Rezolvarea grafică a sistemelor de inegalități liniare. Inegalități liniare. Sisteme de inegalități liniare 3 rezolvă sistemul de inegalități

În această lecție, vom continua să luăm în considerare inegalitățile raționale și sistemele lor, și anume: un sistem de inegalități liniare și pătratice. Să ne amintim mai întâi ce este un sistem de două inegalități liniare cu o variabilă. În continuare, luăm în considerare un sistem de inegalități pătratice și o metodă de rezolvare a acestora folosind exemplul unor probleme specifice. Să aruncăm o privire mai atentă la așa-numita metodă a acoperișului. Vom analiza soluții tipice de sisteme și la sfârșitul lecției vom lua în considerare soluția unui sistem cu inegalități liniare și pătratice.

2. Complex electronic educațional și metodologic pentru pregătirea claselor 10-11 pentru examenele de admitere la informatică, matematică, limba rusă ().

3. Centrul de Învățământ „Tehnologia Educației” ().

4. College.ru secțiunea de matematică ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. nr. 58 (a, c); 62; 63.

se numește orice set de două sau mai multe inegalități liniare care conțin aceeași cantitate necunoscută

Iată exemple de astfel de sisteme:

Intervalul de intersecție a două raze este soluția noastră. Prin urmare, soluția acestei inegalități este totul X situat între doi și opt.

Răspuns: X

Aplicarea acestui tip de mapare a soluției unui sistem de inegalități este uneori numită metoda acoperișului.

Definiție: Intersecția a două mulțimi DARȘi ÎN se numește un astfel de al treilea set, care include toate elementele incluse în și în DAR si in ÎN. Acesta este sensul intersecției mulțimilor de natură arbitrară. Acum luăm în considerare mulțimile numerice în detaliu, prin urmare, atunci când găsim inegalități liniare, astfel de mulțimi sunt raze - co-direcționate, contra-direcționate și așa mai departe.

Să aflăm pe real exemple găsirea sistemelor liniare de inegalități, cum se determină intersecția mulțimilor de soluții ale inegalităților individuale incluse în sistem.

Calcula sistem de inegalități:

Să plasăm două linii de forță una sub alta. În partea de sus punem acele valori X, care îndeplinesc prima inegalitate X>7 , iar în partea de jos - care acționează ca o soluție la a doua inegalitate X>10 Corelăm rezultatele dreptelor numerice, aflăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute pt X>10.

Răspuns: (10;+∞).

Facem prin analogie cu primul eșantion. Pe o axă numerică dată, trasați toate aceste valori X pentru care primul există inegalitatea sistemului, iar pe a doua axă numerică, plasată sub prima, toate acele valori X, pentru care a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută. Să comparăm aceste două rezultate și să determinăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute simultan pentru toate valorile X situat intre 7 si 10, tinand cont de indicatoare, obtinem 7<x≤10

Răspuns: (7; 10].

Următoarele sunt rezolvate în același mod. sisteme de inegalităţi.

Sistemul inegalităților.
Exemplul 1. Găsiți sfera unei expresii
Soluţie. Trebuie să existe un număr nenegativ sub semnul rădăcinii pătrate, ceea ce înseamnă că două inegalități trebuie să fie valabile simultan: În astfel de cazuri, se spune că problema se reduce la rezolvarea sistemului de inegalități

Dar nu ne-am întâlnit încă cu un astfel de model matematic (sistem de inegalități). Aceasta înseamnă că nu suntem încă în măsură să finalizăm soluția exemplului.

Inegalitățile care formează un sistem sunt combinate cu o paranteză (la fel este și cazul sistemelor de ecuații). De exemplu, intrarea

înseamnă că inegalitățile 2x - 1 > 3 și 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Uneori sistemul de inegalități este scris ca o dublă inegalitate. De exemplu, sistemul de inegalități

poate fi scris ca o dublă inegalitate 3<2х-1<11.

La cursul de algebră de clasa a IX-a vom lua în considerare doar sistemele a două inegalități.

