Доказательство теоремы Ферма — элементарное, простое, понятное. Фундаментальные исследования Доказательство теоремы ферма есть ли оно

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А n + В n = С n * /1/

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A , B , С .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А , В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n . Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

А n + В n = С n /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А , В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель ( A + B ) n , С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

С n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

гдемножитель D n D

Из уравнения /3/ следует:

Из уравнения /3/ также следует, что число [C n = A n + B n ] при условии, что число С ( A + B ) n . Однако известно, что:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

Дробное число.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

С n = А n + В n = (A+B)

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остаетсяалгебраический множитель ( A + B ).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

A n = C n - B n /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

A n = C n - B n = ( С +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+ B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа A .

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

А n = С n - B n =(С+ B ) n ∙ D n , / 9/

гдемножитель D n должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [А n = С n - B n ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+ B ) n . Однако известно, что:

С n - B n < (С+ B ) n /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

Дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (C n - B n ) раскладывается на алгебраические множители:

C 2 – B 2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2); /15/

C 8 – B 8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2 4 · 3 · 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2 4 · 3 · 23 · 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3 3 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

При заданном показателе степени n , если он четное число, число А n = С n - B n раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

При любом показателе степени n , если он четное число, в алгебраическом выражении (C n - B n ) всегда имеются множители ( C - B ) и ( C + B ) ;

Каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

При заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

Каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

Величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

В состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степениn (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

инженер-механик

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...

Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.

То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?

И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):

А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:

А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказательства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.

Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:

Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау

В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.

В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.

Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправленное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессиональные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного доказательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...

Судя по популярности запроса "теорема Ферма - краткое доказательство", эта математическая проблема действительно многих интересует. Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на краю копии "Арифметики", где он утверждал, что у него было ее решение, оно было слишком велико для того, чтобы поместиться на краю.

Первое успешное доказательство было опубликовано в 1995 году - это было полное доказательство теоремы Ферма, осуществленное Эндрю Уайлсом. Оно было описано как «ошеломляющий прогресс», и привело Уайлса к получению премии Абеля в 2016 году. Будучи описанным относительно кратко, доказательство теоремы Ферма также доказало большую часть теоремы модульности и открыло новые подходы к многочисленным другим проблемам и эффективным методам подъема модульности. Эти свершения продвинули математику на 100 лет вперед. Доказательство малой теоремы Ферма сегодня не является чем-то из ряда вон выходящим.

Неразрешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и поиск доказательства теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики и до полного доказательства великой теоремы Ферма методом деления она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема», одной из особенностей которой является то, что она имеет наибольшее количество неудачных доказательств.

Историческая справка

Пифагорейское уравнение x 2 + y 2 = z 2 имеет бесконечное число положительных целочисленных решений для x, y и z. Эти решения известны как троицы Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на краю книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n является целым числом, большим чем 2. Хотя сам Ферма утверждал, что имеет решение своей задачи, он не оставил никаких подробностей о ее доказательстве. Элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, скорее было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена спустя 30 лет после его смерти. Это уравнение, получившее название «Последняя теорема Ферма», в течение трех с половиной столетий оставалось нерешенным в математике.

Теорема в конечном итоге стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел, и с течением времени последняя теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время, как гипотеза Танияма-Шимура-Вейля и (в конечном счете) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без видимой связи с последней теоремой Ферма. Она сама по себе широко рассматривалась как важная математическая теорема, но при этом считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство великой теоремы Ферма (методом деления и применения сложных математических формул) было осуществлено лишь полвека спустя.

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Полное подтверждение того, что две теоремы были тесно связаны, было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом, который основывался на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилона». Проще говоря, эти работы Фрея, Серра и Рибе показали, что если бы теорема о модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то и доказательство последней теоремы Ферма также рано или поздно будет открыто. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, может также использоваться, чтобы противоречить теореме модульности. Поэтому, если теорема о модульности оказалась истинной, то по определению не может существовать решение, противоречащее последней теореме Ферма, а значит она вскоре должна была быть доказана.

