Funkcijos išvestinės ekstremumas. Kaip rasti funkcijos ekstremumą (minimalų ir maksimalų tašką). Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga

Pereinant šias nelygybes į ribą kaip Δ x→ 0 ir atsižvelgiant į tai, kad išvestinė f "(x 0) egzistuoja, taigi riba kairėje nepriklauso nuo to, kaip Δ x→ 0, gauname: už Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 ir esant Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Kadangi f"(x 0) apibrėžia skaičių, tada šios dvi nelygybės yra suderinamos tik jei f"(x 0) = 0.

Įrodyta teorema teigia, kad maksimalus ir minimalus taškai gali būti tik tarp tų argumento reikšmių, kurių išvestinė dingsta.

Išnagrinėjome atvejį, kai funkcija turi išvestinę visuose tam tikros atkarpos taškuose. Kas atsitinka, kai išvestinė priemonė neegzistuoja? Apsvarstykite pavyzdžius.

y=|x|.

Funkcija taške neturi išvestinės x=0 (šiuo metu funkcijos grafikas neturi apibrėžtos liestinės), tačiau šiuo metu funkcija turi minimumą, nes y(0) = 0 ir visiems x≠ 0y > 0.

Taigi iš pateiktų pavyzdžių ir suformuluotos teoremos aišku, kad funkcija ekstremumą gali turėti tik dviem atvejais: 1) taškuose, kuriuose išvestinė egzistuoja ir lygi nuliui; 2) taške, kur darinys neegzistuoja.

Tačiau jei tam tikru momentu x 0 mes tai žinome f"(x 0 ) =0, tada iš to negalima daryti išvados, kad taške x 0 funkcija turi ekstremumą.

Pavyzdžiui.

Bet taškas x=0 nėra ekstremumo taškas, nes šio taško kairėje funkcijos reikšmės yra žemiau ašies Jautis, ir viršuje dešinėje.

Argumento reikšmės iš funkcijos srities, kuriai funkcijos išvestinė išnyksta arba neegzistuoja, vadinamos kritiniai taškai.

Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad funkcijos ekstremalūs taškai yra tarp kritinių taškų, tačiau ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstremumo taškas. Todėl, norėdami rasti funkcijos ekstremumą, turite rasti visus svarbiausius funkcijos taškus, o tada išnagrinėti kiekvieną iš šių taškų atskirai, kad būtų nustatytas maksimalus ir minimumas. Tam pasitarnauja ši teorema.

2 teorema. (Pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti.) Tegul funkcija yra tolydi tam tikrame intervale, kuriame yra kritinis taškas x 0 ir yra diferencijuojamas visuose šio intervalo taškuose (išskyrus, galbūt, patį tašką x 0). Jei važiuojant iš kairės į dešinę per šį tašką išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai taške x = x 0 funkcija turi maksimumą. Jei, pravažiuojant x 0 iš kairės į dešinę, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, tada funkcija šiuo metu turi minimumą.

Taigi, jei

f"(x)>0 val x<x 0 ir f"(x)< 0 val x > x 0, tada x 0 - maksimalus taškas;

Įrodymas. Pirmiausia manykime, kad pravažiuojant x 0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, t.y. visiems x arti taško x 0 f "(x)> 0 už x< x 0 , f"(x)< 0 už x > x 0 . Skirtumui pritaikykime Lagranžo teoremą f(x) – f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kur c yra tarp x Ir x 0 .

Leisti būti x< x 0 . Tada c< x 0 ir f "(c)> 0. Štai kodėl f "(c)(x-x 0)< 0 ir todėl

f(x) – f(x 0 )< 0, t.y. f(x)< f(x 0 ).

Leisti būti x > x 0 . Tada c>x 0 ir f"(c)< 0. Reiškia f "(c)(x-x 0)< 0. Štai kodėl f(x) – f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Taigi visoms vertybėms x pakankamai arti x 0 f(x)< f(x 0 ) . Ir tai reiškia, kad taške x 0 funkcija turi maksimumą.

Antroji minimalios teoremos dalis įrodyta panašiai.

Iliustruojame šios teoremos reikšmę paveiksle. Leisti būti f"(x 1 ) =0 ir bet kuriai x, pakankamai arti x 1 , nelygybės

f"(x)< 0 val x< x 1 , f "(x)> 0 val x > x 1 .