Luați în considerare sistemul de inegalități

Puteți alege mai multe dintre soluțiile sale particulare, de exemplu x = 3, x = 4, x = 3,5. Într-adevăr, pentru x = 3 prima inegalitate ia forma 5 > 3, iar a doua - forma 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

În același timp, valoarea x = 5 nu este o soluție a sistemului de inegalități. Pentru x = 5, prima inegalitate ia forma 9 > 3 - inegalitatea numerică corectă, iar a doua - forma 13< 11- неверное числовое неравенство .
A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi toate soluțiile sale particulare. Este clar că o astfel de ghicire, așa cum sa demonstrat mai sus, nu este o metodă de rezolvare a unui sistem de inegalități. În exemplul următor, vom arăta cum se argumentează de obicei când se rezolvă un sistem de inegalități.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de inegalități:

Soluţie.

dar) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim 2x > 4, x > 2; rezolvând a doua inegalitate a sistemului, găsim Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x > 2; rezolvând cea de-a doua inegalitate a sistemului, găsim Marcam aceste goluri pe o linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru primul interval și hașura inferioară pentru al doilea (Fig. 23). Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. În exemplul luat în considerare, obținem un fascicul

în) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Să generalizăm raționamentul efectuat în exemplul luat în considerare. Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de inegalități

Fie, de exemplu, intervalul (a, b) soluția inegalității fx 2 > g (x), iar intervalul (c, d) soluția inegalității f 2 (x) > s 2 (x ). Marcam aceste goluri pe o linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru primul interval și hașura inferioară pentru al doilea (Fig. 25). Soluția sistemului de inegalități este intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. Pe fig. 25 este intervalul (s, b).

Acum putem rezolva cu ușurință sistemul de inegalități pe care l-am obținut mai sus, în exemplul 1:

Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x > 2; rezolvând a doua inegalitate a sistemului, găsim x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Desigur, sistemul de inegalități nu trebuie să fie format din inegalități liniare, așa cum a fost cazul până acum; pot apărea orice inegalităţi raţionale (şi nu numai raţionale). Din punct de vedere tehnic, lucrul cu un sistem de inegalități raționale neliniare este, desigur, mai dificil, dar nu există nimic fundamental nou (comparativ cu sistemele de inegalități liniare).

Exemplul 4 Rezolvați sistemul de inegalități

Soluţie.

1) Rezolvați inegalitatea pe care o avem
Notați punctele -3 și 3 de pe linia numerică (Fig. 27). Ele împart linia în trei intervale, iar pe fiecare interval expresia p (x) = (x - 3) (x + 3) păstrează un semn constant - aceste semne sunt indicate în Fig. 27. Ne interesează intervalele în care inegalitatea p(x) > 0 este satisfăcută (sunt umbrite în Fig. 27), iar punctele în care este satisfăcută egalitatea p(x) = 0, i.e. punctele x \u003d -3, x \u003d 3 (sunt marcate în Fig. 2 7 cu cearcăne). Astfel, în fig. 27 prezintă un model geometric pentru rezolvarea primei inegalități.

2) Rezolvați inegalitatea pe care o avem
Notați punctele 0 și 5 de pe linia numerică (Fig. 28). Ele împart linia în trei intervale, iar pe fiecare interval expresia<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (umbrite în Fig. 28), și punctele în care egalitatea g (x) - O este satisfăcută, i.e. punctele x = 0, x = 5 (sunt marcate în Fig. 28 prin cearcăne). Astfel, în fig. 28 prezintă un model geometric pentru rezolvarea celei de-a doua inegalități a sistemului.

3) Marcăm soluțiile găsite pentru prima și a doua inegalități ale sistemului pe aceeași linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru soluțiile primei inegalități, iar hașura inferioară pentru soluțiile celei de-a doua (Fig. 29). Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. Un astfel de interval este un segment.

Exemplul 5 Rezolvați sistemul de inegalități:

Soluţie:

dar) Din prima inegalitate găsim x >2. Luați în considerare a doua inegalitate. Trinom pătrat x 2 + x + 2 nu are rădăcini reale, iar coeficientul său de conducere (coeficientul de la x 2) este pozitiv. Aceasta înseamnă că pentru tot x inegalitatea x 2 + x + 2>0 este satisfăcută și, prin urmare, a doua inegalitate a sistemului nu are soluții. Ce înseamnă asta pentru sistemul de inegalități? Aceasta înseamnă că sistemul nu are soluții.

b) Din prima inegalitate găsim x > 2, iar a doua inegalitate este valabilă pentru orice valoare a lui x. Ce înseamnă asta pentru sistemul de inegalități? Aceasta înseamnă că soluția sa are forma x>2, adică. coincide cu soluția primei inegalități.