Хотя обе теоремы были сложными проблемами для математики, считающимися нерешаемыми, работа двух японцев стала первым предположением о том, как последняя теорема Ферма могла бы быть продолжена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой было разработано доказательство, а не только исторической странностью, поэтому время, затраченное на ее работу, могло быть оправдано с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось нецелесообразным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из людей, анализировавших первоначальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своего обзора он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что его работа явно содержит пробел. В одной критической части доказательства была допущена ошибка, которая давала оценку для порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флача, была неполной. Ошибка, однако, не сделала его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значительной и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы и которые затрагивали лишь одну часть рукописи. Тем не менее в этой первоначальной работе, опубликованной в 1993 году, действительно не было доказательства великой теоремы Ферма.

Уайлс провел почти год, пытаясь заново найти решение теоремы - сперва в одиночку, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, было тщетным. К концу 1993 года распространились слухи, что при проверке доказательство Уайльса потерпело неудачу, но насколько серьезной была эта неудача, известно не было. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали своей работы, независимо от того, была она выполнена или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать все, чего ему удалось добиться. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс лишь обнаружил дополнительные сложные аспекты в доказательстве великой теоремы Ферма, и наконец-то осознал, насколько сложной она является.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы бросить все и сдаться, и почти смирился с тем, что потерпел неудачу. Он готов был опубликовать свою неоконченную работу, чтобы другие могли на ней основываться и найти, в чем он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, по которым его подход не работал, как вдруг внезапно осознал, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не подключит к процессу доказательства еще и теорию Ивасавы, заставив ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фалтинса) рассмотреть его новую работу, а 24 октября 1994 г. он представил две рукописи - «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых Гекке-алгебр», вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в качестве полнотекстового издания в журнале «Анналы математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и научное сообщество в конце концов их признало. В этих работах была установлена теорема модульности для полустабильных эллиптических кривых - последний шаг к доказательству великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была создана.

История великой проблемы

Решение этой теоремы считалось самой большой проблемой в математике на протяжении многих столетий. В 1816 и в 1850 годах Французская академия наук предложила приз за общее доказательство великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за исследования идеальных чисел, хотя он и не подавал заявку на приз. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок (большую сумму для того времени) Академии наук Геттингена, чтобы эти деньги стали призом за полное доказательство великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, эти правила требовали опубликования доказательства в рецензируемом журнале. Приз должен был присуждаться лишь через два года после публикации. Срок конкурса должен был истечь 13 сентября 2007 - примерно через столетие после своего начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовые деньги Вольфсхеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках премии Абеля за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающей новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

До доказательства Уайлса теорема Ферма, как уже говорилось ранее, считалась абсолютно нерешаемой на протяжении целых столетий. Тысячи неверных доказательств в разное время были представлены комитету Вольфскеля, составив примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только в первый год существования премии (1907-1908) было подано 621 заявок с претензией на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их количество уменьшилось примерно до 3-4 заявок в месяц. По мнению Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, большинство доказательств были основаны на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Эйвса, последняя теорема Ферма установила своеобразный рекорд - это теорема, набравшая наибольшее количество неверных доказательств.

Лавры Ферма достались японцам

Как уже говорилось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма открыли возможную связь между двумя, по-видимому, совершенно разными отраслями математики - эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная в результате их исследований теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) гласит, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой.

Теория первоначально была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Langlands, представляющей собой список важных гипотез, требующих доказательства в будущем.

Даже после серьезного внимания, гипотеза была признана современными математиками как чрезвычайно трудная или, возможно, недоступная для доказательства. Теперь именно эта теорема ждет своего Эндрю Уайлса, который смог бы удивить весь мир ее решением.

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Не смотря на расхожий миф, российский математик Григорий Перельман, при всей своей гениальности, не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Что, впрочем, никак не умаляет его многочисленных заслуг перед научным сообществом.

Ивлиев Ю.А.

