1 galios funkcijos grafiko savybė. Eksponentinė funkcija – savybės, grafikai, formulės. Kosinuso funkcijos savybės

Ar esate susipažinę su funkcijomis y=x, y=x2, y=x3, y=1/x ir tt Visos šios funkcijos yra specialūs galios funkcijos atvejai, t. y. funkcija y=xp, kur p yra tikrasis skaičius.
Laipsninės funkcijos savybės ir grafikas iš esmės priklauso nuo laipsnio su realiuoju eksponentu savybių, o ypač nuo reikšmių, kurioms x ir p logiška x p. Panašiai nagrinėkime įvairius atvejus, priklausomai nuo
eksponentas p.

  1. Rodiklis p=2n yra lyginis natūralusis skaičius.
y=x2n, kur n yra natūralusis skaičius, turi šiuos dalykus

savybės:

  • apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, ty aibė R;
  • reikšmių rinkinys - neneigiami skaičiai, ty y yra didesnis arba lygus 0;
  • funkcija y=x2n net, nes x 2n=(- x) 2n
  • funkcija mažėja intervale x<0 ir didėjant intervalui x>0.
Funkcijų grafikas y=x2n turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos grafikas y=x4.

2. Rodiklis p=2n-1- nelyginis natūralusis skaičius
Šiuo atveju galios funkcija y=x 2n-1, kur yra natūralusis skaičius, turi šias savybes:

  • apibrėžimo sritis – aibė R;
  • reikšmių rinkinys - rinkinys R;
  • funkcija y=x 2n-1 keista, nes (- x) 2n-1=x 2n-1;
  • funkcija didėja visoje realioje ašyje.
Funkcijų grafikas y=x 2n-1 turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos grafikas y=x 3 .

3. Rodiklis p=-2n, kur n- natūralusis skaičius.

Šiuo atveju galios funkcija y=x -2n=1/x2n turi šias savybes:

  • apibrėžimo sritis – aibė R, išskyrus x=0;
  • reikšmių rinkinys – teigiami skaičiai y>0;
  • funkcija y =1/x2n net, nes 1/(-x) 2n=1/x2n;
  • funkcija didėja intervale x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Funkcijos y grafikas =1/x2n turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos y grafikas =1/x2.

Galios funkcijos y = x p srityje galioja šios formulės:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Galios funkcijų savybės ir jų grafikai

Galios funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0

Jei laipsnio funkcijos y = x p eksponentas yra lygus nuliui, p = 0 , tai laipsnio funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra pastovi, lygi vienetui:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... . Tokį rodiklį galima parašyti ir taip: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1 , funkcija yra atvirkštinė sau: x = y
jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:

Laipsnio funkcija su natūraliu lyginiu rodikliu, p = n = 2, 4, 6, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... . Tokį rodiklį galima parašyti ir taip: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius. Toliau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, x=0, y=0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
jei x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 2, kvadratinė šaknis:
jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:

Laipsningumo funkcija su sveikuoju neigiamu rodikliu, p = n = -1, -2, -3, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios neigiamas sveikasis rodiklis n = -1, -2, -3, ... . Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip:

Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms.

Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...

Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -1,
už n< -2 ,

Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...

Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -2,
už n< -2 ,

Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu , kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių.

Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama ir teigiamoms, ir neigiamoms x reikšmėms. Apsvarstykite tokių laipsnio funkcijų savybes, kai eksponentas p yra tam tikrose ribose.

p yra neigiamas, p< 0

Tegul racionalusis rodiklis (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ... ) yra mažesnis už nulį: .

Eksponentinių funkcijų grafikai su racionaliu neigiamu eksponentu įvairioms eksponento reikšmėms , kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = -1, -3, -5, ...

Čia yra laipsnio funkcijos y = x p su racionaliu neigiamu eksponentu savybės, kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0 : išgaubta žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...

Laipsninės funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu eksponentu , kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikas skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius .

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0 : monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju eksponentu (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < +∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вниз
jei x > 0 : išgaubta aukštyn
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...

Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės su racionaliuoju rodikliu , esant 0 ribose.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< +∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно убывает
jei x > 0 : monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas: jei x ≠ 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Rodiklis p didesnis už vienetą, p > 1

Galios funkcijos su racionaliuoju rodikliu (p > 1) grafikas įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... yra nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 5, 7, 9, ... yra nelyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Lūžio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = -1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 4, 6, 8, ... yra lyginis natūralusis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 монотонно убывает
jei x > 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
jei x = -1, y(-1) = 1
jei x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su laipsnio funkcijos su neracionaliuoju rodikliu savybėmis (žr. kitą skyrių).

