Acest calculator online este conceput pentru a factoriza o funcție.

De exemplu, factorizați: x 2 /3-3x+12 . Să-l scriem ca x^2/3-3*x+12 . De asemenea, puteți utiliza acest serviciu, unde toate calculele sunt salvate în format Word.

De exemplu, descompuneți în termeni. Să-l scriem ca (1-x^2)/(x^3+x) . Pentru a vedea progresul soluției, faceți clic pe Afișare pași . Dacă trebuie să obțineți rezultatul în format Word, utilizați acest serviciu.

Notă: numărul „pi” (π) se scrie ca pi ; rădăcină pătrată ca sqrt , de exemplu sqrt(3) , tangenta lui tg se scrie ca tan . Consultați secțiunea Alternative pentru un răspuns.

1. Dacă se dă o expresie simplă, de exemplu, 8*d+12*c*d , atunci factorizarea expresiei înseamnă factorizarea expresiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți factori comuni. Scriem această expresie ca: 4*d*(2+3*c) .
2. Exprimați produsul ca două binoame: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Aici trebuie să găsim deja câțiva factori comuni: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Scoatem (x+7z) și obținem: (x+7z)(x + 3y) .

vezi și Împărțirea polinoamelor printr-un colț (sunt afișați toți pașii împărțirii printr-o coloană)

Utile în învăţarea regulilor de factorizare sunt formule de înmulțire prescurtate, cu care va fi clar cum să deschideți paranteze cu un pătrat:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metode de factoring

După ce a învăţat câteva trucuri factorizarea soluțiile pot fi clasificate după cum urmează:

1. Folosind formule de înmulțire prescurtate.
2. Căutați un factor comun.

Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea reduce în continuare. Descompunerea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic decât al doilea. Un polinom cu gradul I se numește liniar.

Articolul va dezvălui toate conceptele de descompunere, baza teoreticași metode de factorizare a unui polinom.

Teorie

Teorema 1

Când orice polinom cu gradul n având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad an și n factori liniari (x - xi) , i = 1 , 2 , ... , n , apoi P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) . . . · (x - x 1) , unde x i , i = 1 , 2 , … , n - acestea sunt rădăcinile polinomului.

Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i , i = 1 , 2 , … , n și pentru coeficienți complecși a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n . Aceasta este baza oricărei descompunere.

Când coeficienții de forma a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, deci obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

cometariu

Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Luați în considerare demonstrația teoremei algebrei, consecințele teoremei lui Bezout.

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema 2

Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.

teorema lui Bezout

După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s) , atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s , apoi obținem

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu grad n - 1 .

Corolar din teorema lui Bezout

Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s , atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.

Factorizarea unui trinom pătrat

Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).

Aceasta arată că descompunerea în sine se reduce la rezolvarea mai târziu a ecuației pătratice.

Exemplul 1

Factorizați un trinom pătrat.

Soluţie

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului conform formulei, apoi obținem D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Prin urmare, avem asta

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

De aici obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că extinderea este corectă.

Exemplul 2

Factorizați un trinom pătrat de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

Soluţie

Obținem că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

De aici obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Exemplul 3

Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.

Soluţie

Acum trebuie să rezolvați ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia. Înțelegem asta

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că descompunerea în sine poate fi reprezentată ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemplul 4

Extindeți trinomul pătrat x 2 + 1 3 x + 1 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

După ce au obținut rădăcinile, scriem

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

cometariu

Dacă valoarea discriminantului este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom descompune în factori liniari.

Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare decât al doilea

Descompunerea presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să micșorați gradul acesteia împărțind la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1) . Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2 , iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.

Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect presupune soluția ecuațiilor cu grade superioareși coeficienți întregi.

Scoaterea factorului comun din paranteze

Considerăm cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 \u003d 0, atunci puteți reprezenta polinomul sub forma unei expresii P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.