Răspuns:

a) nu există decizii; b) x>2.

Acest exemplu este o ilustrare pentru următoarele utile

1. Dacă într-un sistem de mai multe inegalități cu o variabilă o inegalitate nu are soluții, atunci sistemul nu are soluții.

2. Dacă într-un sistem de două inegalități cu o variabilă o inegalitate este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei, atunci soluția sistemului este soluția celei de-a doua inegalități a sistemului.

Încheind această secțiune, să revenim la problema numărului conceput dat la începutul acesteia și să o rezolvăm, după cum se spune, după toate regulile.

Exemplul 2(vezi p. 29). Conceput numar natural. Se știe că, dacă la pătratul numărului conceput se adaugă 13, atunci suma va fi mai mare decât produsul dintre numărul conceput și numărul 14. Dacă la pătratul numărului conceput se adaugă 45, atunci suma va fi să fie mai mic decât produsul dintre numărul conceput și numărul 18. Ce număr este conceput?

Soluţie.

Primul pas. Întocmirea unui model matematic.
Numărul x, așa cum am văzut mai sus, trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

Faza a doua. Lucrând cu modelul matematic compilat Să transformăm prima inegalitate a sistemului în formă
x2- 14x+ 13 > 0.

Să găsim rădăcinile trinomului x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Folosind parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (Fig. 30), ajungem la concluzia că inegalitatea lui interesul pentru noi este satisfăcut pentru x< 1 или x > 13.

Să transformăm a doua inegalitate a sistemului în forma x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Sistemul inegalităților Se obișnuiește să se numească orice set de două sau mai multe inegalități care conțin o cantitate necunoscută.

Această formulare este ilustrată în mod clar, de exemplu, de astfel sisteme de inegalităţi:

Rezolvați sistemul de inegalități - înseamnă a găsi toate valorile unei variabile necunoscute pentru care se realizează fiecare inegalitate a sistemului sau a demonstra că nu există astfel de .

Deci, pentru fiecare individ inegalități de sistem calculați variabila necunoscută. În plus, din valorile rezultate, le selectează numai pe cele care sunt adevărate atât pentru prima cât și pentru a doua inegalități. Prin urmare, la înlocuirea valorii alese, ambele inegalități ale sistemului devin corecte.

Să analizăm soluția mai multor inegalități:

Plasați unul sub cealaltă pereche de linii numerice; pune valoarea pe partea de sus X, sub care prima inegalitate o ( X> 1) devin adevărate, iar în partea de jos, valoarea X, care sunt soluția celei de-a doua inegalități ( X> 4).

Prin compararea datelor de pe linii numerice, rețineți că soluția pentru ambele inegalităților voi X> 4. Răspunde, X> 4.

Exemplul 2

Calculând primul inegalitate obținem -3 X< -6, или X> 2, al doilea - X> -8 sau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, sub care primul inegalitatea sistemului, iar pe linia numerică inferioară, toate acele valori X, sub care se realizează a doua inegalitate a sistemului.

Comparând datele, constatăm că ambele inegalităților va fi implementat pentru toate valorile X plasat de la 2 la 8. Seturi de valori X denota dubla inegalitate 2 < X< 8.

Exemplul 3 Sa gasim

Lecție și prezentare pe tema: „Sisteme de inegalități. Exemple de soluții”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Ghid de studiu interactiv pentru clasa a 9-a „Reguli și exerciții de geometrie”
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9

Sistemul de inegalități

Băieți, ați studiat inegalitățile liniare și pătratice, ați învățat cum să rezolvați probleme pe aceste subiecte. Acum să trecem la un nou concept în matematică - un sistem de inegalități. Sistemul de inegalități este similar cu sistemul de ecuații. Îți amintești sistemele de ecuații? Ai studiat sistemele de ecuații în clasa a șaptea, încearcă să-ți amintești cum le-ai rezolvat.

