सूचना विज्ञान तार्किक समीकरण समाधान विधियों में एकीकृत राज्य परीक्षा। गणित में तर्क समीकरणों को हल करना

कंप्यूटर विज्ञान परीक्षा के खंड ए और बी में कुछ समस्याओं को कैसे हल करें

पाठ संख्या 3. तर्क। तर्क कार्य। समीकरण हल करना

प्रस्तावों के तर्क के लिए बड़ी संख्या में USE कार्य समर्पित हैं। उनमें से अधिकांश को हल करने के लिए, प्रस्तावक तर्क के बुनियादी नियमों को जानना पर्याप्त है, एक और दो चर के तार्किक कार्यों की सत्य सारणी का ज्ञान। मैं प्रस्तावक तर्क के मूल नियम दूंगा।

1. संयोजन और संयोजन की कम्यूटेटिविटी:
   ए ˅ बी ≡ बी ˅ ए
   ए ^ बी ≡ बी ^ ए
2. विघटन और संयोजन के संबंध में वितरण कानून:
   ए (बी ^ सी) ≡ (ए ˅ बी) ^ (ए ˅ सी)
   ए ^ (बी ˅ सी) ≡ (ए ^ बी) ˅ (ए ^ सी)
3. नकारात्मक निषेध:
   (¬a) a
4. संगतता:
   ए ^ a असत्य
5. विशेष तीसरा:
   एक a सच
6. डी मॉर्गन के नियम:
   (ए ˅ बी) a b
   (ए ˄ बी) a b
7. सरलीकरण:
   एक एक एक
   एक एक एक
   एक ˄ सच एक
   एक असत्य असत्य
8. अवशोषण:
   ए (ए ˅ बी) ए
   ए (ए ˄ बी) ए
9. निहितार्थ को बदलना
   ए → बी ए ˅ बी
10. पहचान का परिवर्तन
    ए बी ≡(ए ˄ बी) ˅ (¬a ¬b)

तार्किक कार्यों का प्रतिनिधित्व

n चरों के किसी भी तार्किक फलन - F(x 1 , x 2 , ... x n) को एक सत्य तालिका द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। ऐसी तालिका में चर के 2 n सेट होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए इस सेट पर फ़ंक्शन का मान निर्दिष्ट होता है। यह विधि तब अच्छी होती है जब चरों की संख्या अपेक्षाकृत कम हो। पहले से ही n > 5 के लिए, प्रतिनिधित्व खराब दिखाई देता है।

एक अन्य तरीका यह है कि जाने-माने काफी सरल कार्यों का उपयोग करके किसी सूत्र द्वारा फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाए। फ़ंक्शन सिस्टम (f 1 , f 2 , … f k ) को पूर्ण कहा जाता है यदि कोई तार्किक फ़ंक्शन केवल फ़ंक्शन f i वाले सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

कार्यों की प्रणाली (¬, ˄, ) पूर्ण है। कानून 9 और 10 इस बात के उदाहरण हैं कि किस तरह से निहितार्थ और पहचान को नकार, संयोजन और वियोग के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

वास्तव में, दो कार्यों की प्रणाली भी पूर्ण है - निषेध और संयोजन या नकार और वियोग। प्रतिनिधित्व डी मॉर्गन के नियमों का पालन करते हैं जो निषेध और संयोजन के माध्यम से एक संयोजन को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं और तदनुसार, निषेध और संयोजन के माध्यम से एक संयोजन व्यक्त करते हैं:

(ए ˅ बी) (¬a ¬b)
(ए ˄ बी) (¬a ¬b)

विरोधाभासी रूप से, केवल एक फ़ंक्शन वाला सिस्टम पूरा हो गया है। दो द्विआधारी कार्य हैं - एंटीकॉन्जंक्शन और एंटीडिसजंक्शन, जिसे पियर्स का तीर और शेफ़र का स्ट्रोक कहा जाता है, जो एक खोखले सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं के मूल कार्यों में आमतौर पर पहचान, निषेध, संयोजन और वियोग शामिल होते हैं। में कार्यों का उपयोग करेंइन कार्यों के साथ अक्सर एक निहितार्थ होता है।

आइए तार्किक कार्यों से संबंधित कुछ सरल कार्यों को देखें।

कार्य 15:

सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है। दिए गए तीन कार्यों में से कौन इस खंड से मेल खाता है?

x1	x2	x3	x4	एफ
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

1. (एक्स 1 → एक्स 2) एक्स 3 ˅ एक्स 4
2. (¬X 1 एक्स 2) (¬X 3 एक्स 4)
3. एक्स 1 एक्स 2 (एक्स 3 एक्स 4)

फ़ीचर नंबर 3.

समस्या को हल करने के लिए, आपको बुनियादी कार्यों की सत्य सारणी जानने और संचालन की प्राथमिकताओं के बारे में याद रखने की आवश्यकता है। मैं आपको याद दिला दूं कि संयोजन (तार्किक गुणन) की उच्च प्राथमिकता है और इसे विघटन (तार्किक जोड़) से पहले किया जाता है। गणना करते समय, यह देखना आसान है कि तीसरे सेट पर संख्या 1 और 2 वाले कार्यों का मान 1 है और इस कारण से टुकड़े के अनुरूप नहीं है।

कार्य 16:

निम्नलिखित में से कौन सी संख्या इस शर्त को पूरा करती है:

(अंक, सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू होकर, अवरोही क्रम में जाते हैं) → (संख्या - सम) ˄ (निम्नतम अंक - सम) ˄ (उच्चतम अंक - विषम)

यदि ऐसी कई संख्याएँ हैं, तो सबसे बड़ा संकेत दें।

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

स्थिति संख्या 4 से संतुष्ट है।

पहली दो संख्याएँ इस शर्त को पूरा नहीं करतीं कि सबसे छोटा अंक विषम है। शर्तों का एक संयोजन गलत है यदि संयोजन की शर्तों में से एक गलत है। तीसरी संख्या के लिए, उच्चतम अंक की शर्त पूरी नहीं होती है। चौथे नंबर के लिए संख्या के छोटे और बड़े अंकों पर लगाई गई शर्तें पूरी होती हैं। संयुग्मन का पहला पद भी सत्य है, क्योंकि एक निहितार्थ सत्य है यदि उसका आधार असत्य है, जो यहाँ मामला है।

समस्या 17: दो गवाहों ने इस प्रकार गवाही दी:

पहला गवाह: यदि ए दोषी है, तो बी निश्चित रूप से दोषी है, और सी निर्दोष है।

दूसरा गवाह: दो दोषी हैं। और शेष लोगों में से एक निश्चित रूप से दोषी और दोषी है, लेकिन मैं यह नहीं कह सकता कि वास्तव में कौन है।

