Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs pare uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul detaliază cum să factorizezi un trinom pătrat.

Mulți nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea că acesta este un exercițiu inutil. Dar la matematică, nimic nu se face așa. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și comoditatea calculului.

Un polinom având forma - ax² + bx + c, se numește trinom pătrat. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori ei spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom pătrat este numit din cauza gradului său cel mai mare - un pătrat. Și un trinom - din cauza celor 3 termeni componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• patrulater cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătrat

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Formula sa trebuie cunoscută pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul lui D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile se calculează și prin formula.

Dacă la calculul discriminantului rezultă zero, puteți aplica oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu abreviată: -b / 2a.

Formule pentru valori diferite discriminante sunt diferite.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Internetul are calculator online. Poate fi folosit pentru factorizare. Unele resurse oferă posibilitatea de a vedea soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătrat

Exemple

Vă sugerăm să urmăriți exemple simple despre cum să factorizați o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Aici se arată clar că rezultatul va fi doi x, deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile sunt negative, semnul din formulă este inversat.

Cunoaștem formula de expansiune trinom pătrat multiplicatori: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există niciun număr înainte de termen în exponent. Aceasta înseamnă că există o unitate, este coborâtă.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Înlocuiți valoarea rezultată:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce ați primit rezultatul, merită să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Solutie alternativa

Unii oameni nu au reușit niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătrat. Pentru comoditate, metoda este prezentată într-un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să ajungem cu 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x² + bx + c, punem x la începutul fiecărei paranteze: (x_) (x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică -10 în acest caz. Pentru a afla care sunt aceste numere, puteți utiliza doar metoda de selecție. Numerele înlocuite trebuie să se potrivească cu termenul rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Deci, transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Descompunerea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, trebuie mai întâi să vedem dacă este posibil să factorizezi ceva.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este trinomul deja cunoscut. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este pătrat este negativ? LA acest caz numărul -1 este scos din paranteză. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze, care trebuie completate cu (_) (_). X este scris în a 2-a paranteză, iar ceea ce a rămas în prima. Arata astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 dă numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea numerelor date. Ultima opțiune se potrivește. Deci transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibil să transformi o expresie. În a doua metodă, soluția ecuației nu este necesară. Dar posibilitatea convertirii termenilor intr-un produs este verificata doar prin discriminant.

Merită să exersați rezolvarea ecuațiilor pătratice, astfel încât să nu existe dificultăți atunci când utilizați formule.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să lucrezi atât la automatism. De asemenea, cei care își vor conecta viața cu matematica trebuie să învețe cum să rezolve bine ecuațiile pătratice și să descompună polinoamele în factori. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

In contact cu

Calculator online.
Selectarea pătratului binomului și factorizarea trinomului pătrat.

Acest program de matematică extrage pătratul binomului din trinomul pătrat, adică face o transformare de forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează trinomul pătrat: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Acestea. problemele se reduc la găsirea numerelor \(p, q \) și \(n, m \)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.

Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau vă puteți antrena frati mai mici sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor în curs de rezolvare crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplu detaliat de soluție

Selectarea pătratului binomului.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decide

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu s-au încărcat și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...

daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Extragerea unui binom pătrat dintr-un trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 + bx + c este reprezentat ca a (x + p) 2 + q, unde p și q sunt numere reale, atunci se spune că din trinom pătrat se evidențiază pătratul binomului.

Să extragem pătratul binomului din trinomul 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pentru a face acest lucru, reprezentăm 6x ca produs de 2 * 3 * x, apoi adunăm și scădem 3 2 . Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Acea. noi selectat pătratul binomului din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizarea unui trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația este efectuată factorizări ale unui trinom pătrat.

Să folosim un exemplu pentru a arăta cum se face această transformare.

Să factorizăm trinomul pătrat 2x 2 +4x-6.

Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Acea. noi factorizați trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Rețineți că factorizarea unui trinom pătrat este posibilă numai atunci când ecuația pătratică corespunzătoare acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, factorizarea trinomului 2x 2 +4x-6 este posibilă dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factoring, am constatat că ecuația 2x 2 +4x-6 =0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE online Jocuri, puzzle-uri Reprezentarea grafică a funcțiilor Dicționarul ortografic al limbii ruse Dicționarul argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților rusești Lista sarcinilor

În această lecție, vom învăța cum să descompunem trinoame pătrate în factori liniari. Pentru aceasta, este necesar să ne amintim teorema lui Vieta și inversul acesteia. Această abilitate ne va ajuta să descompunem rapid și convenabil trinoamele pătrate în factori liniari și, de asemenea, să simplificăm reducerea fracțiilor constând din expresii.

Deci înapoi la ecuația pătratică , unde .