Tada į kairę nuo taško x 1 funkcija didėja, o dešinėje mažėja, todėl kai x = x 1 funkcija pereina nuo didėjančios prie mažėjančios, tai yra, ji turi maksimumą.

Panašiai galima apsvarstyti ir dalykus x 2 ir x 3 .

Schematiškai visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti pavaizduota paveikslėlyje:

Ekstremo funkcijos y=f(x) tyrimo taisyklė

Raskite funkcijos apimtį f(x).

Raskite pirmąją funkcijos išvestinę f"(x).

Tam nustatykite kritinius taškus:

rasti tikrąsias lygties šaknis f"(x)=0;

rasti visas vertybes x pagal kurią išvestinė f"(x) neegzistuoja.

Nustatykite išvestinės kritinio taško kairėje ir dešinėje ženklą. Kadangi išvestinės ženklas išlieka pastovus tarp dviejų kritinių taškų, pakanka nustatyti išvestinės ženklą bet kuriame taške į kairę ir viename taške į dešinę nuo kritinio taško.

Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.

Norint nustatyti funkcijos pobūdį ir kalbėti apie jos elgesį, reikia rasti didėjimo ir mažėjimo intervalus. Šis procesas vadinamas funkcijų tyrinėjimu ir braižymu. Ekstremalumo taškas naudojamas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės, nes jos padidina arba sumažina funkciją nuo intervalo.

Šiame straipsnyje atskleidžiami apibrėžimai, suformuluojamas pakankamas intervalo padidėjimo ir sumažėjimo požymis ir ekstremumo egzistavimo sąlyga. Tai taikoma sprendžiant pavyzdžius ir problemas. Reikėtų pakartoti skyrių apie funkcijų diferencijavimą, nes sprendžiant reikės naudoti išvestinės radimą.

Funkcija y = f (x) padidės intervale x, kai bet kuriems x 1 ∈ X ir x 2 ∈ X , x 2 > x 1 bus įmanoma nelygybė f (x 2) > f (x 1). Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

2 apibrėžimas

Laikoma, kad funkcija y = f (x) mažėja intervale x, kai bet kurio x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 lygybė yra f (x 2) > f (x 1) įmanoma. Kitaip tariant, didesnė funkcijos reikšmė atitinka mažesnę argumento reikšmę. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Komentuoti: Kai funkcija yra apibrėžta ir tolydi didėjančio ir mažėjančio intervalo galuose, ty (a; b) kur x = a, x = b, taškai įtraukiami į didėjantį ir mažėjantį intervalą. Tai neprieštarauja apibrėžimui, o tai reiškia, kad tai vyksta intervale x.

Pagrindinės elementariųjų funkcijų, kurių tipas yra y = sin x, savybės yra apibrėžtumas ir tęstinumas tikrosioms argumentų reikšmėms. Iš čia gauname, kad sinuso padidėjimas atsiranda intervale - π 2; π 2, tada atkarpos padidėjimas turi formą - π 2; π 2 .

Taškas x 0 vadinamas maksimalus taškas funkcijai y = f (x), kai visoms x reikšmėms nelygybė f (x 0) ≥ f (x) yra teisinga. Funkcijos maksimumas yra funkcijos reikšmė taške ir žymima y m a x .

Taškas x 0 vadinamas minimaliu funkcijos y \u003d f (x) tašku, kai visoms x reikšmėms nelygybė f (x 0) ≤ f (x) yra teisinga. Funkcijų minimumas yra funkcijos reikšmė taške ir turi formos y m i n žymėjimą.

Nagrinėjamos taško x 0 apylinkės ekstremalūs taškai, ir funkcijos reikšmė, atitinkanti ekstremumo taškus. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Funkcijos kraštutinumas su didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšme. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Pirmas paveikslas sako, kad reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę iš segmento [ a ; b]. Jis randamas naudojant maksimalius taškus ir yra lygus didžiausiai funkcijos reikšmei, o antroji figūra labiau primena maksimalaus taško radimą ties x = b.

Pakankamos sąlygos funkcijoms didinti ir mažinti

Norint rasti funkcijos maksimumus ir minimumus, būtina taikyti ekstremumo požymius tuo atveju, kai funkcija tenkina šias sąlygas. Pirmoji funkcija yra dažniausiai naudojama.