सबूतों से ए, बी और सी के दोष के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

उत्तर: गवाही से यह पता चलता है कि ए और बी दोषी हैं, लेकिन सी निर्दोष है।

समाधान: बेशक, सामान्य ज्ञान के आधार पर उत्तर दिया जा सकता है। लेकिन आइए देखें कि यह सख्ती से और औपचारिक रूप से कैसे किया जा सकता है।

पहली बात यह है कि बयानों को औपचारिक रूप देना है। आइए तीन बूलियन चर, ए, बी और सी का परिचय दें, जिनमें से प्रत्येक सत्य है (1) यदि संबंधित संदिग्ध दोषी है। फिर पहले गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी जाती है:

ए → (बी ¬C)

दूसरे गवाह की गवाही सूत्र द्वारा दी गई है:

ए ((बी ¬सी) ˅ (¬बी ˄ सी))

दोनों गवाहों की गवाही को सत्य माना जाता है और संबंधित सूत्रों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है।

आइए इन रीडिंग के लिए एक ट्रुथ टेबल बनाएं:

ए	बी	सी	एफ1	F2	एफ 1 एफ 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

सारांश साक्ष्य केवल एक मामले में सत्य है, जिससे स्पष्ट उत्तर मिलता है - ए और बी दोषी हैं, और सी निर्दोष है।

इस तालिका के विश्लेषण से यह भी पता चलता है कि दूसरे गवाह की गवाही अधिक जानकारीपूर्ण है। उसकी गवाही की सच्चाई से केवल दो बातें चलती हैं। संभावित विकल्पए और बी दोषी हैं और सी निर्दोष हैं, या ए और सी दोषी हैं और बी निर्दोष है। पहले गवाह की गवाही कम जानकारीपूर्ण है - 5 . हैं विभिन्न विकल्पउसकी गवाही के अनुरूप। साथ में, दोनों गवाहों की गवाही संदिग्धों के अपराध के बारे में एक स्पष्ट जवाब देती है।

तर्क समीकरण और समीकरणों की प्रणाली

मान लीजिए F(x 1 , x 2 , …x n) n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण है:

एफ(एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) \u003d सी,

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण के 0 से 2n भिन्न-भिन्न हल हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चरों के वे सभी सेट हैं, जिन पर फलन F का मान सत्य (1) लेता है। शेष समुच्चय C के समीकरण के हल हैं, शून्य. हम हमेशा फॉर्म के केवल समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

एफ (एक्स 1, एक्स 2, … एक्स एन) = 1

वास्तव में, समीकरण दिया गया है:

एफ (एक्स 1, एक्स 2, … एक्स एन) = 0

इस मामले में, आप समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

k तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

एफ 1 (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) \u003d 1

एफ 2 (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) \u003d 1

एफ के (एक्स 1, एक्स 2, …एक्स एन) = 1

सिस्टम का समाधान चर का एक सेट है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक ऐसा सेट ढूंढना चाहिए, जिस पर तार्किक कार्य Ф सत्य हो, जो मूल कार्यों F के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता हो:

= एफ 1 ˄ एफ 2 ˄… एफ के

यदि चरों की संख्या कम है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो आपको यह कहने की अनुमति देता है कि सिस्टम के कितने समाधान हैं और समाधान देने वाले सेट क्या हैं।

तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान खोजने पर एकीकृत राज्य परीक्षा के कुछ कार्यों में, चर की संख्या 10 के मान तक पहुंच जाती है। फिर एक सत्य तालिका बनाना लगभग असंभव कार्य बन जाता है। समस्या को हल करने के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, नहीं है सामान्य तरीका, जो गणना से अलग है, जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए किया जाता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के सभी प्रकारों की गणना को छोड़कर, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान प्रणाली की बारीकियों के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या को हल करने के लिए एक और उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल वे हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसके एनालॉग - एक बाइनरी निर्णय वृक्ष का निर्माण करेंगे। इस पेड़ की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 होता है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्या के साथ मेल खाती है।

बाइनरी डिसीजन ट्री क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है, मैं कई कार्यों के उदाहरणों के साथ समझाऊंगा।

समस्या 18

बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

हल: समीकरणों के निकाय में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों - x 1 , x 2 , …x 5 के आधार पर पहले समीकरण के हलों की संख्या ज्ञात करें। बदले में पहले समीकरण को 5 समीकरणों की प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - शर्तों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करें (x1→ x2), संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। यहाँ इस पेड़ का ग्राफिक प्रतिनिधित्व कैसा दिखता है:

पेड़ में समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर X 1 का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मूल्यों को दर्शाती हैं - 1 और 0। दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर X 2 के केवल उन संभावित मूल्यों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण मान को सही मानता है। चूंकि समीकरण एक निहितार्थ को परिभाषित करता है, जिस शाखा पर X 1 का मान 1 है, उसके लिए आवश्यक है कि उस शाखा पर X 2 का मान 1 हो। जिस शाखा पर X 1 का मान 0 है, वह X 2 मानों के साथ दो शाखाएँ उत्पन्न करती है जो बराबर होती हैं 0 और 1 निर्मित पेड़ तीन समाधानों को परिभाषित करता है, जिन पर निहितार्थ X 1 → X 2 का मान 1 होता है। प्रत्येक शाखा पर, चर मानों का संगत सेट लिखा होता है, जो समीकरण का समाधान देता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ X 2 → X 3 को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारे समीकरणों की प्रणाली की विशिष्टता यह है कि सिस्टम का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि चर X 2 में पहले से ही वृक्ष में मान हैं, तो उन सभी शाखाओं पर जहाँ चर X 2 का मान 1 है, चर X 3 का भी मान 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, वृक्ष का निर्माण जारी है अगले स्तर, लेकिन कोई नई शाखाएं दिखाई नहीं देती हैं। एकमात्र शाखा जहां चर एक्स 2 का मान 0 है, दो शाखाओं में एक शाखा देगा, जहां चर एक्स 3 को मान 0 और 1 मिलेगा। इस प्रकार, एक नए समीकरण के प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक जोड़ता है समाधान। मूल पहला समीकरण:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
6 समाधान हैं। यहाँ इस समीकरण के लिए पूर्ण निर्णय वृक्ष कैसा दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

अंतर केवल इतना है कि समीकरण Y चर का उपयोग करता है। इस समीकरण के 6 समाधान भी हैं। चूंकि प्रत्येक चर समाधान X i को प्रत्येक चर समाधान Y j के साथ जोड़ा जा सकता है, समाधानों की कुल संख्या 36 है।

ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि स्वयं समाधान भी देता है, जो पेड़ की प्रत्येक शाखा पर लिखा होता है।

