Acasă materiale

Ecuație exponențială complexă. ecuații exponențiale

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Ecuații, partea $C$

O egalitate care conține un număr necunoscut, notat cu o literă, se numește ecuație. Expresia din stânga semnului egal se numește partea stângă a ecuației, iar expresia din dreapta se numește partea dreaptă a ecuației.

Schema de rezolvare a ecuatiilor complexe:

Înainte de a rezolva ecuația, este necesar să scrieți aria valorilor admisibile (ODV) pentru aceasta.
Rezolvați ecuația.
Alegeți dintre rădăcinile obținute ale ecuației pe cele care satisfac ODZ.

ODZ a diferitelor expresii (sub expresie vom înțelege înregistrarea alfanumerică):

1. Expresia din numitor nu trebuie să fie egală cu zero.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Expresia rădăcină nu trebuie să fie negativă.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Expresia radicală în numitor trebuie să fie pozitivă.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Pentru logaritm: expresia sublogaritmică trebuie să fie pozitivă; baza trebuie să fie pozitivă; baza nu poate fi egală cu unu.

$log_(f(x))g(x)\tabel\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Ecuații logaritmice

Ecuațiile logaritmice sunt ecuații de forma $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, unde $a$ este un număr pozitiv diferit de $1$ și ecuații care se reduc la această formă.

Pentru a rezolva ecuații logaritmice, trebuie să cunoașteți proprietățile logaritmilor: vom lua în considerare toate proprietățile logaritmilor pentru $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - orice număr real.

1. Pentru orice numere reale $m$ și $n$ egalitățile sunt adevărate:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor din aceeași bază din fiecare factor.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritmul câtului este egal cu diferența dintre logaritmii numărătorului și numitorului în aceeași bază

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Când înmulțiți doi logaritmi, puteți schimba bazele acestora

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$ dacă $a, b, c$ și $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, unde $a, b, c > 0, a≠1$

6. Formula pentru trecerea la un nou fund

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. În special, dacă este necesar să se schimbe baza și expresia sublogaritmică

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Există mai multe tipuri principale de ecuații logaritmice:

Cele mai simple ecuații logaritmice: $log_(a)x=b$. Rezolvarea acestui tip de ecuații rezultă din definiția logaritmului, adică. $x=a^b$ și $x > 0$

Să reprezentăm ambele părți ale ecuației sub forma unui logaritm în baza $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Dacă logaritmii sunt egali în aceeași bază, atunci și expresiile sublogaritmice sunt egale.

Răspuns: $x = $8

Ecuații de forma: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. pentru că bazele sunt aceleași, atunci echivalăm expresiile sublogaritmice și luăm în considerare ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

pentru că bazele sunt aceleași, atunci echivalăm expresiile sublogaritmice

Transferăm toți termenii în partea stângă a ecuației și dăm termeni similari

Să verificăm rădăcinile găsite în funcție de condițiile $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Când se substituie în a doua inegalitate, rădăcina $x=4$ nu satisface condiția, prin urmare, este o rădăcină străină

Răspuns: $x=-3$

Metoda de înlocuire variabilă.

În această metodă, aveți nevoie de:

Scrieți ecuația ODZ.
Conform proprietăților logaritmilor, asigurați-vă că în ecuație se obțin aceiași logaritmi.
Înlocuiți $log_(a)f(x)$ cu orice variabilă.
Rezolvați ecuația pentru noua variabilă.
Reveniți la pasul 3, înlocuiți o valoare în loc de o variabilă și obțineți cea mai simplă ecuație de forma: $log_(a)x=b$
Rezolvați cea mai simplă ecuație.
După găsirea rădăcinilor ecuației logaritmice, este necesar să le puneți la punctul 1 și să verificați condiția ODZ.