Să introducem definiția unui sistem de inegalități.
Mai multe inegalități cu o variabilă x formează un sistem de inegalități dacă trebuie să găsiți toate valorile lui x pentru care fiecare dintre inegalități formează o expresie numerică adevărată.

Orice valoare a lui x astfel încât fiecare inegalitate se evaluează la o expresie numerică validă este o soluție a inegalității. Poate fi numită și o soluție privată.
Ce este o decizie privată? De exemplu, în răspuns am primit expresia x>7. Atunci x=8, sau x=123, sau un alt număr mai mare de șapte este o soluție particulară, iar expresia x>7 este decizie comună. Soluția generală este formată dintr-un set de soluții particulare.

Cum am combinat sistemul de ecuații? Așa este, o acoladă, așa că ei procedează la fel cu inegalitățile. Să ne uităm la un exemplu de sistem de inegalități: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Dacă sistemul de inegalități constă din expresii identice, de exemplu, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Deci, ce înseamnă să găsești o soluție la un sistem de inegalități?
O soluție a unei inegalități este un set de soluții parțiale ale unei inegalități care satisfac ambele inegalități ale sistemului simultan.

Scriem forma generală a sistemului de inegalități ca $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Fie $X_1$ soluția generală a inegalității f(x)>0.
$X_2$ este soluția generală a inegalității g(x)>0.
$X_1$ și $X_2$ sunt setul de soluții particulare.
Soluția sistemului de inegalități vor fi numerele aparținând atât $X_1$ cât și $X_2$.
Să ne uităm la operațiunile pe platouri. Cum putem găsi elementele unei mulțimi care aparțin ambelor mulțimi simultan? Așa e, există o operațiune de intersecție pentru asta. Deci, soluția inegalității noastre va fi mulțimea $A= X_1∩ X_2$.

Exemple de soluții la sisteme de inegalități

Să vedem exemple de rezolvare a sistemelor de inegalități.

Rezolvați sistemul de inegalități.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Soluţie.
a) Rezolvați fiecare inegalitate separat.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Ne marcam intervalele pe o singură linie de coordonate.

Soluția sistemului va fi segmentul de intersecție a intervalelor noastre. Inegalitatea este strictă, atunci segmentul va fi deschis.
Răspuns: (1;3).

B) De asemenea, rezolvăm fiecare inegalitate separat.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5$.


Soluția sistemului va fi segmentul de intersecție a intervalelor noastre. A doua inegalitate este strictă, apoi segmentul va fi deschis în stânga.
Răspuns: (-5; 5].

Să rezumam ceea ce am învățat.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de inegalități: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Apoi, intervalul ($x_1; x_2$) este soluția primei inegalități.
Intervalul ($y_1; y_2$) este soluția celei de-a doua inegalități.
Soluția unui sistem de inegalități este intersecția soluțiilor fiecărei inegalități.

Sistemele de inegalități pot consta nu numai din inegalități de ordinul întâi, ci și din orice alte tipuri de inegalități.

Reguli importante pentru rezolvarea sistemelor de inegalități.
Dacă una dintre inegalitățile sistemului nu are soluții, atunci întregul sistem nu are soluții.
Dacă una dintre inegalități este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei, atunci soluția sistemului va fi soluția celeilalte inegalități.

Exemple.
Rezolvați sistemul de inegalități:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Soluţie.
Să rezolvăm fiecare inegalitate separat.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Să rezolvăm a doua inegalitate.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Soluția inegalității este un decalaj.
Să desenăm ambele intervale pe o singură linie dreaptă și să găsim intersecția.
Intersecția intervalelor este segmentul (4; 6).
Răspuns: (4;6].

Rezolvați sistemul de inegalități.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.

Soluţie.
a) Prima inegalitate are o soluție x>1.
Să găsim discriminantul pentru a doua inegalitate.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Reamintim regula, când una dintre inegalități nu are soluții, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: Nu există soluții.

B) Prima inegalitate are o soluție x>1.
A doua inegalitate este mai mare decât zero pentru tot x. Atunci soluția sistemului coincide cu soluția primei inegalități.
Răspuns: x>1.

Probleme privind sistemele de inegalități pentru soluție independentă

Rezolvarea sistemelor de inegalități:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36