समस्या 19

बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

यह कार्य पिछले कार्य का संशोधन है। अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो एक्स और वाई चर से संबंधित होता है।

समीकरण X 1 → Y 1 से यह पता चलता है कि जब X 1 का मान 1 (ऐसा एक समाधान मौजूद है) है, तो Y 1 का मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर X 1 और Y 1 के मान हैं। 1. जब X 1 0 के बराबर हो, Y 1 का कोई भी मान हो, 0 और 1 दोनों। समाधान की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

हल: मूल तुल्यता को याद करते हुए, हम अपने समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) ˄ (एक्स 5 → एक्स 1) = 1

निहितार्थों की एक चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण इसके बराबर है:

एक्स 1 ≡ एक्स 2 ≡ एक्स 3 एक्स 4 एक्स 5 = 1

इस समीकरण के दो हल हैं जब सभी X i या तो 1 या 0 हैं।

समस्या 21

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 → एक्स 3) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 2) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

हल: समस्या 20 की तरह ही, हम समीकरण को इस रूप में फिर से लिखकर चक्रीय निहितार्थों से सर्वसमिकाओं तक ले जाते हैं:

(एक्स 1 → एक्स 2) ˄ (एक्स 2 एक्स 3 ≡ एक्स 4) ˄ (एक्स 4 → एक्स 5) = 1

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने हल हैं?

((एक्स 1एक्स 2) (एक्स 3एक्स 4)) (¬(¬)एक्स 1एक्स 2) (एक्स 3X4)) = 0

((एक्स 3एक्स 4) (X5एक्स 6)) (¬(¬)एक्स 3एक्स 4) (X5एक्स 6)) = 0

((X5एक्स 6) (एक्स 7एक्स 8)) (¬(¬)X5एक्स 6) (एक्स 7X8)) = 0

((एक्स 7एक्स 8) (X9एक्स 10)) (¬(¬)एक्स 7एक्स 8) (X9X10)) = 0

उत्तर: 64

हल: चरों के निम्नलिखित परिवर्तन को प्रस्तुत करके 10 चर से 5 चरों पर जाएँ:

वाई 1 = (एक्स 1 एक्स 2); वाई 2 \u003d (एक्स 3 एक्स 4); वाई 3 = (एक्स 5 एक्स 6); वाई 4 \u003d (एक्स 7 एक्स 8); वाई 5 \u003d (एक्स 9 एक्स 10);

तब पहला समीकरण रूप लेगा:

(वाई 1 वाई 2) (¬वाई 1 वाई 2) = 0

समीकरण को इस प्रकार लिखकर सरल बनाया जा सकता है:

(वाई 1 वाई 2) = 0

पारंपरिक रूप से गुजरते हुए, हम सिस्टम को सरलीकरण के बाद फॉर्म में लिखते हैं:

(वाई 1 वाई 2) = 1

(वाई 2 वाई 3) = 1

(वाई 3 वाई 4) = 1

(वाई 4 वाई 5) = 1

इस प्रणाली के लिए निर्णय वृक्ष सरल है और इसमें दो शाखाएँ होती हैं जिनमें वैकल्पिक चर मान होते हैं:

मूल X चर पर लौटते हुए, ध्यान दें कि Y चर का प्रत्येक मान X चर के 2 मानों से मेल खाता है, इसलिए Y चर में प्रत्येक समाधान X चर में 2 5 समाधान उत्पन्न करता है। दो शाखाएं 2 * 2 5 समाधान उत्पन्न करती हैं , इसलिए समाधानों की कुल संख्या 64 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए प्रत्येक कार्य के लिए अपने स्वयं के दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों को सरल बनाने के लिए समतुल्य परिवर्तन करना एक सामान्य चाल है। निर्णय वृक्षों का निर्माण एक सामान्य तकनीक है। लागू दृष्टिकोण आंशिक रूप से इस विशेषता के साथ एक सत्य तालिका के निर्माण जैसा दिखता है कि चर के संभावित मूल्यों के सभी सेट नहीं बनाए जाते हैं, लेकिन केवल वे जिन पर फ़ंक्शन मान 1 (सत्य) लेता है। अक्सर प्रस्तावित समस्याओं में पूर्ण निर्णय वृक्ष बनाने की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि पहले से ही प्रारंभिक चरण में प्रत्येक अगले स्तर पर नई शाखाओं की उपस्थिति की नियमितता स्थापित करना संभव है, उदाहरण के लिए, समस्या 18 में .

सामान्य तौर पर, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान खोजने की समस्याएं अच्छे गणितीय अभ्यास हैं।

यदि समस्या को मैन्युअल रूप से हल करना मुश्किल है, तो आप समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए एक उपयुक्त प्रोग्राम लिखकर समस्या का समाधान कंप्यूटर को सौंप सकते हैं।

ऐसा प्रोग्राम लिखना आसान है। ऐसा कार्यक्रम परीक्षा में पेश किए जाने वाले सभी कार्यों का आसानी से सामना करेगा।

अजीब तरह से पर्याप्त है, लेकिन तार्किक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान खोजने का कार्य कंप्यूटर के लिए भी मुश्किल है, यह पता चला है कि कंप्यूटर की सीमाएं हैं। एक कंप्यूटर आसानी से उन कार्यों का सामना कर सकता है जहां चर की संख्या 20-30 है, लेकिन यह बड़े कार्यों पर लंबे समय तक सोचना शुरू कर देगा। मुद्दा यह है कि फ़ंक्शन 2 n जो सेटों की संख्या निर्दिष्ट करता है वह एक घातांक है जो n के साथ तेजी से बढ़ता है। इतनी तेजी से कि एक सामान्य पर्सनल कंप्यूटर एक दिन में 40 चरों वाले कार्य को नहीं संभाल सकता।

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए सी # कार्यक्रम

तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना कई कारणों से उपयोगी है, यदि केवल इसलिए कि इसका उपयोग यूएसई परीक्षण समस्याओं के अपने स्वयं के समाधान की शुद्धता की जांच के लिए किया जा सकता है। एक अन्य कारण यह है कि ऐसा प्रोग्राम प्रोग्रामिंग समस्या का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो यूएसई में श्रेणी सी समस्याओं की आवश्यकताओं को पूरा करता है।

एक कार्यक्रम के निर्माण का विचार सरल है - यह चर मूल्यों के सभी संभावित सेटों की पूरी गणना पर आधारित है। चूंकि किसी दिए गए तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के लिए चर n की संख्या ज्ञात है, सेट की संख्या भी ज्ञात है - 2 n जिसे हल करने की आवश्यकता है। सी # भाषा के बुनियादी कार्यों का उपयोग करना - निषेध, संयोजन, संयोजन और पहचान, एक प्रोग्राम लिखना आसान है, जो चर के दिए गए सेट के लिए, तार्किक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप तार्किक फ़ंक्शन के मान की गणना करता है।

