पाइथागोरस पैंट के बारे में संदेश। पाइथागोरस प्रमेय: पृष्ठभूमि, साक्ष्य, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण। मुद्दे के इतिहास से

लगभग 12 कुर्सियों के बराबर क्लब लगभग समान विडंबनापूर्ण गद्य मृत्यु एक गरीब आदमी के लिए आया था। और वह बहरा था। इतना सामान्य, लेकिन थोड़ा बहरा ... और उसने बुरी तरह देखा। मैंने लगभग कुछ भी नहीं देखा। - ओह, हमारे पास मेहमान हैं! कृपया पास करें। मृत्यु कहती है:-प्रसन्न होने की प्रतीक्षा करो,

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MBOU बॉन्डार्स्काया माध्यमिक विद्यालय छात्र परियोजना विषय पर: "पाइथागोरस और उसका प्रमेय" द्वारा तैयार: एकटोव कोंस्टेंटिन, ग्रेड 7 ए हेड: डोलोतोवा नादेज़्दा इवानोव्ना, गणित शिक्षक 2015

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व्याख्या। ज्यामिति एक बहुत ही रोचक विज्ञान है। इसमें कई प्रमेय शामिल हैं जो एक दूसरे के समान नहीं हैं, लेकिन कभी-कभी इतने आवश्यक होते हैं। मुझे पाइथागोरस प्रमेय में बहुत दिलचस्पी हो गई। दुर्भाग्य से, सबसे महत्वपूर्ण कथनों में से एक जिसे हम केवल आठवीं कक्षा में पास करते हैं। मैंने गोपनीयता का पर्दा हटाने और पाइथागोरस प्रमेय का पता लगाने का फैसला किया।

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कार्य पाइथागोरस की जीवनी का अध्ययन करने के लिए। प्रमेय के उद्भव और प्रमाण के इतिहास का अन्वेषण करें। पता लगाएं कि कला में प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाता है। उन ऐतिहासिक समस्याओं का पता लगाएं जिनमें पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया गया है। इस प्रमेय के प्रति अलग-अलग समय के बच्चों के दृष्टिकोण से परिचित होना। एक प्रोजेक्ट बनाएं।

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अनुसंधान प्रगति पाइथागोरस की जीवनी। पाइथागोरस की आज्ञाएँ और सूत्र। पाइथागोरस प्रमेय। प्रमेय का इतिहास। "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान क्यों हैं"? अन्य वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण। पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग। मतदान। निष्कर्ष।