Pirmoji pakankama ekstremumo sąlyga

Tegu duota funkcija y = f (x), kuri yra diferencijuota taško x 0 kaimynystėje ε ir turi tęstinumą duotame taške x 0 . Taigi mes tai gauname

• kai f "(x) > 0, kai x ∈ (x 0 - ε; x 0) ir f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kai f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , tada x 0 yra mažiausias taškas.

Kitaip tariant, gauname jų ženklų nustatymo sąlygas:

• kai funkcija yra ištisinė taške x 0, tai ji turi išvestinę su kintančiu ženklu, tai yra nuo + iki -, o tai reiškia, kad taškas vadinamas maksimumu;
• kai funkcija yra ištisinė taške x 0, tai ji turi išvestinę su kintančiu ženklu iš - į +, o tai reiškia, kad taškas vadinamas minimumu.

Norėdami teisingai nustatyti maksimalų ir mažiausią funkcijos taškus, turite vadovautis jų paieškos algoritmu:

• rasti apibrėžimo sritį;
• rasti šios srities funkcijos išvestinę;
• nustatyti nulius ir taškus, kuriuose funkcijos nėra;
• išvestinės ženklo nustatymas intervalais;
• pasirinkite taškus, kuriuose funkcija keičia ženklą.

Apsvarstykite algoritmą kelių funkcijos ekstremalių radimo pavyzdžių sprendimo pavyzdyje.

1 pavyzdys

Raskite duotosios funkcijos y = 2 (x + 1) 2 x - 2 didžiausius ir mažiausius taškus.

Sprendimas

Šios funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai, išskyrus x = 2. Pirmiausia randame funkcijos išvestinę ir gauname:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Iš čia matome, kad funkcijos nuliai yra x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, tai yra, kiekvienas skliaustas turi būti prilygintas nuliui. Pažymėkite skaičių eilutėje ir gaukite:

Dabar iš kiekvieno intervalo nustatome išvestinės požymius. Būtina pasirinkti tašką, įtrauktą į intervalą, pakeisti jį į išraišką. Pavyzdžiui, taškai x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Mes tai suprantame

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, todėl intervalas - ∞; - 1 turi teigiamą išvestinę. Panašiai gauname, kad

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Kadangi antrasis intervalas pasirodė mažesnis už nulį, tai reiškia, kad segmento išvestinė bus neigiama. Trečias su minusu, ketvirtas su pliusu. Norint nustatyti tęstinumą, reikia atkreipti dėmesį į išvestinės ženklą, jei jis keičiasi, tai yra ekstremumo taškas.

Gauname, kad taške x = - 1 funkcija bus tolydi, o tai reiškia, kad išvestinė pakeis ženklą iš + į -. Pagal pirmąjį ženklą turime, kad x = - 1 yra didžiausias taškas, o tai reiškia, kad gauname

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Taškas x = 5 rodo, kad funkcija yra ištisinė, o išvestinė pakeis ženklą iš - į +. Vadinasi, x=-1 yra mažiausias taškas, o jo radinys turi formą

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafinis vaizdas

Atsakymas: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Verta atkreipti dėmesį į tai, kad naudojant pirmąjį pakankamą ekstremumo ženklą nereikia, kad funkcija būtų diferencijuota nuo taško x 0 ir tai supaprastina skaičiavimą.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 didžiausius ir mažiausius taškus.

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai. Tai galima parašyti kaip tokios formos lygčių sistemą:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Tada reikia rasti išvestinę:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 m.“ = – 1 2 x 2 – 4 x – 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Taškas x = 0 neturi išvestinės, nes vienpusių ribų reikšmės skiriasi. Mes tai gauname:

lim y "x → 0 - 0 = lim yx → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim yx → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Iš to seka, kad funkcija yra tolydi taške x = 0, tada apskaičiuojame

lim yx → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim yx → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Reikia atlikti skaičiavimus, norint rasti argumento reikšmę, kai išvestinė tampa nulis:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Visi gauti taškai turi būti pažymėti tiesėje, kad būtų galima nustatyti kiekvieno intervalo ženklą. Todėl būtina apskaičiuoti išvestinę kiekvieno intervalo savavališkais taškais. Pavyzdžiui, galime paimti taškus su reikšmėmis x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Mes tai suprantame

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Tiesios linijos vaizdas turi formą

Taigi, mes priėjome prie taško, kad būtina griebtis pirmojo ekstremumo ženklo. Apskaičiuojame ir gauname

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , tada iš čia didžiausi taškai turi reikšmes x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pereikime prie minimumų skaičiavimo:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Apskaičiuokime funkcijos maksimumus. Mes tai suprantame

ymax = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafinis vaizdas

Atsakymas:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 ymax = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Jei duota funkcija f "(x 0) = 0, tada su jos f "" (x 0) > 0 gauname, kad x 0 yra mažiausias taškas, jei f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

3 pavyzdys

Raskite funkcijos y = 8 x x + 1 maksimumus ir minimumus.