इस तरह के एक कार्यक्रम में, आपको सेट की संख्या से एक चक्र बनाने की आवश्यकता है, चक्र के शरीर में, सेट की संख्या से, सेट को स्वयं बनाएं, इस सेट पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करें, और यदि यह मान 1 के बराबर है, तो समुच्चय समीकरण का हल देता है।

कार्यक्रम के कार्यान्वयन में उत्पन्न होने वाली एकमात्र कठिनाई चर मानों के सेट को सेट संख्या द्वारा स्वयं बनाने के कार्य से संबंधित है। इस कार्य की खूबी यह है कि यह प्रतीत होता है कठिन कार्य, वास्तव में, एक साधारण कार्य के लिए आता है जो पहले से ही बार-बार उत्पन्न हुआ है। दरअसल, यह समझने के लिए पर्याप्त है कि संख्या i के अनुरूप चर के मानों का सेट, शून्य और एक से मिलकर, संख्या i के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का प्रतिनिधित्व करता है। तो सेट संख्या द्वारा चर के मूल्यों का एक सेट प्राप्त करने का जटिल कार्य एक संख्या को बाइनरी सिस्टम में परिवर्तित करने की प्रसिद्ध समस्या में कम हो जाता है।

हमारी समस्या को हल करने वाला C# फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:

///

/// समाधानों की संख्या गिनने का कार्यक्रम

/// तार्किक समीकरण (समीकरणों की प्रणाली)

///

///

/// तार्किक कार्य - विधि,

/// जिसका हस्ताक्षर DF प्रतिनिधि द्वारा निर्धारित किया गया है

///

/// चर की संख्या

/// समाधान की संख्या

स्थिर int SolveEquations(DF fun, int n)

बूल सेट = नया बूल [एन];

int m = (int)Math.Pow(2, n); // सेट की संख्या

इंट पी = 0, क्यू = 0, के = 0;

// सेट की संख्या से पूर्ण गणना

के लिए (int i = 0; i< m; i++)

// अगले सेट का गठन - सेट,

// संख्या i . के द्विआधारी प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया

के लिए (int j = 0; j< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

// सेट पर फ़ंक्शन मान की गणना करें

कार्यक्रम को समझने के लिए, मुझे आशा है कि कार्यक्रम के विचार और इसके पाठ में टिप्पणियों की व्याख्या पर्याप्त होगी। मैं केवल उपरोक्त समारोह के शीर्षक की व्याख्या पर ही ध्यान केन्द्रित करूंगा। SolveEquations फ़ंक्शन में दो इनपुट पैरामीटर होते हैं। fun पैरामीटर समीकरण या हल किए जा रहे समीकरणों की प्रणाली के अनुरूप एक तार्किक कार्य निर्दिष्ट करता है। n पैरामीटर फन फंक्शन में वेरिएबल की संख्या निर्दिष्ट करता है। नतीजतन, सॉल्वइक्वेशन फ़ंक्शन तार्किक फ़ंक्शन के समाधानों की संख्या देता है, अर्थात, सेट की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का मूल्यांकन सही होता है।

स्कूली बच्चों के लिए, यह प्रथागत है जब कुछ फ़ंक्शन F(x) के लिए इनपुट पैरामीटर x अंकगणित, स्ट्रिंग या बूलियन प्रकार का एक चर है। हमारे मामले में, अधिक शक्तिशाली डिज़ाइन का उपयोग किया जाता है। SolveEquations फ़ंक्शन उच्च-क्रम के कार्यों को संदर्भित करता है - प्रकार F (f) के कार्य, जिनके पैरामीटर न केवल सरल चर हो सकते हैं, बल्कि कार्य भी कर सकते हैं।

सॉल्वइक्वेशन फ़ंक्शन के पैरामीटर के रूप में पारित किए जा सकने वाले कार्यों का वर्ग निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

प्रतिनिधि बूल डीएफ (बूल वार्स);

इस वर्ग में वे सभी कार्य शामिल हैं जो एक पैरामीटर के रूप में पारित होते हैं जो वर सरणी द्वारा निर्दिष्ट बूलियन चर के मानों का एक सेट होता है। परिणाम इस सेट पर फ़ंक्शन के मान का प्रतिनिधित्व करने वाला एक बूलियन मान है।

अंत में, मैं एक प्रोग्राम दूंगा जिसमें सॉल्वइक्वेशन फ़ंक्शन का उपयोग तार्किक समीकरणों की कई प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है। SolveEquations फ़ंक्शन निम्न ProgramCommon वर्ग का हिस्सा है:

कक्षा कार्यक्रमसामान्य

प्रतिनिधि बूल डीएफ (बूल वार्स);

स्थैतिक शून्य मुख्य (स्ट्रिंग तर्क)

कंसोल.राइटलाइन ("फ़ंक्शन एंड सॉल्यूशंस -" +

हल समीकरण (फनएंड, 2));

Console.WriteLine ("फ़ंक्शन में 51 समाधान हैं -" +

हल समीकरण (Fun51, 5));

Console.WriteLine ("फ़ंक्शन में 53 समाधान हैं -" +

हल समीकरण (Fun53, 10));

स्टेटिक बूल फनएंड (बूल वर्र्स)

वापसी संस्करण && vars;

स्थिर बूल Fun51 (बूल संस्करण)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

स्थिर बूल Fun53 ​​(बूल संस्करण)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

इस कार्यक्रम के समाधान के परिणाम इस प्रकार हैं:

स्वतंत्र कार्य के लिए 10 कार्य

1. तीन कार्यों में से कौन सा समान है:
   1. (एक्स → वाई) Y
   2. (X Y) ˄ (X → Y)
   3. एक्स वाई
2. सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है:

x1	x2	x3	x4	एफ
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

तीन में से कौन सा कार्य इस टुकड़े से मेल खाता है:

1. (एक्स 1 एक्स 2) ˄ (एक्स 3 → एक्स 4)
2. (एक्स 1 → एक्स 3) ˄ एक्स 2 ˅ एक्स 4
3. एक्स 1 एक्स 2 ˅ (एक्स 3 → (एक्स 1 एक्स 4))
4. जूरी में तीन लोग होते हैं। निर्णय तब लिया जाता है जब जूरी का अध्यक्ष कम से कम एक जूरी सदस्यों द्वारा समर्थित उसके लिए वोट करता है। अन्यथा, कोई निर्णय नहीं किया जाता है। एक तार्किक कार्य बनाएँ जो निर्णय लेने की प्रक्रिया को औपचारिक बनाता है।
5. यदि चार सिक्के तीन बार उछाले जाते हैं तो X, Y पर जीत जाता है। अदायगी X का वर्णन करने वाले बूलियन फ़ंक्शन को परिभाषित करें।
6. एक वाक्य में शब्दों की संख्या एक से शुरू होती है। यदि निम्नलिखित नियमों को पूरा किया जाता है तो एक वाक्य को अच्छी तरह से बनाया गया माना जाता है:
   1. यदि एक सम संख्या वाला शब्द किसी स्वर में समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि वह मौजूद है, तो स्वर से शुरू होना चाहिए।
   2. यदि एक विषम संख्या वाला शब्द किसी व्यंजन में समाप्त होता है, तो अगला शब्द, यदि वह मौजूद है, एक व्यंजन से शुरू होना चाहिए और एक स्वर के साथ समाप्त होना चाहिए।
      निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य सही है:
   3. माँ ने माशा को साबुन से धोया।
   4. नेता हमेशा एक मॉडल होता है।
   5. सच अच्छा है, लेकिन खुशी बेहतर है।
7. समीकरण के कितने हल हैं:
   (ए बी) ˅ (¬ए ˄ बी) → (सी ˄ डी) = 1
8. समीकरण के सभी समाधानों की सूची बनाएं:
   (ए → बी) → सी = 0
9. निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने हल हैं:
   एक्स 0 → एक्स 1 ˄ एक्स 1 → एक्स 2 = 1
   एक्स 2 → एक्स 3 ˄ एक्स 3 → एक्स 4 = 1
   एक्स 5 → एक्स 6 एक्स 6 → एक्स 7 = 1
   एक्स 7 → एक्स 8 ˄ एक्स 8 → एक्स 9 = 1
   एक्स 0 → एक्स 5 = 1
10. समीकरण के कितने हल हैं:
    ((((एक्स 0 → एक्स 1) → एक्स 2) → एक्स 3) → एक्स 4) → एक्स 5 = 1

कार्यों के उत्तर:

1. फ़ंक्शन b और c समतुल्य हैं।
2. टुकड़ा फ़ंक्शन बी से मेल खाता है।
3. बूलियन वैरिएबल P को मान 1 लेने दें, जब जूरी का अध्यक्ष निर्णय के लिए "मतदान" करता है। चर एम 1 और एम 2 जूरी सदस्यों की राय का प्रतिनिधित्व करते हैं। तार्किक कार्य जो सकारात्मक निर्णय को अपनाने को निर्दिष्ट करता है उसे निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
   पी (एम 1 एम 2)
4. मान लीजिए कि बूलियन चर P मैं मान 1 लेता हूं, जब i-th सिक्का उछालता है। अदायगी X को परिभाषित करने वाला तार्किक कार्य निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
   ((¬P 1 (¬P 2 P 3 ¬P 4))
   (¬P 2 (¬P 3 P 4))
   (¬P 3 P 4))
5. प्रस्ताव बी.
6. समीकरण के 3 समाधान हैं: (ए = 1; बी = 1; सी = 0); (ए = 0; बी = 0; सी = 0); (ए = 0; बी = 1; सी = 0)

तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके

आप तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक समीकरण को सरल बनाने के बाद, एक सत्य तालिका (यदि चर की संख्या बहुत बड़ी नहीं है) या निर्णय वृक्ष का उपयोग करके।

1. चरों के परिवर्तन की विधि।

नए चरों का परिचय अज्ञात की संख्या को कम करके समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाना संभव बनाता है।नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए. सरलीकृत प्रणाली को हल करने के बाद, मूल चर पर फिर से लौटना आवश्यक है।

एक विशिष्ट उदाहरण पर इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

((X1 X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) (X3 ≡ X4)) = 0

((X3 X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) (X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) (X9 ≡ X10)) = 0

समाधान:

आइए नए चर पेश करें: А=(X1 X2); बी = (एक्स 3 एक्स 4); =(X5 ≡ X6); डी = (एक्स 7 ≡ एक्स 8); ई = (एक्स 9 ≡ एक्स 10)।

(ध्यान दें! उनके प्रत्येक चर x1, x2, …, x10 को केवल नए में से एक में शामिल किया जाना चाहिए चर ए, बी, सी, डी, ई, अर्थात। नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं)।

तब समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखेगी:

(ए ∧ बी) ∨ (¬ए ∧ ¬बी) = 0

(बी ∧ सी) ∨ (¬बी ∧ ¬सी) = 0

(सी ∧ डी) ∨ (¬सी ∧ ¬डी) = 0

(डी ∧ ई) ∨ (¬डी ∧ ¬ई) = 0

आइए परिणामी प्रणाली का निर्णय वृक्ष बनाएं:

समीकरण ए = 0 पर विचार करें, यानी। (X1≡ एक्स 2) = 0। इसकी 2 जड़ें हैं:

		X1 X2

उसी तालिका से यह देखा जा सकता है कि समीकरण A \u003d 1 की भी 2 जड़ें हैं। आइए निर्णय वृक्ष पर जड़ों की संख्या की व्यवस्था करें:

एक शाखा के लिए समाधानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको प्रत्येक स्तर पर समाधानों की संख्या को गुणा करना होगा। बाईं शाखा में 2 . है⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 समाधान; दाहिनी शाखा के भी 32 उपाय हैं। वे। पूरे सिस्टम में 32+32=64 समाधान हैं।

उत्तर : 64.

2. तर्क करने की विधि।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली को हल करने की जटिलता पूर्ण निर्णय वृक्ष की बोझिलता में निहित है। तर्क विधि आपको पूरे पेड़ को पूरी तरह से बनाने की अनुमति नहीं देती है, लेकिन साथ ही यह समझती है कि इसकी कितनी शाखाएं होंगी। आइए इस पद्धति पर विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

उत्तर के लिए चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके तहत समानता की दी गई प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या दर्शानी होगी।

समाधान :

पहले और दूसरे समीकरणों में स्वतंत्र चर होते हैं जो तीसरी स्थिति से संबंधित होते हैं। आइए पहले और दूसरे समीकरणों के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करें।

पहले और दूसरे समीकरणों से सिस्टम के निर्णय वृक्ष का प्रतिनिधित्व करने के लिए, पहले पेड़ की प्रत्येक शाखा को चर के लिए एक पेड़ के साथ जारी रखना आवश्यक हैपर . इस तरह से बने पेड़ में 36 शाखाएं होंगी। इनमें से कुछ शाखाएं प्रणाली के तीसरे समीकरण को संतुष्ट नहीं करती हैं। पहले पेड़ पर नोट करें पेड़ की शाखाओं की संख्या"पर" , जो तीसरे समीकरण को संतुष्ट करता है:

आइए स्पष्ट करें: तीसरी शर्त को पूरा करने के लिए, x1=0 पर, यह y1=1 होना चाहिए, यानी पेड़ की सभी शाखाएं"एक्स" , जहां x1=0 पेड़ से केवल एक शाखा के साथ जारी रखा जा सकता है"पर" . और केवल पेड़ की एक शाखा के लिए"एक्स" (दाएं) पेड़ की सभी शाखाओं को फिट करें"पर"। इस प्रकार, पूरे सिस्टम के पूरे पेड़ में 11 शाखाएं होती हैं। प्रत्येक शाखा समीकरणों की मूल प्रणाली के एक समाधान का प्रतिनिधित्व करती है। तो पूरे सिस्टम में 11 समाधान हैं।

उत्तर: 11.