Статья посвящена описанию принципиальной математической ошибки, допущенной в процессе доказательства Великой теоремы Ферма в конце ХХ века. Обнаруженная ошибка не только искажает истинный смысл теоремы, но и препятствует развитию нового аксиоматического подхода к исследованию степеней чисел и натурального ряда чисел.

В 1995 году вышла статья , по размеру похожая на книгу и сообщавшая о доказательстве знаменитой Великой (Последней) теоремы Ферма (ВТФ) (об истории теоремы и попытках ее доказать см., например, ). После этого события появилось множество научных статей и научно-популярных книг, пропагандирующих это доказательство, однако ни в одном из этих трудов не была вскрыта принципиальная математическая ошибка в нем, вкравшаяся даже не по вине автора , а по какому-то странному оптимизму, охватившему умы математиков, занимавшихся указанной проблемой и смежными с ней вопросами. Психологические аспекты этого феномена были исследованы в . Здесь же дается детальный анализ произошедшей оплошности, которая носит не частный характер, а является следствием неправильного понимания свойств степеней целых чисел. Как показано в , проблема Ферма коренится в новом аксиоматическом подходе к изучению этих свойств, который до сих пор в современной науке не применялся. Но на его пути встало ошибочное доказательство , предоставившее специалистам по теории чисел ложные ориентиры и уводящее исследователей проблемы Ферма в сторону от ее прямого и адекватного решения. Данная работа посвящена устранению этого препятствия.

1. Анатомия ошибки, допущенной в ходе доказательства ВТФ

В процессе очень длинных и утомительных рассуждений первоначальное утверждение Ферма было переформулировано в терминах сопоставления диофантова уравнения p -ой степени с эллиптическими кривыми 3-его порядка (см. Теоремы 0.4 и 0.5 в ). Такое сопоставление заставило авторов фактически коллективного доказательства в объявить о том, что их метод и рассуждения приводят к окончательному решению проблемы Ферма (напомним, что ВТФ не имела признанных доказательств для случая произвольных целых степеней целых чисел вплоть до 90-х годов прошлого столетия). Целью данного рассмотрения является установление математической некорректности указанного выше сопоставления и, как результат проведенного анализа, нахождение принципиальной ошибки в доказательстве, предъявленном в .

а) Где и в чем ошибка?

Итак, будем идти по тексту , где на с.448 говорится, что после «остроумной идеи» Г.Фрея (G.Frey) открылась возможность доказательства ВТФ. В 1984 году Г.Фрей предположил и

К.Рибет (K.Ribet) позднее доказал, что предполагаемая эллиптическая кривая, представляющая гипотетическое целое решение уравнения Ферма,

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

не может быть модулярной. Однако А.Уайлс (A.Wiles) и Р.Тейлор (R.Taylor) доказали, что всякая полустабильная эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, является модулярной. Отсюда следовал вывод о невозможности целочисленных решений уравнения Ферма и, следовательно, о справедливости утверждения Ферма, которое в обозначениях А.Уайлса записывалось как Теорема 0.5: пусть имеется равенство

u p + v p + w p = 0 (2)

где u, v , w - рациональные числа, целый показатель p ≥ 3; тогда (2) выполняется, только если uvw = 0 .

Теперь, по-видимому, следует вернуться назад и критически осмыслить, почему кривая (1) была априори воспринята как эллиптическая и какова ее реальная связь с уравнением Ферма. Предвидя этот вопрос, А.Уайлс ссылается на работу И.Эллегуарша (Y.Hellegouarch) , в которой тот нашел способ сопоставить уравнению Ферма (предположительно решаемому в целых числах) гипотетическую кривую 3-его порядка. В отличие от Г.Фрея И.Эллегуарш не связывал свою кривую с модулярными формами, однако его метод получения уравнения (1) был использован для дальнейшего продвижения доказательства А.Уайлса.