Ceea ce avem în partea stângă se numește trinom pătrat.

Teorema este adevărată: Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci identitatea este adevărată

Unde este coeficientul conducător, sunt rădăcinile ecuației.

Deci, avem o ecuație pătratică - un trinom pătrat, unde rădăcinile ecuației pătratice sunt numite și rădăcinile trinomului pătratic. Prin urmare, dacă avem rădăcinile unui trinom pătrat, atunci acest trinom este descompus în factori liniari.

Dovada:

Dovada acestui fapt se realizează folosind teorema Vieta, pe care am luat-o în considerare în lecțiile anterioare.

Să ne amintim ce ne spune teorema lui Vieta:

Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat pentru care , atunci .

Această teoremă implică următoarea afirmație că .

Vedem că, conform teoremei Vieta, adică substituind aceste valori în formula de mai sus, obținem următoarea expresie

Q.E.D.

Amintiți-vă că am demonstrat teorema că, dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci descompunerea este validă.

Acum să ne amintim un exemplu de ecuație pătratică, la care am selectat rădăcinile folosind teorema lui Vieta. Din acest fapt putem obține următoarea egalitate datorită teoremei demonstrate:

Acum să verificăm corectitudinea acestui fapt prin simpla extindere a parantezelor:

Vedem că am factorizat corect și orice trinom, dacă are rădăcini, poate fi factorizat conform acestei teoreme în factori liniari după formula

Totuși, să verificăm dacă pentru orice ecuație este posibilă o astfel de factorizare:

Să luăm de exemplu ecuația. Mai întâi, să verificăm semnul discriminantului

Și ne amintim că pentru a îndeplini teorema pe care am învățat-o, D trebuie să fie mai mare decât 0, prin urmare, în acest caz, factorizarea conform teoremei studiate este imposibilă.

Prin urmare, formulăm o nouă teoremă: dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci nu poate fi descompus în factori liniari.

Deci, am luat în considerare teorema Vieta, posibilitatea de a descompune un trinom pătrat în factori liniari, iar acum vom rezolva mai multe probleme.

Sarcina 1

În acest grup, vom rezolva efectiv problema invers celei puse. Am avut o ecuație și i-am găsit rădăcinile, descompunându-se în factori. Aici vom face invers. Să presupunem că avem rădăcinile unei ecuații pătratice

Problema inversă este următoarea: scrieți o ecuație pătratică astfel încât să fie rădăcinile ei.

Există 2 moduri de a rezolva această problemă.

Deoarece sunt rădăcinile ecuației, atunci este o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt date numere. Acum să deschidem parantezele și să verificăm:

Acesta a fost primul mod în care am creat o ecuație pătratică cu rădăcini date care nu are alte rădăcini, deoarece orice ecuație pătratică are cel mult două rădăcini.

Această metodă implică utilizarea teoremei Vieta inversă.

Dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci ele îndeplinesc condiția ca .

Pentru ecuația pătratică redusă , , adică în acest caz , și .

Astfel, am creat o ecuație pătratică care are rădăcinile date.

Sarcina #2

Trebuie să reduceți fracția.

Avem un trinom la numărător și un trinom la numitor, iar trinoamele pot fi sau nu factorizate. Dacă atât numărătorul, cât și numitorul sunt factorizați, atunci printre ei pot exista factori egali care pot fi redusi.

În primul rând, este necesar să factorizezi numărătorul.

În primul rând, trebuie să verificați dacă această ecuație poate fi factorizată, să găsiți discriminantul . Deoarece , atunci semnul depinde de produs ( trebuie să fie mai mic decât 0), în acest exemplu , adică, ecuația dată are rădăcini.

Pentru a rezolva, folosim teorema Vieta:

În acest caz, deoarece avem de-a face cu rădăcini, va fi destul de dificil să ridicăm pur și simplu rădăcinile. Dar vedem că coeficienții sunt echilibrați, adică dacă presupunem că , și înlocuim această valoare în ecuație, atunci se obține următorul sistem: adică 5-5=0. Astfel, am ales una dintre rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Vom căuta a doua rădăcină substituind ceea ce este deja cunoscut în sistemul de ecuații, de exemplu, , i.e. .

Astfel, am găsit ambele rădăcini ale ecuației pătratice și le putem substitui valorile în ecuația originală pentru a o factoriza:

Amintiți-vă problema inițială, trebuia să reducem fracția.

Să încercăm să rezolvăm problema înlocuind în loc de numărător.

Este necesar să nu uităm că în acest caz numitorul nu poate fi egal cu 0, adică.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci am redus fracția inițială la forma .

Sarcina #3 (sarcina cu un parametru)

La ce valori ale parametrului este suma rădăcinilor ecuației pătratice

Dacă rădăcinile acestei ecuații există, atunci , întrebarea este când .