उदाहरण 2 समीकरणों के निकाय के कितने भिन्न हल हैं

(X1 X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ¬X10) = 1

(X2 X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ¬X10) = 1.

………………

(X9 X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ¬X10) = 1

(X1 X10) = 0

जहाँ x1, x2,…, x10 बूलियन चर हैं? उत्तर के लिए उन सभी चर मानों के विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या दर्शानी होगी।

समाधान : आइए सिस्टम को सरल बनाएं। आइए पहले समीकरण के भाग की एक सत्य तालिका बनाएं:

		X1 X10	X1 X10	(X1 ∧ X10) (¬X1 ¬X10)

अंतिम कॉलम पर ध्यान दें, यह कार्रवाई के परिणाम से मेल खाता है X1 X10.

X1 X10

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(X1 X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 X3) ∨ (X2 X10)=1

(X3 X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 X10) = 0

अंतिम समीकरण पर विचार करें:(X1 X10) = 0, अर्थात्। x1 x10 के समान नहीं होना चाहिए। पहला समीकरण 1 के बराबर होने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए(X1 X2) = 1, यानी। x1 x2 से मेल खाना चाहिए।

आइए पहले समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें: x10=1 के लिए और x2=0 के लिए ब्रैकेट1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात x2 x3 के समान है); x10=0 पर और x2=1 ब्रैकेट पर(X2 X10)=0 , इसलिए कोष्ठक (X2 ≡ X3) 1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात x2 x3 के समान है):

इस तरह तर्क देते हुए, हम सभी समीकरणों के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करते हैं:

इस प्रकार, समीकरणों के निकाय के केवल 2 हल हैं।

उत्तर : 2.

उदाहरण 3

बूलियन चर x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

समाधान:

आइए पहले समीकरण का निर्णय वृक्ष बनाएं:

दूसरे समीकरण पर विचार करें:

• जब x1=0 : दूसरा और तीसरा कोष्ठक 0 होगा; पहला कोष्ठक 1 के बराबर होने के लिए y1=1 , z1=1 होना चाहिए (अर्थात इस मामले में - 1 समाधान)
• X1=1 . के साथ : पहला कोष्ठक 0 होगा; दूसराया तीसरा कोष्ठक 1 के बराबर होना चाहिए; दूसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=0 और z1=1; तीसरा ब्रैकेट y1=1 और z1=0 के लिए 1 के बराबर होगा (यानी इस मामले में - 2 समाधान)।

इसी तरह बाकी समीकरणों के लिए। पेड़ के प्रत्येक नोड के लिए प्राप्त समाधानों की संख्या पर ध्यान दें:

प्रत्येक शाखा के लिए समाधानों की संख्या का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक शाखा के लिए प्राप्त संख्याओं को अलग से (बाएं से दाएं) गुणा करते हैं।

1 शाखा: 1 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 समाधान

2 शाखा: 1 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 समाधान

तीसरी शाखा: 1 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 समाधान

4 शाखा: 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 समाधान

5 शाखा: 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 समाधान

आइए प्राप्त संख्याओं को जोड़ें: कुल 31 समाधान।

उत्तर: 31.

3. जड़ों की संख्या में नियमित वृद्धि

कुछ प्रणालियों में, अगले समीकरण के मूलों की संख्या पिछले समीकरण के मूलों की संख्या पर निर्भर करती है।

उदाहरण 1 बूलियन वेरिएबल्स x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

(x2 x3) ∧ ((x2 ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

सरल पहला समीकरण:(x1 ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 x3)। तब सिस्टम फॉर्म लेगा:

(x1 ≡ x2) (x1 ≡ x3) = 0

(x2 ≡ x3) (x2 ≡ x4)= 0

(x8 ≡ x9) (x8 ≡ x10) = 0

आदि।

प्रत्येक निम्नलिखित समीकरण में पिछले एक की तुलना में 2 अधिक जड़ें हैं।

4 समीकरण के 12 मूल हैं;

समीकरण 5 के 14 मूल हैं

8 समीकरण के 20 मूल हैं।

उत्तर: 20 जड़ें।

कभी-कभी जड़ों की संख्या फाइबोनैचि संख्याओं के नियम के अनुसार बढ़ती है।

तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक रचनात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

आज्ञा देना n चर का एक तार्किक कार्य हो। तार्किक समीकरण है:

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से लेकर विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चरों के वे सभी सेट हैं, जिन पर फलन F का मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर सी के समीकरण के समाधान हैं। हम हमेशा फॉर्म के केवल समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

वास्तव में, समीकरण दिया गया है:

इस मामले में, आप समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

k तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम का समाधान चर का एक सेट है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक ऐसा सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक कार्य सत्य हो, जो मूल कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता हो:

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो आपको यह कहने की अनुमति देता है कि सिस्टम के कितने समाधान हैं और समाधान देने वाले सेट क्या हैं।

तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान खोजने पर एकीकृत राज्य परीक्षा के कुछ कार्यों में, चर की संख्या 10 के मान तक पहुंच जाती है। फिर एक सत्य तालिका बनाना लगभग असंभव कार्य बन जाता है। समस्या को हल करने के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, गणना के अलावा कोई सामान्य तरीका नहीं है, जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए किया जाता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के सभी प्रकारों की गणना को छोड़कर, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान प्रणाली की बारीकियों के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या को हल करने के लिए एक और उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल वे हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसके एनालॉग का निर्माण करेंगे - एक द्विआधारी निर्णय वृक्ष। इस पेड़ की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और उस सेट को निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 होता है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधान की संख्या के साथ मेल खाती है।

बाइनरी डिसीजन ट्री क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है, मैं कई कार्यों के उदाहरणों के साथ समझाऊंगा।

समस्या 18

बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

हल: समीकरणों के निकाय में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के हलों की संख्या ज्ञात करें - . बदले में पहले समीकरण को 5 समीकरणों की प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - शर्तों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करें () - संयोजन का पहला शब्द, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। यहाँ इस पेड़ की ग्राफिक छवि कैसी दिखती है