Sprendimas

Pirmiausia randame apibrėžimo sritį. Mes tai suprantame

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Būtina diferencijuoti funkciją, po kurios gauname

y "= 8 xx + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1)" (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kai x = 1, išvestinė tampa lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas yra galimas ekstremumas. Siekiant aiškumo, reikia rasti antrąją išvestinę ir apskaičiuoti reikšmę x \u003d 1. Mes gauname:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Taigi, naudojant 2 pakankamą ekstremumo sąlygą, gauname, kad x = 1 yra didžiausias taškas. Kitu atveju įrašas yra y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Grafinis vaizdas

Atsakymas: y m a x = y (1) = 4 ..

Funkcija y = f (x) turi savo išvestinę iki n-osios eilės duoto taško x 0 kaimynystėje ε, o jos išvestinę iki n + 1 eilės taške x 0 . Tada f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Iš to seka, kad kai n yra lyginis skaičius, tai x 0 laikomas vingio tašku, kai n yra nelyginis skaičius, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o f (n + 1) (x 0) > 0, tada x 0 yra mažiausias taškas, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

4 pavyzdys

Raskite funkcijos y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 didžiausius ir mažiausius taškus.

Sprendimas

Pradinė funkcija yra visiškai racionali, todėl apibrėžimo sritis yra visi tikrieji skaičiai. Funkciją reikia diferencijuoti. Mes tai suprantame

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ši išvestinė bus lygi nuliui, kai x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Tai yra, taškai gali būti galimo ekstremumo taškai. Būtina taikyti trečiąją pakankamo ekstremumo sąlygą. Antrosios išvestinės radimas leidžia tiksliai nustatyti funkcijos maksimumo ir minimumo buvimą. Antroji išvestinė apskaičiuojama jos galimo ekstremumo taškuose. Mes tai suprantame

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Tai reiškia, kad x 2 \u003d 5 7 yra didžiausias taškas. Taikydami 3 pakankamus kriterijus, gauname, kad n = 1 ir f (n + 1) 5 7< 0 .

Būtina nustatyti taškų pobūdį x 1 = - 1, x 3 = 3. Norėdami tai padaryti, turite rasti trečią išvestinę, apskaičiuoti šių taškų vertes. Mes tai suprantame

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Vadinasi, x 1 = - 1 yra funkcijos vingio taškas, nes esant n = 2 ir f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Būtina ištirti tašką x 3 = 3 . Norėdami tai padaryti, randame 4 išvestinę ir atliekame skaičiavimus šioje vietoje:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, darome išvadą, kad x 3 \u003d 3 yra mažiausias funkcijos taškas.

Grafinis vaizdas

Atsakymas: x 2 \u003d 5 7 yra maksimalus taškas, x 3 \u003d 3 - mažiausias nurodytos funkcijos taškas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pamoka tema: "Funkcijų ekstremalių taškų paieška. Pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje „Integral“ 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Ką mes studijuosime:
1. Įvadas.
2. Minimalaus ir maksimumo taškai.

4. Kaip skaičiuoti ekstremumus?
5. Pavyzdžiai.

Įvadas į funkcijų kraštutinumus

Vaikinai, pažiūrėkime į kai kurių funkcijų grafiką:

Atkreipkite dėmesį, kad mūsų funkcijos y=f (x) elgseną daugiausia lemia du taškai x1 ir x2. Pažvelkime atidžiau į funkcijos grafiką šiuose taškuose ir aplink juos. Iki taško x2 funkcija didėja, taške x2 atsiranda linksnis, o iškart po šio taško funkcija mažėja iki taško x1. Taške x1 funkcija vėl pasilenkia, o po to vėl didėja. Taškai x1 ir x2 kol kas bus vadinami vingio taškais. Nubrėžkime liestinės šiuose taškuose:

Mūsų taškuose esančios liestinės yra lygiagrečios x ašiai, o tai reiškia, kad liestinės nuolydis lygus nuliui. Tai reiškia, kad mūsų funkcijos išvestinė šiuose taškuose yra lygi nuliui.