Plan - rezumatul lecției (MBOU „Școala secundară nr. 2 din Cernomorsk”

Numele profesorului

Ponomarenko Vladislav Vadimovici

Lucru

Algebră

Data lectiei

19.09.2018

№ lecţie

Clasă

9B

Subiectul lecției

(conform KTP)

„Descompunerea unui trinom pătrat în factori”

stabilirea obiectivelor

- educational: învață elevii cum să factorizeze un trinom pătrat, să învețe cum să aplice algoritmul de factorizare a unui trinom pătrat atunci când rezolvă exemple, să ia în considerare sarcinile din baza de date GIA care utilizează algoritmul pentru factorizarea unui trinom pătrat în factori

- în curs de dezvoltare: sa dezvolte la scolari capacitatea de a formula probleme, de a propune modalitati de rezolvare a acestora, de a promova dezvoltarea deprinderilor scolarilor de a evidentia principalul intr-un obiect cognitiv.

- educational: să-i ajute pe elevi să-și dea seama de valoarea activităților comune, să promoveze dezvoltarea abilităților copiilor de a-și exercita autocontrolul, autoevaluarea și autocorecția activităților educaționale.

Tipul de lecție

învăţarea şi consolidarea primară a noilor cunoştinţe.

Echipament:

proiector multimedia, ecran, computer, material didactic, manuale, caiete, prezentarela lecție

În timpul orelor

1. Timp de organizare: profesorul salută elevii, verifică pregătirea pentru lecție.

Motivează elevii:

Astăzi, în lecția de activitate comună, vom confirma cuvintele lui Poya (diapozitivul 1) („Problema pe care o rezolvați poate fi foarte modestă, dar dacă vă provoacă curiozitatea și dacă o rezolvați singur, atunci puteți experiență care duce la deschiderea tensiunii minții și la bucuria victoriei.” Poya door.)

Mesaj despre Poya (diapozitivul 2)

Vreau să-ți provoc curiozitatea. Luați în considerare sarcina de la GIA. Trasează funcția .

Ne putem bucura de bucuria victoriei și putem îndeplini această sarcină? (situatie problematica).

Cum se rezolvă această problemă?

- Schițați un plan de acțiune pentru a rezolva această problemă.

Corectează planul de lecție, comentează principiul muncii independente.

Muncă independentă(înmânați clasei pliante cu textul muncii independente) (Anexa 1)

Muncă independentă

Multiplica:

X 2 – 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Reduce fracția:

SlideCu răspunsuri pentru autoexaminare.

Întrebare pentru clasă:

Ce metode de factorizare a unui polinom ați folosit?

Ați reușit să factorizați toate polinoamele?

Pot fi reduse toate fracțiile?

Problema 2:Slide

Cum se factorizează un polinom

2 X 2 – 7 X – 4?

Cum se reduce o fracție?

Sondaj frontal:

Ce sunt polinoamele

2 X 2 – 7 X– 4 șiX 2 – 5 X +6?

Definiți un trinom pătrat.

Ce știm despre trinomul pătrat?

Cum să-i găsești rădăcinile?

Ce determină numărul de rădăcini?

Comparați aceste cunoștințe cu ceea ce trebuie să știm și formulați subiectul lecției. (După aceea, subiectul lecției este afișat pe ecran)Slide

Stabiliți scopul lecțieiSlide

Să vedem rezultatul finalSlide

Întrebare pentru clasă:Cum se rezolvă această problemă?

Clasa lucrează în grup.

Sarcina pentru grupuri:

găsiți pagina dorită în cuprins, citiți articolul 4 cu creionul în mână, evidențiați ideea principală, întocmește un algoritm prin care poate fi factorizat orice trinom pătrat.

Verificarea îndeplinirii sarcinii de către clasă (lucrare frontală):

Care este ideea principală a paragrafului 4?Slide(pe ecran, formula pentru factorizarea unui trinom pătrat în factori).

algoritm pe ecran.Slide

1. Echivalează trinomul pătrat cu zero.

2. Găsiți discriminantul.

3. Aflați rădăcinile unui trinom pătrat.

4. Înlocuiți rădăcinile găsite în formulă.

5. Dacă este necesar, introduceți coeficientul de conducere între paranteze.

Încă unulmica problema : dacă D=0, este posibil să factorizezi un trinom pătrat și, dacă da, cum?

(Cercetare in grupuri).

Slide(pe ecran:

Dacă D = 0, atunci
.

Dacă trinomul pătrat nu are rădăcini,

atunci nu poate fi factorizat.)

Să revenim la sarcină în muncă independentă. Acum putem factoriza trinoame pătrate2 X 2 – 7 X– 4 șiX 2 – 5 X +6?