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पाइथागोरस - वह कौन है? समोस के पाइथागोरस (580 - 500 ईसा पूर्व) प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और आदर्शवादी दार्शनिक। समोस द्वीप पर पैदा हुए। मिलना एक अच्छी शिक्षा. किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस, पूर्वी वैज्ञानिकों के ज्ञान से परिचित होने के लिए, मिस्र गए और वहां 22 वर्षों तक रहे। गणित सहित मिस्रवासियों के सभी विज्ञानों में महारत हासिल करने के बाद, वह बाबुल चले गए, जहाँ वे 12 साल तक रहे और बेबीलोन के पुजारियों के वैज्ञानिक ज्ञान से परिचित हुए। परंपराएं पाइथागोरस को भारत की यात्रा का श्रेय देती हैं। यह बहुत संभव है, क्योंकि तब आयोनिया और भारत के बीच व्यापारिक संबंध थे। अपनी मातृभूमि (सी। 530 ईसा पूर्व) में लौटकर, पाइथागोरस ने अपने दार्शनिक स्कूल को व्यवस्थित करने का प्रयास किया। हालांकि, अज्ञात कारणों से, वह जल्द ही समोस छोड़ देता है और क्रोटन (उत्तरी इटली में एक ग्रीक उपनिवेश) में बस जाता है। यहां पाइथागोरस अपने स्वयं के स्कूल का आयोजन करने में कामयाब रहे, जो लगभग तीस वर्षों तक संचालित रहा। पाइथागोरस का स्कूल, या, जैसा कि इसे पाइथागोरस यूनियन भी कहा जाता है, उसी समय था दार्शनिक स्कूल, और एक राजनीतिक दल, और एक धार्मिक बिरादरी। पाइथागोरस संघ की स्थिति बहुत गंभीर थी। अपने स्वयं के द्वारा दार्शनिक विचारपाइथागोरस एक आदर्शवादी, गुलाम-मालिक अभिजात वर्ग के हितों के रक्षक थे। शायद समोस से उनके जाने का यही कारण था, क्योंकि इओनिया में लोकतांत्रिक विचारों के समर्थकों का बहुत बड़ा प्रभाव था। सार्वजनिक मामलों में, "आदेश" से पाइथागोरस ने अभिजात वर्ग के शासन को समझा। उन्होंने प्राचीन यूनानी लोकतंत्र की निंदा की। पाइथागोरस का दर्शन गुलाम-मालिक अभिजात वर्ग के प्रभुत्व को सही ठहराने का एक आदिम प्रयास था। 5वीं शताब्दी के अंत में ईसा पूर्व इ। यूनान और उसके उपनिवेशों में लोकतांत्रिक आंदोलन की एक लहर बह गई। क्रोटन में लोकतंत्र की जीत हुई। पाइथागोरस क्रोटन को अपने शिष्यों के साथ छोड़ देता है और टेरेंटम और फिर मेटापोंट चला जाता है। मेटापोंट में पाइथागोरस का आगमन वहाँ एक लोकप्रिय विद्रोह के प्रकोप के साथ हुआ। एक रात की झड़प में, लगभग नब्बे वर्षीय पाइथागोरस की मृत्यु हो गई। उनके स्कूल का अस्तित्व समाप्त हो गया है। पाइथागोरस के शिष्य, उत्पीड़न से भागकर, पूरे ग्रीस और उसके उपनिवेशों में बस गए। अपनी आजीविका कमाने के लिए, उन्होंने स्कूलों का आयोजन किया जिसमें वे मुख्य रूप से अंकगणित और ज्यामिति पढ़ाते थे। उनकी उपलब्धियों के बारे में जानकारी बाद के वैज्ञानिकों - प्लेटो, अरस्तू, आदि के लेखन में निहित है।

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पाइथागोरस थॉट की आज्ञाएं और सूत्र पृथ्वी पर लोगों के बीच सबसे ऊपर हैं। अनाज के नाप पर न बैठें (अर्थात आलस्य से न रहें)। जाते समय पीछे मुड़कर न देखें (अर्थात मृत्यु से पहले जीवन से न चिपके)। पीटे हुए रास्ते पर मत जाओ (अर्थात भीड़ की राय का नहीं, बल्कि समझने वालों की राय का पालन करें)। घर में गिलहरी न रखें (अर्थात् ऐसे मेहमानों का स्वागत न करें जो बातूनी हों और भाषा में संयमित न हों)। बोझ उठाने वाले के साथ रहो, बोझ उठाने वाले के साथ मत रहो (अर्थात लोगों को आलस्य के लिए नहीं, बल्कि पुण्य के लिए, काम करने के लिए प्रोत्साहित करो)। जीवन के क्षेत्र में बोने वाले की तरह सम और स्थिर कदमों से चलो। सच्ची पितृभूमि वह है जहाँ अच्छे संस्कार हों। विद्वान समाज के सदस्य मत बनो: सबसे बुद्धिमान, समाज बनाने वाले, आम बन जाते हैं। सुंदर समानता के बच्चे के रूप में पवित्र संख्या, वजन और माप का सम्मान करें। अपनी इच्छाओं को मापें, अपने विचारों को तौलें, अपने शब्दों को गिनें। किसी बात पर अचंभित न हों: विस्मय ने देवताओं को उत्पन्न किया है।

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प्रमेय का कथन। एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

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प्रमेय के प्रमाण। पर इस पलमें वैज्ञानिक साहित्यइस प्रमेय के 367 प्रमाण दर्ज किए गए। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय ही एकमात्र ऐसा प्रमेय है जिसके पास इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाण हैं। बेशक, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण।