Galios funkcija su neracionaliu rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p. Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo tų, kurios buvo aptartos aukščiau, nes jos nėra apibrėžtos neigiamoms x argumento reikšmėms. Teigiamoms argumento reikšmėms savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalus ar neracionalus.


y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Galios funkcija su neigiamu p< 0

Domenas: x > 0
Kelios reikšmės: y > 0
Monotoniškas: mažėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ribos: ;
privati ​​vertė: Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0

Rodiklis yra mažesnis nei vienas 0< p < 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas aukštyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: didėja monotoniškai
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Lūžio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Taip pat žiūrėkite:

Kad būtų patogiau apsvarstyti laipsnio funkciją, nagrinėsime 4 atskirus atvejus: galios funkciją su natūraliuoju rodikliu, laipsnio funkciją su sveikuoju rodikliu, galios funkciją su racionaliuoju rodikliu ir galios funkciją su neracionaliuoju rodikliu.

Galios funkcija su natūraliu eksponentu

Pirmiausia pristatome laipsnio su natūraliuoju rodikliu sąvoką.

1 apibrėžimas

Realiojo skaičiaus $a$ su natūraliuoju rodikliu $n$ laipsnis yra skaičius, lygus $n$ faktorių sandaugai, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui $a$.

1 paveikslas.

$a$ yra laipsnio pagrindas.

$n$ – eksponentas.

Dabar apsvarstykite galios funkciją su natūraliuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

2 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu.

Kad būtų patogiau, atskirai apsvarstykite galios funkciją su lyginiu eksponentu $f\left(x\right)=x^(2n)$ ir laipsnio funkciją su nelyginiu eksponentu $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.

Laipsninės funkcijos su natūraliu lyginiu laipsniu savybės

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ yra lyginė funkcija.

    Taikymo sritis – $ \

    Funkcija mažėja kaip $x\in (-\infty ,0)$ ir didėja kaip $x\in (0,+\infty)$.

    $f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $

    Funkcija yra išgaubta visoje apibrėžimo srityje.

    Elgesys taikymo srities pabaigoje:

    \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

    Grafikas (2 pav.).

2 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafikas

Laipsniškos funkcijos su natūraliuoju nelyginiu rodikliu savybės

    Apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ yra nelyginė funkcija.

    $f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

    Diapazonas yra visi realūs skaičiai.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

    $f\left(x\right)0$, už $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funkcija yra įgaubta $x\in (-\infty ,0)$ ir išgaubta $x\in (0,+\infty)$.

    Grafikas (3 pav.).

3 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafikas

Galios funkcija su sveikuoju rodikliu

Pirmiausia pristatome laipsnio sąvoką su sveikuoju rodikliu.

3 apibrėžimas

Realiojo skaičiaus $a$ su sveikuoju rodikliu $n$ laipsnis nustatomas pagal formulę:

4 pav

Dabar apsvarstykite galios funkciją su sveikuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

4 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ vadinama galios funkcija su sveikuoju rodikliu.

Jei laipsnis didesnis už nulį, tada pasiekiame laipsnio funkcijos atvejį su natūraliuoju rodikliu. Mes tai jau svarstėme aukščiau. Jei $n=0$ gauname tiesinę funkciją $y=1$. Paliekame ją apsvarstyti skaitytojui. Belieka atsižvelgti į laipsnio funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes

Laipsninės funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybės

    Taikymo sritis yra $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jei eksponentas lyginis, tada funkcija yra lyginė, jei nelyginė, tada funkcija nelyginė.

    $f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

    Vertės diapazonas:

    Jei rodiklis lyginis, tada $(0,+\infty)$, jei nelyginis, tada $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jei eksponentas yra nelyginis, funkcija sumažėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jei eksponentas lygus, funkcija sumažėja kaip $x\in (0,+\infty)$. ir didėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ visame domene

Laipsnio funkcija yra y=x n formos funkcija (skaitoma, kad y lygus x laipsniui n), kur n yra tam tikras skaičius. Konkretūs laipsnio funkcijų atvejai yra y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x ir daugelio kitų formos funkcijos. Pakalbėkime plačiau apie kiekvieną iš jų.

Tiesinė funkcija y=x 1 (y=x)

Grafikas yra tiesi linija, einanti per tašką (0; 0) 45 laipsnių kampu teigiama Ox ašies kryptimi.

Diagrama parodyta žemiau.

Pagrindinės tiesinės funkcijos savybės:

  • Funkcija didėja ir apibrėžiama viso skaičiaus ašyje.
  • Jame nėra didžiausių ir mažiausių verčių.

Kvadratinė funkcija y=x 2

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė.

Pagrindinės kvadratinės funkcijos savybės:

  • 1. Jei x=0, y=0 ir y>0, jei x0
  • 2. Kvadratinė funkcija pasiekia mažiausią reikšmę savo viršūnėje. Ymin, kai x=0; Taip pat reikia pažymėti, kad maksimali funkcijos reikšmė neegzistuoja.
  • 3. Funkcija mažėja intervale (-∞; 0] ir didėja intervale )
Panašūs įrašai