पेड़ में समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मूल्यों को दर्शाती हैं - 1 और 0। दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर के केवल उन संभावित मूल्यों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण मान को सही मानता है। चूंकि समीकरण एक निहितार्थ को परिभाषित करता है, जिस शाखा पर इसका मान 1 है, उसके लिए उस शाखा पर 1 का मान होना आवश्यक है। जिस शाखा पर इसका मान 0 है, वह 0 के बराबर मान वाली दो शाखाएं उत्पन्न करता है और 1. निर्मित पेड़ तीन समाधानों को परिभाषित करता है, जहां निहितार्थ 1 मान लेता है। प्रत्येक शाखा पर, चर के मूल्यों का संबंधित सेट लिखा जाता है, जो समीकरण का समाधान देता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारे समीकरणों की प्रणाली की विशिष्टता यह है कि सिस्टम का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि वेरिएबल का ट्री में पहले से ही मान होता है, तो उन सभी शाखाओं पर जहाँ वेरिएबल का मान 1 होता है, वेरिएबल का भी मान 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, ट्री का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन कोई नई शाखा नहीं दिखाई देती है। एकमात्र शाखा जहां चर का मान 0 है, दो शाखाओं में एक शाखा देगा, जहां चर को मान 0 और 1 मिलेगा। इस प्रकार, एक नए समीकरण के प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक समाधान जोड़ता है। मूल पहला समीकरण:

6 समाधान हैं। यहाँ इस समीकरण के लिए पूर्ण निर्णय वृक्ष कैसा दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

अंतर केवल इतना है कि समीकरण Y चर का उपयोग करता है। इस समीकरण के 6 समाधान भी हैं। चूंकि प्रत्येक परिवर्तनीय समाधान को प्रत्येक परिवर्तनीय समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए समाधानों की कुल संख्या 36 है।

ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि स्वयं समाधान भी देता है, जो पेड़ की प्रत्येक शाखा पर लिखा होता है।

समस्या 19

बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

यह कार्य पिछले कार्य का संशोधन है। अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो एक्स और वाई चर से संबंधित होता है।

यह समीकरण से इस प्रकार है कि जब इसका मान 1 (ऐसा एक समाधान मौजूद है) है, तो इसका मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर और मान 1 हैं। 0 के बराबर होने पर, यह हो सकता है कोई भी मान, 0 और 1 दोनों। इसलिए, 0 के बराबर के साथ प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, Y चर वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधानों की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

हल: मूल तुल्यता को याद करते हुए, हम अपने समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

निहितार्थों की एक चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण इसके बराबर है:

इस समीकरण के दो हल हैं जब सभी या तो 1 या 0 हैं।

समस्या 21

समीकरण के कितने हल हैं:

हल: समस्या 20 की तरह ही, हम समीकरण को इस रूप में फिर से लिखकर चक्रीय निहितार्थों से सर्वसमिकाओं तक ले जाते हैं:

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने हल हैं?

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। गणित में, कुछ कार्य ऐसे होते हैं जो प्रस्तावों के तर्क के लिए समर्पित होते हैं। इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, आपके पास एक निश्चित मात्रा में ज्ञान होना चाहिए: प्रस्तावक तर्क के नियमों का ज्ञान, 1 या 2 चर के तार्किक कार्यों की सत्य सारणी का ज्ञान, तार्किक अभिव्यक्तियों को बदलने के तरीके। इसके अलावा, आपको तार्किक संचालन के निम्नलिखित गुणों को जानने की जरूरत है: संयोजन, वियोजन, व्युत्क्रम, निहितार्थ और तुल्यता।

\ चर - \ से कोई भी तार्किक कार्य एक सत्य तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आइए कुछ तार्किक समीकरण हल करें:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

आइए समाधान को \[X1\] से शुरू करें और यह निर्धारित करें कि यह चर क्या मान ले सकता है: 0 और 1. अगला, उपरोक्त प्रत्येक मान पर विचार करें और देखें कि क्या \[X2.\] इस मामले में हो सकता है

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, हमारे तार्किक समीकरण के 11 हल हैं।

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सत्य तालिका - एक तालिका जिसमें इनपुट चर के सभी संभावित संयोजन और उनके संबंधित आउटपुट मान होते हैं।
सत्य तालिका में 2n पंक्तियाँ हैं, जहाँ n इनपुट चर की संख्या है, और n+m स्तंभ हैं, जहाँ m आउटपुट चर हैं।

निर्देश। कीबोर्ड से प्रवेश करते समय, निम्नलिखित सम्मेलनों का उपयोग करें:

बूलियन अभिव्यक्ति:

ट्रुथ टेबल के लिए इंटरमीडिएट टेबल का आउटपुट
एक SKNF . का निर्माण
एसडीएनएफ . का निर्माण
ज़ेगल्किन बहुपद का निर्माण
वीच-कार्नोट मानचित्र का निर्माण
बूलियन फ़ंक्शन न्यूनीकरण

उदाहरण के लिए, तार्किक व्यंजक abc+ab~c+a~bc इस तरह दर्ज किया जाना चाहिए: a*b*c+a*b=c+a=b*c
तार्किक आरेख के रूप में डेटा दर्ज करने के लिए, इस सेवा का उपयोग करें।

तर्क समारोह इनपुट नियम

1. v (वियोजन, OR) के स्थान पर + चिह्न का प्रयोग करें।
2. तार्किक फ़ंक्शन से पहले, आपको फ़ंक्शन पदनाम निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, F(x,y)=(x|y)=(x^y) के बजाय आप बस टाइप करेंगे (x|y)=(x^y) ।
3. अधिकतम राशिचर 10 है।

कंप्यूटर लॉजिक सर्किट का डिजाइन और विश्लेषण गणित के एक विशेष खंड - तर्क के बीजगणित की मदद से किया जाता है। तर्क के बीजगणित में, तीन मुख्य तार्किक कार्यों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: "नहीं" (नकारना), "और" (संयोजन), "या" (वियोजन)।
किसी भी लॉजिकल डिवाइस को बनाने के लिए, वर्तमान इनपुट वेरिएबल्स पर प्रत्येक आउटपुट वेरिएबल्स की निर्भरता को निर्धारित करना आवश्यक है, ऐसी निर्भरता को स्विचिंग फ़ंक्शन या लॉजिक बीजगणित का फ़ंक्शन कहा जाता है।
एक तर्क बीजगणित फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित कहा जाता है यदि इसके सभी 2 n मान दिए गए हैं, जहां n आउटपुट चर की संख्या है।
यदि सभी मान परिभाषित नहीं हैं, तो फ़ंक्शन को आंशिक रूप से परिभाषित कहा जाता है।
एक उपकरण को तार्किक कहा जाता है यदि तर्क के बीजगणित के एक फ़ंक्शन का उपयोग करके इसकी स्थिति का वर्णन किया जाता है।
तर्क बीजगणित फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:
बीजगणितीय रूप में, तार्किक तत्वों का उपयोग करके एक तार्किक उपकरण का आरेख बनाना संभव है।