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पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण पैरों a, b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज दिया गया है। आइए सिद्ध करें कि c² = a² + b² आइए त्रिभुज को एक वर्ग बनाने के लिए पूरा करें जिसकी भुजा a + b है। इस वर्ग का क्षेत्रफल S (a + b)² है। दूसरी ओर, वर्ग चार समान समकोण त्रिभुजों से बना है, प्रत्येक S ½ a b के बराबर है, और एक वर्ग जिसकी भुजा c है। S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² इस प्रकार, (a + b)² = 2 a b + c², जहां से c² = a² + b² c c c c a b

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पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास दिलचस्प है। हालाँकि यह प्रमेय पाइथागोरस के नाम से जुड़ा है, लेकिन यह उससे बहुत पहले से जाना जाता था। बेबीलोन के ग्रंथों में यह प्रमेय पाइथागोरस से 1200 वर्ष पूर्व आता है। यह संभव है कि उस समय तक वे इसके प्रमाण को नहीं जानते थे, और कर्ण और पैरों के बीच के संबंध को माप के आधार पर अनुभवजन्य रूप से स्थापित किया गया था। पाइथागोरस को स्पष्ट रूप से इस संबंध का प्रमाण मिला। एक प्राचीन किंवदंती को संरक्षित किया गया है कि उनकी खोज के सम्मान में, पाइथागोरस ने देवताओं को एक बैल की बलि दी, और अन्य साक्ष्यों के अनुसार, यहां तक ​​​​कि सौ बैल भी। निम्नलिखित शताब्दियों में, पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण पाए गए। वर्तमान में, उनमें से सौ से अधिक हैं, लेकिन सबसे लोकप्रिय प्रमेय किसी दिए गए समकोण त्रिभुज का उपयोग करके एक वर्ग का निर्माण है।

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प्राचीन चीन में प्रमेय "यदि एक समकोण को उसके घटक भागों में विघटित किया जाता है, तो उसके पक्षों के सिरों को जोड़ने वाली रेखा 5 होगी जब आधार 3 और ऊँचाई 4 होगी।"

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प्रमेय in प्राचीन मिस्रकांटोर (गणित का सबसे बड़ा जर्मन इतिहासकार) का मानना ​​है कि समानता 3 + 4 ² = 5² मिस्रवासियों को 2300 ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही ज्ञात थी। ई।, राजा अमेनेमहट के समय (बर्लिन संग्रहालय के पेपिरस 6619 के अनुसार)। कैंटर के अनुसार, हार्पडोनैप्स, या "स्ट्रिंगर्स", ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाया।

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बेबीलोनिया में प्रमेय के बारे में “थेल्स, पाइथागोरस और पाइथागोरस जैसे पहले यूनानी गणितज्ञों की योग्यता गणित की खोज नहीं है, बल्कि इसका व्यवस्थितकरण और पुष्टि है। उनके हाथों में, अस्पष्ट विचारों पर आधारित कम्प्यूटेशनल व्यंजन एक सटीक विज्ञान बन गए हैं।

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"पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान क्यों हैं"? दो सहस्राब्दियों तक, पाइथागोरस प्रमेय का सबसे आम प्रमाण यूक्लिड का था। यह उनकी प्रसिद्ध पुस्तक "बिगिनिंग्स" में रखा गया है। यूक्लिड ने ऊंचाई सीएच को समकोण के शीर्ष से कर्ण तक कम किया और साबित किया कि इसकी निरंतरता कर्ण पर पूर्ण वर्ग को दो आयतों में विभाजित करती है, जिसके क्षेत्र पैरों पर बने संबंधित वर्गों के क्षेत्रों के बराबर होते हैं। इस प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त चित्र को मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है। लंबे समय तक उन्हें गणितीय विज्ञान के प्रतीकों में से एक माना जाता था।