Exemplul 5

Factorizează polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Soluţie

Vedem că x 1 \u003d 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem include x din întreaga expresie. Primim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Apoi rezultă că

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , unde coeficientul celei mai mari puteri este 1 .

Când polinomul are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.

Exemplul 6

Extindeți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Soluţie

Luați în considerare dacă există rădăcini întregi. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica conform schemei Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:

Rezultă că x \u003d 2 și x \u003d - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca un produs de forma:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Ne întoarcem la descompunerea unui trinom pătrat de forma x 2 + 2 x + 3 .

Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.

Răspuns: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

cometariu

Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare nu este egal cu unul.

Acest caz are loc pentru fracțiile raționale fracționale.

Exemplul 7

Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Soluţie

Este necesar să se schimbe variabila y = 2 x , se trece la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la gradul cel mai înalt. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Când funcția rezultată de forma g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci găsirea lor se află printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Să trecem la calculul funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Obținem că y \u003d - 5 este rădăcina ecuației de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x \u003d y 2 \u003d - 5 2 este rădăcina funcției originale.

Exemplul 8

Este necesar să se împartă la o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.

Soluţie

Scriem și obținem:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabil să luăm factorizarea trinomului pătrat rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero, găsim discriminantul.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

De aici rezultă că

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Trucuri artificiale la factorizarea unui polinom

Rădăcinile raționale nu sunt inerente tuturor polinoamelor. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi descompuse sau reprezentate ca produs.

Metoda de grupare

Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.

Exemplul 9

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Soluţie

Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luăm valorile 1 , - 1 , 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Acest lucru arată că nu există rădăcini, este necesar să se folosească o metodă diferită de descompunere și soluție.

Gruparea este necesară:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

După gruparea polinomului inițial, este necesar să-l reprezentăm ca produs a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru, trebuie să factorizăm. înţelegem asta

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

cometariu

Simplitatea grupării nu înseamnă că este suficient de ușor să alegeți termenii. Nu există o modalitate certă de a o rezolva, de aceea este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.

Exemplul 10

Factorizează polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Soluţie

Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

După factoring, obținem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Folosind înmulțirea abreviată și formulele binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom

Aspectul de multe ori nu indică întotdeauna clar ce mod de utilizat în timpul descompunerii. După ce au fost făcute transformările, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.

Exemplul 11

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Este necesar să convertiți expresia în formă

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .

Deci avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

După aplicarea diferenței de pătrate, obținem

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cai acolo, așa că formula pentru diferența de pătrate ar trebui aplicată din nou. Primim o expresie ca

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exemplul 12

Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Soluţie

Să schimbăm expresia. Înțelegem asta

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom

La schimbarea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.

Exemplul 13

Factorizați un polinom de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

Soluţie

Prin condiție, este clar că este necesar să se facă o înlocuire y = x 3 . Primim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Adică am obținut expansiunea dorită.

Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în diferite moduri.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Clasă: 9

Tip de lecție: o lectie de consolidare si sistematizare a cunostintelor.

Tip de lecție: Verificarea, evaluarea și corectarea cunoștințelor și a metodelor de acțiune.

Obiective:

• Educational:

- să dezvolte la elevi capacitatea de a descompune un trinom pătrat în factori;
- consolidarea cunoștințelor în procesul de rezolvare a diverselor sarcini pe o temă determinată;
– formarea gândirii matematice;
- cresterea interesului pentru subiect in procesul de repetare a materialului parcurs.

Educational:

- educatie pentru organizare, concentrare;
- promovarea unei atitudini pozitive față de învățare;
- cultivarea curiozității.

În curs de dezvoltare:

- dezvolta capacitatea de a-si exercita autocontrolul;
- dezvolta capacitatea de a planifica rațional munca;
- dezvoltarea independenţei, a atenţiei.

Echipament: material didactic pentru muncă orală, muncă independentă, sarcini de testare pentru a testa cunoștințele, carduri cu teme, manual de algebră Yu.N. Makariciov.

Planul lecției.

