифметический счет огромного количества чисел на воображаемых абакусах.

Память улучшается. Ведь все картинки с цифрами, после выполнения математических операций, хранятся в памяти.

Скорость мышления. Все "ментальные" математические операции выполняются на скорости, комфортной для детей, которую постепенно увеличивают и мозг "разгоняется".

3)На уроках в центре учителя создают особую игровую атмосферу и дети иногда даже помимо воли включаются в эту увлекательную среду.

К сожалению, такой интерес к занятиям невозможно реализовать при обучении самостоятельно.

В интернете и на канале YouTube есть много видео-курсов, с помощью которых можно понять, как считать на абакусе.

Обучиться данной методике самостоятельно можно, но будет очень сложно! Сначала необходимо, чтобы мама или папа поняли суть ментальной арифметики - научились сами складывать, вычитать, умножать и делить. Помочь в этом им могут книги и видео. Обучающее видео по урокам демонстрирует в медленном темпе, как работать со счетами. Конечно, видео предпочтительнее, чем книги, так как на нём все наглядно показано. А потом уже объяснили ребенку. Но взрослые очень заняты, поэтому это не вариант.

Без учителя-инструктора тяжело! Ведь учитель в классе следит за правильностью работы обеих рук, поправляет, если нужно. Ещё чрезвычайно важно является - правильная постановка техники счета, а также своевременная корректировка неверных навыков.

Программа 10 - уровневая и рассчитана на 2-3 года, всё зависит от ребенка. Все дети разные, кому-то даётся быстро, а кому-то нужно немножко больше времени на освоение программы.

В нашей школе сейчас тоже есть занятия по ментальной арифметике – это центр «Формула Айкью» при МАОУ СОШ №211 им. Л.И. Сидоренко. Методика ментальной арифметики в этом центре разработана новосибирскими учителями и программистами, при поддержке Департамента Образования Новосибирской области! И я начала посещать занятия в школе, так как это вообще удобно для меня.

Для меня, эта методика, как интересный способ улучшить свою память, повысить концентрацию внимания и развить свои качества личности. И я буду продолжать заниматься ментальной арифметикой!

И может моя работа привлечет других детей к занятиям по ментальной арифметике, что скажется на их успеваемости.

Литература:

Иван Яковлевич Депман. История арифметики. Пособие для учителей. Издание второе, исправленное. М., Просвещение, 1965 - 416 с.

Депман И. Мир чисел М.1966г.

А. Бенджамин. Секреты ментальной математики. 2014. - 247 с. - ISBN: N/A.

«Ментальная арифметика. Сложение и вычитание» Часть 1. Учебное пособие для детей 4-6 лет.

Г.И. Глейзер. История математики, М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

Карпушина Н.М. «Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи. Журнал «Математика в школе» №4, 2008 г. Научно-популярный отдел.

М. Куторги «О счётах у древних греков» («Русский вестник», т. СП, стр. 901 и след.)

Выгодский М.Л. «Арифметика и алгебра в древнем мире» М. 1967г.

ABACUSxle –семинары по ментальной арифметике.

UCMAS-ASTANA- статьи.

Интернет-ресурсы.

Что такое арифметика? Когда человечество начало использовать числа и работать с ними? Куда уходят корни таких обыденных понятий, как числа, сложение и умножение, которые человек сделал неотделимой частью своей жизни и мировоззрения? Древнегреческие умы восхищались такими науками, как и геометрия, как прекраснейшими симфониями человеческой логики.

Возможно, арифметика не так глубока, как другие науки, но что было бы с ними, забудь человек элементарную таблицу умножения? Привычное нам логическое мышление, использующие цифры, дроби и другие инструменты, нелегко давалось людям и долгое время было недоступно для наших предков. Фактически до развития арифметики ни одна область человеческого знания не была по-настоящему научной.

Арифметика - это азбука математики

Арифметика - это наука о числах, с которой любой человек начинает знакомство с увлекательным миром математики. Как говорил М. В. Ломоносов, арифметика - это врата учености, открывающие нам путь к миропознанию. А ведь он прав, разве познание мира можно отделить от знания цифр и букв, математики и речи? Возможно, в былые времена, но не в современном мире, где бурное развитие науки и техники диктует свои законы.