Pažvelkime į šios funkcijos grafiką:

Taškuose x2 ir x1 liestinių nubrėžti negalima. Vadinasi, išvestinė šiuose taškuose neegzistuoja. Dabar dar kartą pažvelkime į mūsų taškus dviejose diagramose. Taškas x2 yra taškas, kuriame funkcija pasiekia didžiausią reikšmę tam tikroje srityje (netoli taško x2). Taškas x1 yra taškas, kuriame funkcija pasiekia mažiausią reikšmę tam tikroje srityje (netoli taško x1).

Aukšti ir žemi taškai

Apibrėžimas: Taškas x= x0 vadinamas funkcijos y=f(x) minimaliu tašku, jei yra taško x0 kaimynystė, kurioje yra teisinga ši nelygybė: f(x) ≥ f(x0).

Apibrėžimas: Taškas x=x0 vadinamas maksimaliu funkcijos y=f(x) tašku, jei yra taško x0 kaimynystė, kurioje yra teisinga ši nelygybė: f(x) ≤ f(x0).

Vaikinai, kas yra kaimynystė?

Apibrėžimas: Taško kaimynystė yra taškų, kuriuose yra mūsų taškas ir arti jo, rinkinys.

Kaimynystę galime apibrėžti patys. Pavyzdžiui, taško x=2 kaimynystę galime apibrėžti kaip 1 ir 3 taškus.

Grįžkime prie savo grafikų, pažiūrėkime į tašką x2, jis yra didesnis už visus kitus taškus iš tam tikros apylinkės, tada pagal apibrėžimą tai yra maksimalus taškas. Dabar pažiūrėkime į tašką x1, jis yra mažesnis nei visi kiti taškai iš tam tikros apylinkės, tada pagal apibrėžimą tai yra minimalus taškas.

Vaikinai, pristatykime užrašą:

Ymin – mažiausias taškas,
ymax – maksimalus taškas.

Svarbu! Vaikinai, nepainiokite didžiausio ir mažiausio taškų su mažiausia ir didžiausia funkcijos reikšme. Mažiausios ir didžiausios reikšmės ieškomos visoje nurodytos funkcijos apibrėžimo srityje, o minimalūs ir didžiausi taškai tam tikroje kaimynystėje.

Funkcijų kraštutinumai

Yra bendras minimalaus ir maksimalaus balų terminas – ekstremumo taškai.

Ekstremas (lot. extremum – ekstremalus) – maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė duotoje aibėje. Taškas, kuriame pasiekiamas ekstremumas, vadinamas ekstremumo tašku.

Atitinkamai, jei pasiekiamas minimumas, ekstremumo taškas vadinamas minimaliu tašku, o jei pasiekiamas maksimumas – maksimaliu tašku.

Kaip rasti funkcijos kraštutinumą?

Grįžkime prie savo diagramų. Mūsų taškuose išvestinė arba išnyksta (pirmame grafike), arba neegzistuoja (antrame grafike).

Tada galime padaryti svarbų teiginį: Jei funkcija y= f(x) taške x=x0 turi ekstremumą, tai šioje vietoje funkcijos išvestinė arba lygi nuliui, arba jos nėra.

Vadinami taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui stacionarus.

Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinės nėra kritiškas.

Kaip apskaičiuoti kraštutinumus?

Vaikinai, grįžkime prie pirmosios funkcijos grafiko:

Analizuodami šį grafiką sakėme: iki taško x2 funkcija didėja, taške x2 atsiranda linksnis, o po šio taško funkcija mažėja iki taško x1. Taške x1 funkcija vėl pasilenkia, o po to funkcija vėl didėja.

Remdamiesi tokiais samprotavimais, galime daryti išvadą, kad funkcija ekstremumo taškuose keičia monotoniškumo pobūdį, taigi ir išvestinė funkcija keičia ženklą. Prisiminkite, kad jei funkcija mažėja, tada išvestinė yra mažesnė arba lygi nuliui, o jei funkcija didėja, tada išvestinė yra didesnė arba lygi nuliui.