Etapele lecției	Timp, min	Tehnici si metode
I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor. Motivația pentru problema de învățare	2	Conversația profesorului
II. Conținutul principal al lecției Formarea și consolidarea ideilor elevilor despre formula de factorizare a unui trinom pătrat în factori.	10	Explicația profesorului. Conversație euristică
III. Formarea deprinderilor și abilităților. Consolidarea materialului studiat	25	Rezolvarea problemelor. Răspunsuri la întrebările elevilor
IV. Verificarea asimilării cunoștințelor. Reflecţie	5	Mesajul profesorului. Mesajul studentului
V. Tema pentru acasă	3	Sarcina pe carduri

În timpul orelor

I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor. Motivarea problemei educaționale.

Organizarea timpului.

Astăzi în cadrul lecției vom generaliza și sistematiza cunoștințele pe tema: „Factorizarea unui trinom pătrat”. Făcând diferite exerciții, ar trebui să notați pentru dvs. punctele cărora trebuie să le acordați o atenție deosebită atunci când rezolvați ecuații și probleme practice. Acest lucru este foarte important atunci când vă pregătiți pentru examen.
Notează subiectul lecției: „Factorizarea unui trinom pătrat. Rezolvarea exemplelor.

II. Conținutul principal al lecției Formarea și consolidarea ideilor elevilor despre formula de factorizare a unui trinom pătrat în factori.

munca orală.

- Pentru a factoriza cu succes un trinom pătrat, trebuie să vă amintiți atât formulele pentru găsirea discriminantului, cât și formulele pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice, formula pentru factorizarea unui trinom pătrat și să le puneți în practică.

1. Priviți cardurile „Continuați sau completați declarația”.

2. Uită-te la tablă.

1. Care dintre polinoamele propuse nu este pătrat?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Definiți un trinom pătrat. Definiți rădăcina unui trinom pătrat.

2. Care dintre formule nu este o formulă pentru calcularea rădăcinilor unei ecuații pătratice?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Aflați coeficienții a, b, c ai trinomului pătrat - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Care dintre formule este o formulă pentru calcularea rădăcinilor unei ecuații pătratice

x2 + px + q= 0 prin teorema lui Vieta?

1) X 1 + x 2 =p,
X unu · X 2 = q.

2) X 1 + x 2 = –p,
X unu · X 2 = q.

3)X 1 + x 2 = –p,
X unu · X 2 = – q .

5. Extindeți trinomul pătrat X 2 – 11x + 18 pentru multiplicatori.

Răspuns: ( X – 2)(X – 9)

6. Extindeți trinomul pătrat la 2 – 9y + 20 pentru multiplicatori

Răspuns: ( X – 4)(X – 5)

III. Formarea deprinderilor și abilităților. Consolidarea materialului studiat.

1. Factorizați trinomul pătrat:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
în 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Factorizarea ne ajută la reducerea fracțiilor.

3. Fără a folosi formula rădăcinii, găsiți rădăcinile unui trinom pătrat:
dar) X 2 + 3X + 2 = 0;
b) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Faceți un trinom pătrat ale cărui rădăcini sunt numere:
dar) X 1 = 4; X 2 = 2;
b) X 1 = 3; X 2 = -6;

Muncă independentă.

Finalizați în mod independent sarcina conform opțiunilor, urmată de verificare. La primele două sarcini trebuie să se răspundă „Da” sau „nu”. Este chemat câte un elev din fiecare opțiune (se lucrează pe reverele tablei). După ce se lucrează independent pe placă, se efectuează o verificare comună a soluției. Elevii își evaluează munca.

prima varianta:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Numărul 2 este rădăcina ecuației x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Factorizați trinomul pătrat în factori 6 X 2 – 5X + 1;

a 2-a varianta:

1.D>0. Ecuația are 2 rădăcini.