Слово "арифметика" (греч. "арифмос") греческого происхождения, обозначает "число". Она изучает число и все что может быть с ними связано. Это мир чисел: различные действия над числами, числовые правила, решение задач, которые связаны с умножением, вычитанием и т. д.

Основной объект арифметики

Основа арифметики - это целое число, свойства и закономерности которого рассматриваются в высшей арифметике или По сути, от того, насколько верный подход взят в рассмотрении такого небольшого блока, как натуральное число, зависит прочность всего здания - математики.

Поэтому на вопрос о том, что такое арифметика, можно ответить просто: это наука о числах. Да, о привычной семерке, девятке и всем этом разнообразном сообществе. И подобно тому, как и хороших, и самых посредственных стихов не напишешь без элементарной азбуки, без арифметики не решить даже элементарной задачи. Вот почему все науки продвинулись только после развития арифметики и математики, будучи до этого всего лишь набором предположений.

Арифметика - наука-фантом

Что такое арифметика - натуральная наука или фантом? На самом деле, как рассуждали древнегреческие философы, ни чисел, ни фигур в реальности не существует. Это всего лишь фантом, который создается в человеческом мышлении при рассматривании окружающей среды с ее процессами. В самом деле, Нигде вокруг мы не видим ничего подобного, что можно было бы назвать числом, скорее, число - это способ человеческого разума изучать мир. А может быть, это изучение нас самих изнутри? Об этом спорят философы много веков подряд, поэтому дать исчерпывающий ответ мы не беремся. Так или иначе, арифметике удалось настолько прочно занять свои позиции, что в современном мире никто не может считаться социально адаптированным без знания ее основ.

Как появилось натуральное число

Конечно, основной объект, которым оперирует арифметика, - натуральное число, такое, как 1, 2, 3, 4, …, 152... и т.д. Арифметика натуральных чисел является результатом счета обычных предметов, например, коров на лугу. Все-таки определение "много" или "мало" когда-то перестало устраивать людей, и пришлось изобретать более совершенные техники счета.

Но настоящий прорыв случился, когда человеческая мысль дошла до того, что можно одним и тем же числом «два» обозначить и 2 килограмма, и 2 кирпича, и 2 детали. Дело в том, что нужно абстрагироваться от форм, свойств и смысла предметов, тогда можно производить некоторые действия с этими предметами в виде натуральных чисел. Так родилась арифметика чисел, которая дальше развивалась и ширилась, занимая все большие позиции в жизни общества.

Такие углубленные понятия числа, как ноль и отрицательное число, дроби, обозначения чисел цифрами и другими способами, имеют богатейшую и интереснейшую историю развития.

Арифметика и практичные египтяне

Два древнейших спутника человека в исследовании окружающего мира и решении бытовых задач - это арифметика и геометрия.

Считается, что история арифметики берет свое начало на Древнем Востоке: в Индии, Египте, Вавилоне и Китае. Так, папирус Ринда египетского происхождения (назван так, поскольку принадлежал одноименному владельцу), датируемый XX в. до н.э, кроме других ценных данных содержит разложение одной дроби на сумму дробей с разными знаменателями и числителем, равным единице.

Например: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Но в чем смысл такого сложного разложения? Дело в том, что египетский подход не терпел абстрагированных размышлений о числах, наоборот, вычисления производились только с практической целью. То есть египтянин станет заниматься таким делом, как расчеты, исключительно для того, чтобы построить гробницу, например. Нужно было высчитать длину ребра сооружения, и это заставляло садиться человека за папирус. Как видно, египетский прогресс в расчетах был вызван, скорее массовым, строительством, нежели любовью к науке.

По этой причине расчеты, найденные на папирусах, нельзя назвать размышлениями на тему дробей. Скорее всего, это практическая заготовка, которая помогала в дальнейшем решать задачи с дробями. Древние египтяне, не знавшие таблицы умножения, производили довольно длинные вычисления, разложенные на множество подзадач. Возможно, это одна из таковых подзадач. Нетрудно заметить, что расчеты с такими заготовками весьма трудоемки и малоперспективны. Может быть, по этой причине мы не видим большого вклада Древнего Египта в развитие математики.