Apibendrinkime gautas žinias teiginiu:

Teorema: Pakankama ekstremumo sąlyga: tegul funkcija y=f(x) yra ištisinė kokiame nors intervale X ir intervalo viduje turi stacionarų arba kritinį tašką x= x0. Tada:

• Jei šis taškas turi kaimynystę, kurioje f’(x)>0 tenkina x x0, tai taškas x0 yra funkcijos y= f(x) mažiausias taškas.
• Jei šis taškas turi tokią kaimynystę, kurioje x 0 ir x> x0 f'(x) nėra ekstremumo.

Norėdami išspręsti problemas, atsiminkite šias taisykles: Jei apibrėžiami darinių ženklai, tada:

Tolydžios funkcijos y= f(x) monotoniškumo ir ekstremalumo tyrimo algoritmas:

• Raskite išvestinę y'.
• Raskite stacionarius (išvestinė lygi nuliui) ir kritinius taškus (išvestinės neegzistuoja).
• Skaičių tiesėje pažymėkite stacionarius ir kritinius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite išvestinės ženklus.
• Remdamiesi aukščiau pateiktais teiginiais, padarykite išvadą apie ekstremalių taškų prigimtį.

Ekstremalių taškų radimo pavyzdžiai

1) Raskite funkcijos ekstremalinius taškus ir nustatykite jų prigimtį: y= 7+ 12*x - x 3

Sprendimas: mūsų funkcija yra nuolatinė, tada naudosime savo algoritmą:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, kai x = ±2,

Taškas x= -2 yra mažiausias funkcijos taškas, taškas x= 2 yra maksimalus funkcijos taškas.
Atsakymas: x= -2 - funkcijos minimumas, x= 2 - funkcijos maksimalus taškas.

2) Raskite funkcijos ekstremalinius taškus ir nustatykite jų prigimtį.

3) Raskite funkcijos y= x - 2cos(x) kraštutinius taškus ir nustatykite jų pobūdį, kai -π ≤ x ≤ π.

Sprendimas: Mūsų funkcija yra nuolatinė, naudokimės mūsų algoritmu:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) raskite reikšmes, kuriose išvestinė lygi nuliui: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
nes -π ≤ x ≤ π, tada: x= -π/6, -5π/6,
c) pažymėkite stacionarius taškus realioje tiesėje ir nustatykite išvestinės ženklus: d) pažvelkite į mūsų paveikslą, kuriame parodytos ekstremumų nustatymo taisyklės.
Taškas x= -5π/6 yra maksimalus funkcijos taškas.
Taškas x= -π/6 yra mažiausias funkcijos taškas.
Atsakymas: x= -5π/6 - maksimalus funkcijos taškas, x= -π/6 - mažiausias funkcijos taškas.

4) Raskite funkcijos kraštutinius taškus ir nustatykite jų pobūdį:

Savarankiško sprendimo užduotys

Funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Funkcijų reikšmės šiuose taškuose vadinamos funkcijos kraštutinumais (minimalus ir didžiausias)..

Apibrėžimas. Taškas x1 funkcijos apimtis f(x) vadinamas maksimalus funkcijos taškas , jei funkcijos reikšmė šiame taške yra didesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimalus.

Apibrėžimas. Taškas x2 funkcijos apimtis f(x) vadinamas minimalus funkcijos taškas, jei funkcijos reikšmė šiame taške yra mažesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi tašką x2 minimumas.

Sakykime esmę x1 - maksimalus funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x1 funkcija didėja, todėl funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0 ), o intervale po x1 funkcija mažėja, todėl funkcijos išvestinė mažiau nei nulis ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Taip pat manykime, kad taškas x2 - mažiausias funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x2 funkcija mažėja, o funkcijos išvestinė yra mažesnė už nulį ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija didėja, o funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0). Šiuo atveju taip pat taške x2 funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

Ferma teorema (būtinas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Jei taškas x0 - funkcijos ekstremalus taškas f(x), tada šioje vietoje funkcijos išvestinė lygi nuliui ( f "(x) = 0 ) arba neegzistuoja.

Apibrėžimas. Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja kritiniai taškai .

1 pavyzdys Panagrinėkime funkciją.