2. Numărul 3 este rădăcina ecuației pătratice x 2 - x - 12 = 0.

3. Descompuneți trinomul pătrat în factorii 2 X 2 – 5x + 3

IV. Verificarea asimilării cunoștințelor. Reflecţie.

– Lecția a arătat că cunoașteți materialul teoretic de bază al acestei teme. Am rezumat cunoștințele

Calculator online.
Selectarea pătratului binomului și factorizarea trinomului pătrat.

Acest program de matematică extrage pătratul binomului din trinomul pătrat, adică face o transformare de forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează trinomul pătrat: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Acestea. problemele se reduc la găsirea numerelor \(p, q \) și \(n, m \)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.

Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau vă puteți antrena frati mai mici sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor în curs de rezolvare crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplu detaliat de soluție

Selectarea pătratului binomului.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Rezolva

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Extragerea unui binom pătrat dintr-un trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 + bx + c este reprezentat ca a (x + p) 2 + q, unde p și q sunt numere reale, atunci se spune că din trinom pătrat se evidențiază pătratul binomului.

Să extragem pătratul binomului din trinomul 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pentru a face acest lucru, reprezentăm 6x ca produs de 2 * 3 * x, apoi adunăm și scădem 3 2 . Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Acea. noi selectat pătratul binomului din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizarea unui trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația este efectuată factorizări ale unui trinom pătrat.

Să folosim un exemplu pentru a arăta cum se face această transformare.

Să factorizăm trinomul pătrat 2x 2 +4x-6.

Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Acea. noi factorizați trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Rețineți că factorizarea unui trinom pătrat este posibilă numai atunci când ecuația pătratică corespunzătoare acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, factorizarea trinomului 2x 2 +4x-6 este posibilă dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factoring, am constatat că ecuația 2x 2 +4x-6 =0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE online Jocuri, puzzle-uri Reprezentarea grafică a funcțiilor Dicționarul ortografic al limbii ruse Dicționarul argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților rusești Lista sarcinilor

Lumea este cufundată într-un număr imens de numere. Orice calcule apar cu ajutorul lor.

Oamenii învață numerele pentru a nu cădea în înșelăciune mai târziu în viață. Trebuie să alocați o cantitate imensă de timp pentru a fi educat și pentru a vă calcula propriul buget.

In contact cu

Matematica este o știință exactă care joacă un rol important în viață. La școală, copiii învață numere și apoi, acțiuni asupra lor.

Acțiunile asupra numerelor sunt complet diferite: înmulțire, extindere, adunare și altele. Pe lângă formulele simple, în studiul matematicii sunt folosite și acțiuni mai complexe. Există un număr mare de formule prin care orice valoare este cunoscută.

La școală, de îndată ce apare algebra, în viața unui elev se adaugă formule de simplificare. Există ecuații când există două numere necunoscute, dar găsiți într-un mod simplu nu va funcționa. Un trinom este o combinație de trei monomii, folosind o metodă simplă de scădere și adunare. Trinomul se rezolvă folosind teorema Vieta și discriminantul.

Formula pentru factorizarea unui trinom pătrat în factori

Sunt două corecte și solutii simple exemplu:

• discriminant;
• teorema lui Vieta.

Un trinom pătrat are un pătrat necunoscut, precum și un număr fără pătrat. Prima opțiune pentru rezolvarea problemei folosește formula Vieta. Acest formulă simplă dacă cifrele care vin înainte de necunoscut vor fi valoarea minimă.

Pentru alte ecuații, unde numărul este în fața necunoscutului, ecuația trebuie rezolvată prin discriminant. Aceasta este o soluție mai complicată, dar discriminantul este folosit mult mai des decât teorema lui Vieta.

Inițial, pentru a găsi toate variabilele ecuației, este necesar să ridicați exemplul la 0. Se poate verifica soluția exemplului și se poate afla dacă numerele sunt ajustate corect.

discriminant

1. Este necesar să echivalăm ecuația cu 0.

2. Fiecare număr înainte de x va fi numit numere a, b, c. Deoarece nu există un număr înaintea primului pătrat x, acesta este egal cu 1.