Древняя Греция и философская арифметика

Многие знания Древнего Востока были успешно освоены древними греками, известными любителями отвлеченных, абстрактных и философских размышлений. Практика их интересовала не меньше, но лучших теоретиков и мыслителей найти сложно. Это пошло на пользу науке, поскольку в арифметику невозможно углубиться, не разорвав ее с реальностью. Конечно, можно умножать 10 коров и 100 литров молока, но далеко продвинуться не удастся.

Мыслящие глубоко греки оставили значительный след в истории, и их труды дошли до нас:

• Евклид и «Начала».
• Пифагор.
• Архимед.
• Эратосфен.
• Зенон.
• Анаксагор.

И, конечно, превращающие все в философию греки, а особенно продолжатели дела Пифагора, настолько были увлечены числами, что считали их таинством гармонии мира. Числа настолько были изучены и исследованы, что некоторым из них и их парам приписывали особые свойства. Например:

• Совершенные числа - те, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого числа (6=1+2+3).
• Дружественные числа - это такие числа, одно из которых равно сумме всех делителей второго, и наоборот (пифагорейцы знали только одну такую пару: 220 и 284).

Греки, считавшие, что науку нужно любить, а не быть с ней ради выгоды, достигли больших успехов, исследуя, играя и складывая числа. Нужно отметить, что не все их изыскания нашли широкое применение, некоторые из них остались лишь "для красоты".

Восточные мыслители Средневековья

Точно так же и в Средние века арифметика своим развитием обязана восточным современникам. Индийцы передали нам цифры, которые мы активно используем, такое понятие как "нуль", и позиционный вариант привычный современному восприятию. От Аль-каши, который в 15 веке работал в Самарканде, мы унаследовали без которых трудно представить современную арифметику.

Во многом знакомство Европы с достижениями Востока стало возможно благодаря труду итальянского ученого Леонардо Фибоначчи, который написал произведение "Книга абака", знакомящее с восточными новшествами. Оно стало краеугольным камнем развития алгебры и арифметики, исследовательской и научной деятельности в Европе.

Российская арифметика

И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году - это была книга об арифметике Леонтия Магницкого. Долгое время она оставалась единственным учебным руководством по математике. Она содержит начальные моменты алгебры и геометрии. Цифры, которые использовал в примерах первый в России учебник арифметики, арабские. Хотя арабские цифры встречались и ранее, на гравюрах, датирующихся 17 веком.

Сама книга украшена изображениями Архимеда и Пифагора, а на первом листе - образ арифметики в виде женщины. Она сидит на престоле, под ней написано на иврите слово, обозначающее имя Бога, а на ступенях, которые ведут к престолу, начертаны слова «деление», «умножение», «сложение» и т. д. Можно только представить, какое значение предавали таким истинам, которые сейчас считаются обыденным явлением.

Учебник из 600 страниц описывает как основы вроде таблицы сложения и умножения, так и приложения к навигационным наукам.

Не удивительно, что автор выбрал изображения греческих мыслителей для своей книги, ведь он и сам был пленен красотой арифметики, говоря: «Арифметика есть числительница, есть художество честное, независтное… ». Такой подход к арифметике вполне обоснован, ведь именно ее повсеместное внедрение можно считать началом бурного развития научной мысли в России и общего образования.

Непростые простые числа

Простое число - это такое натуральное число, которое имеет только 2 положительных делителя: 1 и само себя. Все остальные числа, не считая 1, называют составными. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, и все другие, которые не имеют прочих делителей, кроме числа 1 и себя самого.

Что же касается числа 1, то оно на особом счету - существует уговор, что его нужно считать ни простым, ни составным. Простое на первый взгляд простое число таит множество неразгаданных тайн внутри себя.

Теорема Евклида говорит, что простых чисел бесконечное множество, а Эратосфен придумал специальное арифметическое «решето», которое отсеивает непростые числа, оставляя только простые.

Ее суть в том чтобы подчеркивать первое невычеркнутое число, а в последующем вычеркивать те, которые ему кратны. Многократно повторяем эту процедуру - и получаем таблицу простых чисел.