Taške x= 0 funkcijos išvestinė lygi nuliui, todėl taškas x= 0 yra kritinis taškas. Tačiau, kaip matyti iš funkcijos grafiko, ji didėja visoje apibrėžimo srityje, todėl taškas x= 0 nėra šios funkcijos ekstremumo taškas.

Taigi sąlygos, kad funkcijos išvestinė taške yra lygi nuliui arba neegzistuoja, yra būtinos ekstremumo sąlygos, bet nepakankamos, nes galima pateikti ir kitų funkcijų pavyzdžių, kurioms šios sąlygos tenkinamos, tačiau funkcija atitinkamame taške neturi ekstremumo. Štai kodėl turi turėti pakankamai nuorodų, kurie leidžia spręsti, ar tam tikrame kritiniame taške yra ekstremumas, o kuris – maksimalus ar minimumas.

Teorema (pirmasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 f(x) , jei funkcijos išvestinė einant per šį tašką keičia ženklą, o jei ženklas pasikeičia iš "pliuso" į "minusą", tada maksimalus taškas, o jei iš "minuso" į "pliusas", tai minimalus taškas. .

Jei netoli taško x0 , kairėje ir dešinėje išvestinė išlaiko savo ženklą, tai reiškia, kad funkcija arba tik mažėja, arba tik didėja tam tikroje taško kaimynystėje x0 . Šiuo atveju taške x0 nėra ekstremumo.

Taigi, norėdami nustatyti funkcijos kraštutinius taškus, turite atlikti šiuos veiksmus :

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Išvestinę prilyginkite nuliui ir nustatykite kritinius taškus.
3. Mintyse arba popieriuje skaitinėje ašyje pažymėkite kritinius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite funkcijos išvestinės požymius. Jei išvestinės ženklas pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai kritinis taškas yra didžiausias taškas, o jei iš „minuso“ į „pliusas“, tai kritinis taškas yra minimalus taškas.
4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.

2 pavyzdys Raskite funkcijos kraštutinumus .

Sprendimas. Raskime funkcijos išvestinę:

Prilyginkite išvestinę nuliui, kad surastumėte kritinius taškus:

.

Kadangi bet kuriai "x" vertei vardiklis nėra lygus nuliui, tada skaitiklį prilyginame nuliui:

Turi vieną kritinį tašką x= 3. Išvestinės ženklą nustatome intervalais, kuriuos riboja šis taškas:

diapazone nuo minus begalybės iki 3 - minuso ženklas, tai yra, funkcija mažėja,

diapazone nuo 3 iki pliuso begalybės - pliuso ženklas, tai yra, funkcija didėja.

Tai yra taškas x= 3 yra mažiausias taškas.

Raskite funkcijos reikšmę minimaliame taške:

Taigi randamas funkcijos ekstremumo taškas: (3; 0) , ir tai yra minimalus taškas.

Teorema (antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 yra funkcijos kraštutinis taškas f(x), jei antroji funkcijos išvestinė šiame taške nėra lygi nuliui ( f ""(x) ≠ 0), be to, jei antroji išvestinė didesnė už nulį ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalus taškas, o jei antroji išvestinė mažesnė už nulį ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Pastaba 1. Jei taške x0 išnyksta ir pirmasis, ir antrasis vediniai, tada šiuo metu neįmanoma spręsti apie ekstremumo buvimą pagal antrąjį pakankamą požymį. Šiuo atveju reikia naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.

2 pastaba. Antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo kriterijus taip pat netaikomas, kai stacionariame taške nėra pirmosios išvestinės (tada neegzistuoja ir antroji išvestinė). Šiuo atveju taip pat būtina naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.

Funkcijos ekstremumo vietinis pobūdis

Iš aukščiau pateiktų apibrėžimų matyti, kad funkcijos ekstremumas yra lokalaus pobūdžio – tai didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis.

Tarkime, kad apsvarstysite savo pajamas per vienerių metų laikotarpį. Jei gegužę uždirbote 45 000, o balandį - 42 000, o birželį - 39 000 rublių, tada gegužės mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos maksimumas, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis. Bet spalį uždirbote 71 000 rublių, rugsėjį - 75 000, lapkritį 74 000 rublių, taigi, spalio mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos minimumas, lyginant su artimomis vertėmis. Ir jūs galite lengvai pamatyti, kad didžiausias tarp balandžio-gegužės-birželio mėn. verčių yra mažesnis nei rugsėjo-spalio-lapkričio mėn.