3. Acum rezolvarea ecuației începe prin discriminant:

4. Acum am găsit discriminantul și găsim doi x. Diferența este că într-un caz b va fi precedat de un plus, iar în celălalt de un minus:

5. Rezolvând două numere, a rezultat -2 și -1. Înlocuiește cu ecuația inițială:

6. În acest exemplu, există două opțiuni corecte. Dacă ambele soluții sunt corecte, atunci fiecare dintre ele este adevărată.

Rezolvați prin discriminant și nu numai ecuație complexă. Dar dacă valoarea discriminantului în sine este mai mică decât 0, atunci exemplul este greșit. Discriminantul în căutare este întotdeauna sub rădăcină, iar o valoare negativă nu poate fi în rădăcină.

teorema lui Vieta

Este folosit pentru a rezolva probleme ușoare, în care primul x nu este precedat de un număr, adică a=1. Dacă opțiunea se potrivește, atunci calculul se efectuează prin teorema Vieta.

Pentru a rezolva orice trinom este necesar să ridicăm ecuația la 0. Primii pași pentru discriminant și teorema Vieta sunt aceiași.

2. Acum există diferențe între cele două metode. Teorema lui Vieta folosește nu numai calculul „uscat”, ci și logica și intuiția. Fiecare număr are propria sa literă a, b, c. Teorema folosește suma și produsul a două numere.

Tine minte! Numărul b se adună întotdeauna cu semnul opus, iar numărul c rămâne neschimbat!

Înlocuirea valorilor datelor în exemplu , primim:

3. Folosind metoda logică, înlocuim numerele cele mai potrivite. Luați în considerare toate soluțiile posibile:

1. Numerele sunt 1 și 2. Când se adună, obținem 3, dar dacă înmulțim, nu obținem 4. Nu este potrivit.
2. Valoarea 2 și -2. Când este înmulțit, va fi -4, dar atunci când este adăugat, se dovedește 0. Nu este potrivit.
3. Numerele 4 și -1. Deoarece înmulțirea conține o valoare negativă, înseamnă că unul dintre numere va fi cu minus. Potrivit pentru adunare și înmulțire. Opțiune corectă.

4. Rămâne doar să verificați, să așezați numerele și să vedeți dacă opțiunea aleasă este corectă.

5. Datorită unei verificări online, am aflat că -1 nu se potrivește cu condiția exemplului, ceea ce înseamnă că este o soluție greșită.

Când adăugați o valoare negativă în exemplu, numărul trebuie inclus între paranteze.

În matematică, vor exista întotdeauna probleme simple și dificile. Știința în sine include o varietate de probleme, teoreme și formule. Dacă înțelegeți și aplicați corect cunoștințele, atunci orice dificultăți cu calculele vor fi nesemnificative.

Matematica nu are nevoie de memorare constantă. Trebuie să înveți să înțelegi soluția și să înveți câteva formule. Treptat, conform concluziilor logice, este posibil să se rezolve probleme similare, ecuații. O astfel de știință poate părea foarte dificilă la prima vedere, dar dacă cineva se cufundă în lumea numerelor și a sarcinilor, atunci viziunea se va schimba dramatic în bine.

Specialități tehnice rămâne mereu cel mai căutat din lume. Acum, în lume tehnologii moderne Matematica a devenit un atribut indispensabil oricărui domeniu. Trebuie să vă amintiți mereu despre proprietăți utile matematică.

Descompunerea unui trinom cu paranteze

Pe lângă rezolvarea în mod obișnuit, mai există una - descompunerea în paranteze. Folosit cu formula lui Vieta.

1. Echivalează ecuația cu 0.

topor 2 + bx+ c= 0

2. Rădăcinile ecuației rămân aceleași, dar în loc de zero, acum folosesc formule de extindere a parantezei.

topor 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Rezolvarea x=-1, x=3