Основная теорема арифметики

Среди наблюдений о простых числах нужно особым образом упомянуть основную теорему арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое целое число, большее 1, либо является простым, либо его можно разложить на произведение простых чисел с точностью до порядка следования сомножителей, причем единственным образом.

Основная теорема арифметики доказывается достаточно громоздко, да и понимание ее уже не похоже на простейшие основы.

На первый взгляд простые числа - элементарное понятие, однако это не так. Физика также некогда считала атом элементарным, пока не нашла внутри него целую вселенную. Простым числам посвящен прекрасный рассказ математика Дона Цагира «Первые пятьдесят миллионов простых чисел».

От «трех яблочек» до дедуктивных законов

Что поистине можно назвать армированным фундаментом всей науки - это законы арифметики. Еще в детстве все сталкиваются с арифметикой, изучая количество ножек и ручек у кукол, количество кубиков, яблочек и т. д. Так мы изучаем арифметику, которая дальше переходит в более сложные правила.

Вся наша жизнь знакомит нас с правилами арифметики, которые стали для простого человека наиболее полезными из всего, что дает наука. Изучение чисел - это "арифметика-малышка", которая знакомит человека с миром чисел в виде цифр еще в раннем детстве.

Высшая арифметика - дедуктивная наука, которая изучает законы арифметики. Большинство из них нам известно, хотя, возможно, мы и не знаем их точных формулировок.

Закон сложения и умножения

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в виде суммы a+b, которая также будет числом натуральным. Касательно сложения действуют следующие законы:

• Коммутативный , который говорит, что от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется, или a+b= b+a.
• Ассоциативный , который говорит, что сумма не зависит от способа группировки слагаемых местами, или a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Правила арифметики, такие, как сложение, - одни из элементарных, но их используют все науки, не говоря уже о повседневной жизни.

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в произведении a*b или a*b, которое также является числом натуральным. К произведению применимы те же коммутативные и ассоциативные законы, что и к сложению:

• a*b= b* a;
• a*(b*c)= (a* b)* c.

Интересно, что существует закон, который объединяет сложение и умножение, называемый также распределительным, или дистрибутивным законом:

a(b+c)= ab+ac

Этот закон фактически учит нас работать со скобками, раскрывая их, тем самым мы можем работать уже с более сложными формулами. Это именно те законы, которые будут вести нас по причудливому и непростому миру алгебры.

Закон арифметического порядка

Закон порядка человеческая логика использует каждый день, сверяя часы и считая купюры. И, тем не менее, и его нужно оформить в виде конкретных формулировок.

Если мы имеем два натуральных числа a и b, то возможны следующие варианты:

• a равно b, или a=b;
• a меньше b, или a < b;
• a больше b, или a > b.

Из трех вариантов справедливым может быть только один. Основной закон, который управляет порядком, говорит: если a < b и b < c, то a< c.

Существуют также и законы, связывающие порядок с действиями умножения и сложения: если a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Законы арифметики учат нас работать с числами, знаками и скобками, превращая все в стройную симфонию чисел.

Позиционные и непозиционные системы исчисления

Можно сказать, что числа - это математический язык, от удобства которого зависит многое. Существует множество систем исчисления, которые, как и алфавиты разных языков, отличаются между собой.

Рассмотрим системы счисления с точки зрения влияния позиции на количественное значение цифры на этой позиции. Так, например, римская система является непозиционной, где каждое число кодируется определенным набором специальных символов: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Они равны, соответственно, числам 1/ 5/10/50/100/500/1000. В такой системе цифра не изменяет своего количественного определения в зависимости от того, на какой она стоит позиции: первой, второй и т. д. Чтобы получить другие числа, нужно сложить базовые. Например:

• DCC=700.
• CCM=800.

Более привычная для нас система счисления с использованием арабских цифр является позиционной. В такой системе разряд числа определяет количество цифр, например, трехразрядные числа: 333, 567 и т.д. Вес любого разряда зависит от позиции, на которой находится та или иная цифра, например цифра 8 на второй позиции имеет значение 80. Это характерно для десятичной системы, существуют и другие позиционные системы, например двоичная.