Clasa funcționează independent, se înmulțește, lucrez individual cu elevi slabi.

Slide(cu solutie)Verificare reciprocă

Putem reduce fracția?

Reduceți fracția, chem un elev puternic la tablă.

Să revenim la sarcinăde la GIA. Acum putem reprezenta grafic funcția?

Care este graficul acestei funcții?

Desenați un grafic al funcției în caiet.

Test (cumuncă independentă)Anexa 2

Autoexaminare și autoevaluareElevii au primit pliante (Anexa 3) în care trebuie să-și noteze răspunsurile. Ele oferă criterii de evaluare.

Criteriu de evaluare:

3 sarcini - evaluare „4”

4 sarcini - nota „5”

Reflecţie:(diapozitiv)

1. Astăzi la lecția pe care am învățat-o...

2. Astăzi la lecția am repetat...

3. Am reparat...

4. Mi-a placut...

5. Mi-am dat o notă pentru activitatea din lecția ...

6. Ce tipuri de muncă au cauzat dificultăți și necesită repetare...

7. Am atins rezultatul dorit?

Slide: Mulțumesc pentru lecție!

Anexa 1

Muncă independentă

Multiplica:

X 2 – 3x;

X 2 – 9;

X 2 – 8x + 16;

X 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 X 2 – 7 X – 4.

Reduce fracția:

Anexa 2

Test

1 opțiune

factorizeze?

X 2 – 8x+ 7;

X 2 – 8x+ 16 ;

X 2 – 8x+ 9;

X 2 – 8x+ 1 7.

2 X 2 – 9 X – 5 = 2( X – 5)(…)?

Răspuns:_________ .

Reduceți fracția:

X – 3;

X + 3;

X – 4;

alt raspuns.

Test

Opțiunea 2

Ce trinom pătrat nu poate fi pfactorizeze?

5 X 2 + X+ 1;

⅓ X 2 –8x+ 2;

0,1 X 2 + 3 X - 5;

X 2 + 4 X+ 5.

Ce polinom ar trebui înlocuit cu elipsa pentru a avea egalitate:2 X 2 + 5 X – 3 = 2( X + 3)(…)?

Răspuns:_________ .

Reduceți fracția:

3 X 2 – 6 X – 15;

0,25(3 X - 1);

0,25( X - 1);

alt raspuns.

Anexa 3

Notează răspunsurile.

Criteriu de evaluare:

Efectuat corect: sarcina 2 - nota „3”

3 sarcini - evaluare „4”

4 sarcini - nota „5”

Sarcina numărul 1

Sarcina numărul 2

Sarcina numărul 3

1 opțiune

Opțiunea 2

Un trinom pătrat este un polinom de forma ax^2+bx+c, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a nu este egal cu zero.
De fapt, primul lucru pe care trebuie să-l știm pentru a factoriza trinomul nefericit este teorema. Arată astfel: „Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile trinomului pătrat ax^2+bx+c, atunci ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Desigur, există și o demonstrație a acestei teoreme, dar necesită unele cunoștințe teoretice (dacă scoatem factorul a din polinomul ax^2+bx+c obținem ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Prin teorema lui Viette x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, deci b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), deci ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Uneori profesorii te fac să înveți dovada, dar dacă este nu este necesar, vă sfătuiesc să vă amintiți doar formula finală.

2 pas

Să luăm ca exemplu trinomul 3x^2-24x+21. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să echivalăm trinomul cu zero: 3x^2-24x+21=0. Rădăcinile ecuației pătratice rezultate vor fi, respectiv, rădăcinile trinomului.

3 pas

Rezolvați ecuația 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Deci, hai să decidem. Cine nu știe să rezolve ecuații patratice, uită-te la instrucțiunile mele cu 2 moduri de a le rezolva folosind exemplul aceleiași ecuații. Avem rădăcinile x1=7, x2=1.

4 pas

Acum că avem rădăcinile trinomului, le putem înlocui în siguranță în formula =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
obținem: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Puteți scăpa de termenul a punându-l între paranteze: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
ca rezultat obținem: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Notă: fiecare dintre factorii obținuți ((x-7), (3x-3) sunt polinoame de gradul I. Asta e toată expansiunea =) Dacă vă îndoiți de răspunsul primit, îl puteți verifica oricând înmulțind parantezele.

5 pas

Verificarea solutiei. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Acum știm sigur că soluția noastră este corectă! Sper ca instrucțiunile mele să ajute pe cineva =) Mult succes la studii!

• În cazul nostru, în ecuația D > 0 și avem câte 2 rădăcini fiecare. Daca ar fi D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci nu poate fi descompus în factori care sunt polinoame de gradul întâi.