Остановимся подробнее на работе . Свои рассуждения автор проводит в терминах проективной геометрии. Упрощая некоторые его обозначения и приводя их в соответствие с , находим, что абелевой кривой

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

сопоставляется диофантово уравнение

x p + y p + z p = 0 (4)

где x , y, z - неизвестные целые числа, p - целый показатель из (2), а решения диофантова уравнения (4) α p , β p , γ p используются для записи абелевой кривой (3).

Теперь, чтобы удостовериться в том, что это кривая эллиптическая 3-его порядка, необходимо рассмотреть переменные X и Y в (3) на евклидовой плоскости. Для этого воспользуемся известным правилом арифметики эллиптических кривых: если имеются две рациональные точки на кубической алгебраической кривой и прямая, проходящая через эти точки, пересекает эту кривую еще в одной точке, то последняя также является рациональной точкой. Гипотетическое уравнение (4) формально представляет собой закон сложения точек на прямой. Если сделать замену переменных x p = A, y p = B, z p = C и направить полученную таким образом прямую по оси X в (3), то она пересечет кривую 3-ей степени в трех точках: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0), (X = - γ p , Y = 0), что и отражено в записи абелевой кривой (3) и в аналогичной записи (1). Однако, является ли кривая (3) или (1) на самом деле эллиптической? Очевидно, что нет, потому что отрезки евклидовой прямой при сложении точек на ней взяты в нелинейном масштабе.

Возвращаясь к линейным координатным системам евклидова пространства, получаем вместо (1) и (3) формулы, весьма отличные от формул для эллиптических кривых. Например, (1) может быть следующей формой:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

где ξ p = x, η p = y, и апелляция к (1) в таком случае для вывода ВТФ представляется неправомерной. Несмотря на то, что (1) удовлетворяет некоторым критериям класса эллиптических кривых, все же самому главному критерию быть уравнением 3-ей степени в линейной системе координат оно не удовлетворяет.

б) Классификация ошибки

Итак, еще раз вернемся к началу рассмотрения и проследим, как делается в вывод об истинности ВТФ. Во-первых, предполагается, что существует некое решение уравнения Ферма в положительных целых числах. Во-вторых, это решение произвольно вставляется в алгебраическую форму известного вида (плоскую кривую 3-ей степени) в предположении, что полученные таким образом эллиптические кривые существуют (второе неподтвержденное предположение). В-третьих, поскольку другими методами доказывается, что построенная конкретная кривая немодулярна, то, значит, она не существует. Отсюда следует заключение: целочисленного решения уравнения Ферма нет и, следовательно, ВТФ верна.

В этих рассуждениях есть одно слабое звено, которое после детальной проверки оказывается ошибкой. Эта ошибка совершается на втором этапе процесса доказательства, когда предполагается, что гипотетическое решение уравнения Ферма является одновременно и решением алгебраического уравнения 3-ей степени, описывающего эллиптическую кривую известного вида. Само по себе такое предположение было бы оправданным, если бы указанная кривая действительно являлась эллиптической. Однако, как видно из п.1а), эта кривая представлена в нелинейных координатах, что делает ее «иллюзорной», т.е. реально не существующей в линейном топологическом пространстве.

Теперь надо четко классифицировать найденную ошибку. Она заключается в том, что в качестве аргумента доказательства приводится то, что нужно доказать. В классической логике эта ошибка известна как «порочный круг». В данном случае целочисленное решение уравнения Ферма сопоставляется (по-видимому, предположительно однозначно) с фиктивной, несуществующей эллиптической кривой, а потом весь пафос дальнейших рассуждений уходит на то, чтобы доказать, что конкретная эллиптическая кривая такого вида, полученная из гипотетических решений уравнения Ферма, не существует.