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पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के प्रति पुरातनता के बच्चों का रवैया मध्य युग के छात्रों द्वारा बहुत कठिन माना जाता था। कमजोर छात्र जिन्होंने बिना समझे प्रमेयों को याद किया, और इसलिए "गधे" कहलाए, वे पाइथागोरस प्रमेय को दूर करने में सक्षम नहीं थे, जो उनके लिए एक दुर्गम पुल की तरह काम करता था। पाइथागोरस प्रमेय के साथ आने वाले चित्रों के कारण, छात्रों ने इसे "पवनचक्की" भी कहा, "पाइथागोरस पैंट सभी तरफ समान हैं" जैसी कविताओं की रचना की, और कैरिकेचर बनाए।

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प्रमेय के प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में प्रमेय का सबसे सरल प्रमाण प्राप्त होता है। वास्तव में, यह देखने के लिए कि प्रमेय सत्य है, समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों की टाइलिंग को देखना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC के लिए: कर्ण AC पर बने वर्ग में 4 प्रारंभिक त्रिभुज होते हैं, और पैरों पर बने वर्गों में दो होते हैं।

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"दुल्हन की कुर्सी" आकृति में, पैरों पर बने वर्गों को एक दूसरे के बगल में चरणों में रखा गया है। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी सीई के बाद के साक्ष्य में मिलता है, ई।, हिंदुओं को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता है।

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पायथागॉरियन प्रमेय का अनुप्रयोग वर्तमान में, यह आमतौर पर माना जाता है कि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों के विकास की सफलता गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास पर निर्भर करती है। उत्पादन की दक्षता बढ़ाने के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त प्रौद्योगिकी और राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में गणितीय विधियों का व्यापक परिचय है, जिसमें नए का निर्माण शामिल है, प्रभावी तरीकेगुणात्मक और मात्रात्मक अनुसंधान, जो हमें अभ्यास द्वारा सामने रखी गई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

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निर्माण में प्रमेय का अनुप्रयोग गॉथिक और रोमनस्क्यू शैलियों की इमारतों में, खिड़कियों के ऊपरी हिस्से पत्थर की पसलियों से विभाजित होते हैं, जो न केवल एक आभूषण की भूमिका निभाते हैं, बल्कि खिड़कियों की ताकत में भी योगदान देते हैं।

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ऐतिहासिक कार्य मस्तूल को ठीक करने के लिए, आपको 4 केबल स्थापित करने की आवश्यकता है। प्रत्येक केबल का एक सिरा 12 मीटर की ऊंचाई पर, दूसरा जमीन पर मस्तूल से 5 मीटर की दूरी पर लगाया जाना चाहिए। क्या 50 मीटर रस्सी मस्तूल को सुरक्षित करने के लिए पर्याप्त है?

एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत सुनिश्चित हो सकते हैं कि जब पूछा गया कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय प्रत्येक शिक्षित व्यक्ति के मन में दृढ़ता से बसा हुआ है, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही पर्याप्त है, और तब कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज के इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित की गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपने महान सिद्धांत का निर्माण किया। यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक साथ। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शीर्ष ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + में 2

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर प्राप्त किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लम्बवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना होगा।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

परिणाम यह निकला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसीलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

पर इस मामले मेंविमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले इस पद्धति का प्रयोग किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले एक से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

एबी और सीबी के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी ड्राइंग को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को दर्शाता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक स्कूल में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही एक उच्च विद्यालय के निदेशक बन गए शिक्षण संस्थान. आत्म-विकास की इच्छा और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इस बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक में स्कूल कार्यक्रमइस प्रमेय का उपयोग केवल में उपयोग करने के लिए किया गया है ज्यामितीय समस्याएं. स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, अपने में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें रोजमर्रा की जिंदगीहर कोई यह कर सकते हैं। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि साधारण घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. परिणाम यह निकला: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, यह जानने के लिए, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश C और B के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी ज्ञात कर सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

OS (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

ओबी=ओए+एबीओबी=आर+एक्स

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक किए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि एक अलमारी है जिसकी गहराई 800 मिमी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।