चित्र 1 - तार्किक युक्ति का आरेख

तर्क के बीजगणित के सभी कार्यों को परिभाषित किया गया है सत्य सारणीमूल्य। सत्य तालिका के लिए एक ऑपरेशन करने के परिणाम को निर्धारित करती है सब संभव x मूल कथनों का तार्किक मान। विकल्पों की संख्या जो संचालन को लागू करने के परिणाम को दर्शाती है, तार्किक अभिव्यक्ति में बयानों की संख्या पर निर्भर करेगी। यदि तार्किक व्यंजक में कथनों की संख्या N है, तो सत्य तालिका में 2 N पंक्तियाँ होंगी, क्योंकि संभावित तर्क मानों के 2 N भिन्न संयोजन हैं।

ऑपरेशन नहीं - तार्किक निषेध (उलटा)

तार्किक संचालन एक तर्क पर लागू नहीं होता है, जो या तो एक सरल या जटिल तार्किक अभिव्यक्ति हो सकता है। ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित नहीं है:

• यदि मूल व्यंजक सत्य है, तो उसके निषेध का परिणाम असत्य होगा;
• यदि मूल व्यंजक असत्य है, तो उसके निषेध का परिणाम सत्य होगा।

निषेध संचालन के लिए निम्नलिखित सम्मेलनों को स्वीकार नहीं किया जाता है:
ए नहीं, , ए नहीं, ए, !ए
नकारात्मक ऑपरेशन का परिणाम निम्न सत्य तालिका द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है:

ए	नहीं ए
0	1
1	0

जब मूल कथन गलत होता है, और इसके विपरीत, नकारात्मक ऑपरेशन का परिणाम सत्य होता है।

ऑपरेशन या - तार्किक जोड़ (वियोजन, संघ)

तार्किक या संक्रिया दो कथनों के संयोजन का कार्य करती है, जो या तो सरल या जटिल तार्किक व्यंजक हो सकते हैं। वे कथन जो किसी तार्किक संक्रिया के लिए आरंभिक होते हैं, तर्क कहलाते हैं। OR ऑपरेशन का परिणाम एक ऐसा व्यंजक है जो सत्य होगा यदि और केवल तभी जब मूल भावों में से कम से कम एक सत्य हो।
प्रयुक्त पदनाम: ए या बी, ए वी बी, ए या बी, ए || बी।
OR ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा निर्धारित किया जाता है:
OR ऑपरेशन का परिणाम तब सत्य होता है जब A सत्य होता है, या B सत्य होता है, या A और B दोनों सत्य होते हैं, और जब A और B दोनों झूठे होते हैं, तो असत्य होता है।

ऑपरेशन और - तार्किक गुणन (संयोजन)

तार्किक संचालन और दो कथनों (तर्कों) के प्रतिच्छेदन का कार्य करता है, जो या तो एक सरल या जटिल तार्किक अभिव्यक्ति हो सकता है। AND ऑपरेशन का परिणाम एक ऐसा व्यंजक है जो सत्य है यदि और केवल तभी जब दोनों मूल व्यंजक सत्य हों।
प्रयुक्त प्रतीक: ए और बी, ए बी, ए और बी, ए और बी।
AND ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ए	बी	ए और बी
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

ऑपरेशन का परिणाम AND सत्य है यदि और केवल यदि कथन A और B दोनों सत्य हैं, और अन्य सभी मामलों में असत्य हैं।

ऑपरेशन "IF-THEN" - तार्किक परिणाम (निहितार्थ)

यह ऑपरेशन दो सरल तार्किक अभिव्यक्तियों को जोड़ता है, जिनमें से पहला एक शर्त है, और दूसरा इस स्थिति का परिणाम है।
लागू पदनाम:
यदि ए, तो बी; A, B को आकर्षित करता है; अगर ए तो बी; ए → बी।
सच्ची तालिका:

ए	बी	ए → बी
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

परिणाम (निहितार्थ) के संचालन का परिणाम केवल तभी गलत होता है जब आधार A सत्य होता है और निष्कर्ष B (परिणाम) गलत होता है।

ऑपरेशन "ए अगर और केवल अगर बी" (तुल्यता, तुल्यता)

लागू पदनाम: ए बी, ए ~ बी।
सच्ची तालिका:

ए	बी	ए↔बी
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

मोडुलो 2 अतिरिक्त ऑपरेशन (XOR, अनन्य या, सख्त विच्छेदन)

प्रयुक्त संकेतन: ए एक्सओआर बी, ए ⊕ बी।
सच्ची तालिका:

ए	बी	ए⊕बी
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

तुल्यता संक्रिया का परिणाम केवल तभी सत्य होता है जब A और B दोनों सत्य हों या दोनों असत्य हों।

तार्किक संचालन की प्राथमिकता

• कोष्ठक में क्रिया
• उलट देना
• संयोजन (&)
• डिसजंक्शन (वी), एक्सक्लूसिव या (एक्सओआर), मॉड्यूल 2 योग
• निहितार्थ (→)
• तुल्यता (↔)

परफेक्ट डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म

फॉर्मूला का परफेक्ट डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म(SDNF) इसके समतुल्य एक सूत्र है, जो प्रारंभिक संयोजनों का एक संयोजन है, जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. सूत्र के प्रत्येक तार्किक पद में फलन F(x 1 ,x 2 ,...x n) में शामिल सभी चर शामिल हैं।
2. सूत्र के सभी तार्किक पद भिन्न हैं।
3. किसी भी तार्किक शब्द में एक चर और उसका निषेध नहीं है।
4. सूत्र में किसी भी तार्किक पद में एक ही चर दो बार नहीं होता है।

SDNF को या तो ट्रुथ टेबल का उपयोग करके या समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए, SDNF और SKNF विशिष्ट रूप से एक क्रमपरिवर्तन तक परिभाषित होते हैं।

परफेक्ट कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म

सूत्र का पूर्ण संयोजन सामान्य रूप (SKNF)इसके समतुल्य एक सूत्र है, जो प्रारंभिक वियोजनों का एक संयोजन है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

1. सभी प्राथमिक वियोजनों में फलन F(x 1,x 2 ,...x n) में शामिल सभी चर होते हैं।
2. सभी प्रारंभिक वियोग अलग-अलग हैं।
3. प्रत्येक प्राथमिक वियोजन में एक बार एक चर होता है।
4. किसी भी प्राथमिक वियोजन में एक चर और उसका निषेध नहीं होता है।