Двоичная арифметика

Двоичная арифметика работает с двоичным алфавитом, который состоит всего из 0 и 1. А использование этого алфавита называется двоичной системой исчисления.

Отличие двоичной арифметики от десятичной в том, что значимость позиции слева больше не в 10, а в 2 раза. Двоичные числа имеют вид 111, 1001 и т. д. Как понимать такие числа? Итак, рассмотрим число 1100:

1. Первая цифра слева - 1*8=8, помня о том, что четвертая цифра, а значит, ее нужно умножить на 2, получаем позицию 8.
2. Вторая цифра 1*4=4 (позиция 4).
3. Третья цифра 0*2=0 (позиция 2).
4. Четвертая цифра 0*1=0 (позиция 1).
5. Итак, наше число 1100=8+4+0+0=12.

То есть при переходе на новый разряд слева его значимость в двоичной системе умножается на 2, а в десятичной - на 10. Такая система имеет один минус: это слишком большой рост разрядов, которые необходимы для записи чисел. Примеры представления десятичных чисел в виде двочиных можно посмотреть в следующей таблице.

Десятичные числа в двоичном виде изображены ниже.

Используются также и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы исчисления.

Эта загадочная арифметика

Что такое арифметика, «дважды два» или неизведанные тайны чисел?Как видим, арифметика, может, и кажется на первый взгляд простой, но ее неочевидная легкость обманчива. Ее можно изучать и детям вместе с тетушкой Совой из мультика «Арифметика-малышка», а можно погрузиться в глубоко научные изыскания чуть ли не философского порядка. В истории она прошла путь от счета предметов до поклонения красоте чисел. Одно только точно известно: с установлением основных постулатов арифметики вся наука может опираться на ее крепкое плечо.

Попова Л.А. 1

Кошкин И.А. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Центр образования - гимназия № 1"

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность. Занятия ментальной арифметикой набирают сейчас большую популярность. Благодаря новым методикам обучения, дети быстрее усваивают новую информацию, развивают свой творческий потенциал, учатся решать сложные математические задачи в уме, без использования калькулятора.

Ментальная арифметика - это уникальная методика развития умственных способностей детей от 4 до 16 лет, основанная на системе устного счета. Обучаясь по данной методике, ребенок может решать любые арифметические задачи за несколько секунд (сложение, вычитание, умножение, деление, вычисление квадратного корня числа) в уме быстрее, чем с помощью калькулятора.

Цель работы:

Изучить историю ментальной арифметики

Показать, как можно использовать абакус при решении математических примеров

Разобрать какие есть еще альтернативные способы вычислений, упрощающие счет и делающие его занимательным

Гипотеза:

Предположим, что арифметика может быть занимательной и легкой, можно считать намного быстрее и продуктивнее, используя методы ментальной арифметики и различные приемы

Занятия с китайскими счетами положительно влияют на память, что отражается на усвоении учебного материала. Это касается заучивания стихов и прозы, теорем, различных математических правил, иностранных слов, то есть большого объёма информации.

Методы исследования : поиск в сети Интернет, изучение литературы, практическая работа по освоению абакуса, решению примеров с помощью абакуса,

План выполнения исследования:

Изучить литературу истории арифметики от самых истоков

Изложить принципы вычислений на абакусе

Разобрать, как проходят занятия ментальной арифметикой, и сделать выводы по моим занятиям

Выяснить пользу и разобрать возможные трудности в ментальном счете

Показать, какие еще есть способы вычисления в арифметике

Глава 1. История развития арифметики

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Название «арифметика» происходит от греческого слова «арифмос» — число.

Арифметика изучает числа и действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящие к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.

Возникновение арифметики связано с трудовой деятельностью людей и с развитием общества.

Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений мы изучаем, начиная с начальных классов. Все эти правила не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Арифметика возникла из повседневной жизни людей.

1.1 Первые устройства для счета

Люди издавна старались облегчить себе счет с помощью разных средств и приборов. Первой, самой древней «счетной машиной» были пальцы рук и ног. Этого простого устройства вполне хватало - например, для подсчета убитых всем племенем мамонтов.