Как же так получилось, что в серьезной математической работе была пропущена столь элементарная ошибка? Наверно, это произошло из-за того, что ранее в математике не изучались «иллюзорные» геометрические фигуры указанного вида. Действительно, кого могла заинтересовать, например, фиктивная окружность, полученная из уравнения Ферма заменой переменных x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C ? Ведь ее уравнение C 2 = A 2 + B 2 не имеет целочисленных решений при целых x, y, z и n ≥ 3 . В нелинейных координатных осях X и Y такая окружность описывалась бы уравнением, по внешнему виду очень похожему на стандартную форму:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

где A и B уже не переменные, а конкретные числа, определяемые указанной выше заменой. Но если числам A и B придать первоначальный вид, заключающийся в их степенном характере, то сразу же бросается в глаза неоднородность обозначений в сомножителях правой части уравнения. Этот признак помогает отличить иллюзию от действительности и перейти от нелинейных координат к линейным. С другой стороны, если рассматривать числа как операторы при их сравнении с переменными, как например в (1), то те и другие должны быть однородными величинами, т.е. должны иметь одинаковые степени.

Такое понимание степеней чисел как операторов позволяет также увидеть, что сопоставление уравнения Ферма иллюзорной эллиптической кривой не является однозначным. Возьмем, к примеру, один из сомножителей в правой части (5) и разложим его на p линейных сомножителей, введя такое комплексное число r, что r p = 1 (см. например ):

ξ p + u p = (ξ + u )(ξ + ru )(ξ + r 2 u )...(ξ + r p-1 u ) (6)

Тогда форму (5) можно представить в виде разложения на простые сомножители комплексных чисел по типу алгебраического тождества (6), однако единственность такого разложения в общем случае стоит под вопросом, что и было в свое время показано Куммером .

2. Выводы

Из предыдущего анализа следует, что так называемая арифметика эллиптических кривых не способна пролить свет на то, где надо искать доказательство ВТФ. После работы утверждение Ферма, кстати, взятое эпиграфом к этой статье, стало восприниматься, как историческая шутка или розыгрыш. Однако на деле оказывается, что пошутил не Ферма, а специалисты, собравшиеся на математический симпозиум в Обервольфахе в Германии в 1984 году, на котором Г.Фрей озвучил свою остроумную идею. Последствия такого неосторожного заявления привели математику в целом на грань утраты ею общественного доверия, что подробно описано в и что с необходимостью ставит перед наукой вопрос об ответственности научных учреждений перед обществом. Сопоставление уравнения Ферма кривой Фрея (1) является «замкóм» всего доказательства Уайлса относительно теоремы Ферма, и, если нет соответствия между кривой Ферма и модулярными эллиптическими кривыми, то значит нет и доказательства.

В последнее время появляются различные интернет-сообщения о том, будто бы некоторые видные математики, наконец-то, разобрались с доказательством Уайлса теоремы Ферма, придумав ему оправдание в виде «минимального» пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Однако никакие новшества не в силах отменить классические результаты, уже добытые человечеством в математике, в частности, тот факт, что хотя любое порядковое число и совпадает с его количественным аналогом, оно не может быть ему заменой в операциях сравнения чисел между собой, а отсюда с неизбежностью следует вывод, что кривая Фрея (1) не является эллиптической изначально, т.е. не является ею по определению.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Ивлиев Ю.А. Реконструкция нативного доказательства Великой теоремы Ферма - Объединенный научный журнал (раздел «Математика»). Апрель 2006 № 7 (167) с.3-9, см. также Працi Луганського вiддiлення Мiжнародноϊ Академiϊ iнформатизацiϊ. Мiнiстерство освiти та науки Украϊни. Схiдноукраϊнський нацiональний унiверситет iм. В.Даля. 2006 № 2 (13) с.19-25.
Ивлиев Ю.А. Величайшая научная афера ХХ века: «доказательство» Последней теоремы Ферма - Естественные и технические науки (раздел «История и методология математики»). Август 2007 № 4 (30) с.34-48.
Эдвардс Г. (Edwards H.M.) Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ. под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир 1980, 484 с.
Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI p.253-263.
Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat´s Last Theorem - Annals of Mathematics. May 1995 v.141 Second series № 3 p.443-551.

Библиографическая ссылка

Ивлиев Ю.А. ОШИБОЧНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УАЙЛСА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА // Фундаментальные исследования. – 2008. – № 3. – С. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (дата обращения: 25.09.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»