Paprastai tariant, funkcija gali turėti kelis intervalo kraštutinumus ir gali pasirodyti, kad bet kuris funkcijos minimumas yra didesnis už bet kurį maksimumą. Taigi, funkcijai, parodytai aukščiau esančiame paveikslėlyje, .

Tai yra, nereikėtų manyti, kad funkcijos maksimumas ir minimumas yra atitinkamai didžiausios ir minimalios vertės visame nagrinėjamame segmente. Didžiausiame taške funkcija turi didžiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis, kurias ji turi visuose taškuose pakankamai arti maksimalaus taško, o mažiausiame taške – mažiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis, kurios jis visuose taškuose yra pakankamai arti minimalaus taško.

Todėl galime patikslinti aukščiau pateiktos funkcijos ekstremalių taškų sąvoką ir minimalius taškus vadinti vietiniais minimumais, o maksimalius – vietiniais maksimaliais taškais.

Kartu ieškome funkcijos kraštutinumų

3 pavyzdys

Sprendimas.Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje. Jo darinys taip pat egzistuoja visoje skaičių eilutėje. Todėl į Ši byla tik tie, kuriuose, t.y. , iš kur ir . Kritinius taškus ir padalinkite visą funkcijos sritį į tris monotoniškumo intervalus: . Kiekviename iš jų pasirenkame po vieną kontrolinį tašką ir šiame taške randame išvestinės ženklą.

Intervalo atskaitos taškas gali būti: randame . Atsižvelgdami į intervalo tašką, gauname , o paėmę tašką intervale, turime . Taigi, intervalais ir , Ir intervale . Pagal pirmąjį pakankamą ekstremumo ženklą taške ekstremumo nėra (nes išvestinė išlaiko savo ženklą intervale ), o funkcija taške turi minimumą (nes išvestinė pereinant pakeičia ženklą iš minuso į pliusą per šį tašką). Raskite atitinkamas funkcijos reikšmes: , ir . Intervale funkcija mažėja, nes šiame intervale , o intervale ji didėja, nes šiame intervale.

Norėdami patikslinti grafiko konstrukciją, randame jo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Kai gauname lygtį, kurios šaknys ir , t.y., randami du funkcijos grafiko taškai (0; 0) ir (4; 0). Naudodami visą gautą informaciją sudarome grafiką (žr. pavyzdžio pradžioje).

Norėdami atlikti savęs patikrinimą skaičiavimų metu, galite naudoti internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė .

4 pavyzdys Raskite funkcijos ekstremalumą ir sukurkite jos grafiką.

Funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė, išskyrus tašką, t.y. .

Norėdami sutrumpinti tyrimą, galime pasinaudoti tuo, kad ši funkcija yra lygi, nes . Todėl jo grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Oy o tyrimą galima atlikti tik intervalui .

Išvestinės radimas ir kritiniai funkcijos taškai:

1) ;

2) ,

tačiau funkcija šiuo metu nutrūksta, todėl ji negali būti ekstremumo taškas.

Taigi duota funkcija turi du kritinius taškus: ir . Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, tik tašką tikriname antruoju pakankamu ekstremumo ženklu. Norėdami tai padaryti, randame antrąją išvestinę ir nustatyti jo ženklą ties : gauname . Kadangi ir , tada yra mažiausias funkcijos taškas, while .

Norėdami gauti išsamesnį funkcijos grafiko vaizdą, išsiaiškinkime jos elgesį apibrėžimo srities ribose:

(čia simbolis rodo norą x iki nulio dešinėje ir x išlieka teigiamas; panašiai reiškia siekį x iki nulio kairėje ir x išlieka neigiamas). Taigi, jei , tada . Toliau randame

,

tie. jei tada .

Funkcijos grafikas neturi susikirtimo su ašimis taškų. Paveikslėlis yra pavyzdžio pradžioje.

Norėdami atlikti savęs patikrinimą skaičiavimų metu, galite naudoti internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė .

Kartu toliau ieškome funkcijos kraštutinumų

8 pavyzdys Raskite funkcijos ekstremalą.

Sprendimas. Raskite funkcijos domeną. Kadangi nelygybė turi būti, mes gauname iš .

Raskime pirmąją funkcijos išvestinę.