Потом появилась торговля. И древние торговцы (вавилонские и других городов) производили расчеты при помощи зерен, камешков и раковин, которые в стали выкладывать на специальной доске, названной абаком.

Аналогом абака в древнем Китае был счетный прибор «су-анпан», Он представляет собой небольшой ящичек удлиненной формы, разделенный по длине на неравные части перегородками. Поперек ящика располагаются прутики, на которые нанизаны шарики.

Японцы не отставали от китайцев и на их примере в XVI веке создали свой прибор для счета - «Соробан». От китайского он отличался тем, что в верхнем отделении прибора было по одному шарику, в то время как в китайской версии их было два.

Русские счеты впервые появились в России в XVI веке. Они представляли собой доску с нанесенными на ней параллельными прямыми. Позднее вместо доски стали употреблять раму с проволоками и косточками.

1.2 Абакус

Примерно в четвертом веке до нашей эры было изобретено первое счетное устройство. Его создатель - ученый Абакус, его именем и был назван прибор. Выглядел он следующим образом: глиняная пластинка с желобами, в которые складывались камни, обозначающие числа. Один желобок предназначался для единиц, а другой для десятков..

Слово «абак» (абакус) означает счётная доска.

Давайте рассмотрим современный абакус…

Чтобы научиться пользоваться счетами, необходимо знать, что они из себя представляют.

Счеты состоят из:

разделительной полосы;

верхних косточек;

нижних косточек.

Посередине находится центральная точка. Верхние косточки обозначают пятерки, а нижние - единицы. Каждая вертикальная полоса косточек, начиная справа налево, обозначает один из разрядов цифр:

десятки тысяч и т. д.

Например, чтобы отложить пример: 9 - 4=5, необходимо на первой линии справа придвинуть верхнюю косточку (она обозначает пятерку) и поднять 4 нижние косточки. Затем опустить 4 нижние косточки. Так мы получаем требуемое число 5.

Глава 2. Что такое ментальная арифметика?

Ментальная арифметика - это методика развития умственных способностей детей от 4 до 14 лет. Основа ментальной арифметики - это счёт на абакусе. Она зародилась в Древней Японии более 2000 лет назад. Ребенок считает на счетах обеими руками, делая вычисления в два раза быстрее. На счетах не только складывают и вычитают, но и учатся умножать и делить.

Ментальность - это мыслительная способность человека.

Во время уроков математики развивается только левое полушарие мозга, отвечающее за логическое мышление, а правое развивают такие предметы, как литература, музыка, рисование. Есть специальные техники обучения, которые направлены на развитие обоих полушарий. Учёные говорят, что успеха добиваются те люди, у которых полностью развиты оба полушария головного мозга. У многих людей более развито левое полушарие и менее развито правое.

Есть предположение, что ментальная арифметика позволяет задействовать оба полушария, выполняя вычисления различной сложности.
Использование абакуса заставляет работать левое полушарие — развивает мелкую моторику и позволяет ребенку наглядно увидеть процесс подсчета.
Навыки тренируются постепенно с переходом от простого к сложному. В итоге к концу программы ребенок может в уме складывать, вычитать, умножать и делить трех-, четырехзначные числа.

Помимо решения примеров без использования записей и черновиков, занятия ментальной арифметикой позволяет:

повышать успеваемость по разным предметам в школе;

разносторонне развиваться от математики до музыки;

быстрее изучать иностранные языки;

стать инициативнее и самостоятельнее;

развивать лидерские качества;

быть уверенными в себе.

воображение: в дальнейшем привязка к счетам ослабляется, что позволяет производить расчеты в уме, работа с воображаемыми счетами;

представление числа воспринимаются не предметно, а образно, формируется образ числа в виде изображения комбинаций косточек;

наблюдательность;

слух, метод активного слушанья улучшает слуховые навыки;

концентрация внимания, а так же увеличивается распределение внимания: одновременная вовлеченность в несколько видов мыслительных процессов.

Занятия ментальной арифметикой не являются непосредственной тренировкой математических навыков. Быстрый счет - это лишь средство и показатель скорости мышления, но не самоцель. Цель ментальной арифметики - развитие интеллектуальных и творческих способностей, а это пригодится и будущим математикам, и гуманитариям. Однако надо быть готовым к тому, что в самом начале обучения нужно будет прикладывать достаточно усилий, старания, усидчивости и внимательности. Могут быть ошибки в вычислениях- поэтому не стоит спешить.

Глава 3. Занятия в школе ментальной арифметики.

Вся программа по освоению устного счета построена на последовательном прохождении двух этапов.

На первом из них происходит ознакомление и овладение техникой выполнения арифметических действий с использованием косточек, во время которых задействованы одновременно две руки. В своей работе ребенок использует абакус. Этот предмет позволяет ему совершенно свободно вычитать и умножать, складывать и делить, вычислять квадратный и кубический корень.

Во время прохождения второго этапа ученики обучаются ментальному счету, который производится в уме. Ребенок перестает постоянно привязываться к абакусу, что также стимулирует и его воображение. Левые полушария детей воспринимают цифры, а правые - образ костяшек. На этом и основана методика ментального счета. Мозг начинает работать с воображаемым абакусом, воспринимая при этом числа в форме картинок. Выполнение же математического счета ассоциируется с движением косточек.

В ментальной арифметике применяется более 20 формул для расчетов (близкие родственники, помощь брата, помощь друга и т.д.), которые нужно запомнить.

Например, Братья в ментальной арифметике - это два числа, при сложении которых получается пять .

Всего 5 Братьев.

1+4 = 5 Брат 1 - 4 4+1 = 5 Брат 4 - 1

2+3 = 5 Брат 2 - 3 5+0 = 5 Брат 5 - 0

3+2 = 5 Брат 3 - 2

Друзья в ментальной арифметике - это два числа, при сложении которых получается десять .

Всего 10 друзей.

1+9 = 10 Друг 1 - 9 6+4 = 10 Друг 4 - 6

2+8 = 10 Друг 2 - 8 7+3 = 10 Друг 7 - 3

3+7 = 10 Друг 3 - 7 8+2 = 10 Друг 8 - 2

4+6 = 10 Друг 4 - 6 9-1 = 10 Друг 9 -1

5+5 = 10 Друг 5 - 5

Глава 4. Мои занятия ментальной арифметикой.

На пробном занятии учитель нам показал нам счеты-абакус, вкратце рассказал, как ими пользоваться и сам принцип счета.

На уроке обязательно присутствовала умственная разминка. И всегда были перерывы, на которых мы немного могли перекусить, попить воды или поиграть в игры. Домой нам всегда выдавали листы с примерами, для самостоятельной работы дома. Так же я тренировалась в специальной программе, где запускались примеры - они мелькали на мониторе с различной скоростью.

В самом начале обучения я:

Познакомилась со счетами. Научилась правильно пользоваться руками при счёте: большим пальцем обеих рук поднимаем костяшки на абакусе, указательными пальцами опускаем костяшки.

Со временем я:

Научилась считать двухэтапные примеры с десятками. На второй спице от крайней правой расположены десятки. При счёте с десятками уже используем большой и указательный пальцы левой руки. Тут такая же техника, как и с правой рукой: большим поднимаем, указательным опускаем.

В 3 месяц обучения:

Решала на абакусе примеры вычитания и сложения с единицами и десятками - трехэтапные.

Решала примеры вычитания и сложения с тысячными - двухэтапные

В дальнейшем:

Познакомилась с ментальной картой. Глядя на карту, я должна была мысленно двигать костяшки и видеть ответ.

Я занималась по 2 часа в неделю и по 5-10 минут в день самостоятельно в течение 4 месяцев.

Первый месяц обучения	Четвёртый месяц
1.Считаю на абакусе 1 лист (30 примеров по 3 слагаемых)
2. Считаю ментально 30 примеров (по 5-7 слагаемых)
3.Учу стихотворение (3-и четверостишия)
4.Выполнение домашнего задания (математика: одна задача,10 примеров)
Похожие публикации Тест на повторение времен группы Present Упражнения на презент симпл онлайн тест Животная клетка – история познания Гаметы образование. Размножение. развитие гамет Где развиваются гаметы в организме животных