Rezolvați ecuația $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Să scriem ecuațiile ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"pentru că se află sub semnul rădăcinii și al logaritmului";\ √x≠1→x≠1;$

2. Să facem logaritmi la baza $2$, pentru aceasta vom folosi regula de tranziție la o nouă bază în al doilea termen:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Obținem o ecuație fracțională - rațională în raport cu variabila t

Să reducem toți termenii la un numitor comun $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Fracția este zero când numărătorul zero, iar numitorul nu este egal cu zero.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Rezolvăm ecuația pătratică rezultată folosind teorema Vieta:

6. Să revenim la pasul 3, să facem înlocuirea inversă și să obținem două ecuații logaritmice simple:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Luăm logaritmul părților corecte ale ecuațiilor

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Echivalează expresiile sublogaritmice

$√x=2$, $√x=4$

Pentru a scăpa de rădăcină, pătram ambele părți ale ecuației

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Să înlocuim rădăcinile ecuației logaritmice din punctul 1 și să verificăm starea ODZ.

$\(\tabel\ 4 >0; \4≠1;$

Prima rădăcină satisface ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ A doua rădăcină satisface, de asemenea, DDE.

Răspuns: 4 dolari; 16$

Ecuații de forma $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Astfel de ecuații se rezolvă prin introducerea unei noi variabile și trecerea la ecuația pătratică obișnuită. După ce sunt găsite rădăcinile ecuației, este necesar să le selectați ținând cont de ODZ.

Ecuații fracționale raționale

Dacă fracția este zero, atunci numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
Dacă cel puțin o parte a unei ecuații raționale conține o fracție, atunci ecuația se numește rațională fracțională.

Pentru a rezolva o ecuație fracțională rațională, aveți nevoie de:

Găsiți valorile variabilei pentru care ecuația nu are sens (ODV)
Aflați numitorul comun al fracțiilor incluse în ecuație;
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun;
Rezolvați întreaga ecuație rezultată;
Excludeți din rădăcinile sale pe cele care nu îndeplinesc condiția ODZ.

Dacă în ecuație sunt implicate două fracții și numărătorii sunt expresiile lor egale, atunci numitorii pot fi echivalați între ei, iar ecuația rezultată poate fi rezolvată fără să se acorde atenție numărătorilor. DAR având în vedere ODZ a întregii ecuații originale.

ecuații exponențiale

O ecuație exponențială este o ecuație în care necunoscutul este conținut în exponent.

La hotărâre ecuații exponențiale sunt folosite proprietățile gradelor, să ne amintim câteva dintre ele:

1. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponenții se adună.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. La împărțirea gradelor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar indicatorii sunt scăzuți

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. La ridicarea unui grad la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Când ridicați un produs la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere

$(a b)^n=a^n b^n$

5. La ridicarea unei fracții la o putere, numărătorul și numitorul se ridică la această putere

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Când ridicați orice bază la un exponent zero, rezultatul este egal cu unu

7. Baza în orice exponent negativ poate fi reprezentată ca bază în același exponent pozitiv prin schimbarea poziției bazei față de linia fracției

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radicalul (rădăcina) poate fi reprezentat ca un grad cu exponent fracționar

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Tipuri de ecuații exponențiale:

1. Ecuații exponențiale simple:

a) Forma $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a >0, a≠1, x$ este necunoscută. Pentru a rezolva astfel de ecuații, folosim proprietatea puterilor: puterile cu aceeași bază ($a >0, a≠1$) sunt egale numai atunci când exponenții lor sunt egali.

b) O ecuație de forma $a^(f(x))=b, b>0$

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să luăm ambele părți ale logaritmului în baza $a$, se dovedește

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metoda de ajustare a bazei.

3. Metoda de factorizare și schimbare a variabilei.

Pentru aceasta metoda, in intreaga ecuatie, dupa proprietatea gradelor, este necesara transformarea gradelor intr-o forma $a^(f(x))$.
Modificați variabila $a^(f(x))=t, t > 0$.
Obținem o ecuație rațională, care trebuie rezolvată prin factorizarea expresiei.
Facem substituții inverse, ținând cont că $t >

Rezolvați ecuația $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Prin proprietatea gradelor, transformăm expresia astfel încât să se obțină gradul 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Să schimbăm variabila $2^x=t; t>0$

Obținem o ecuație cubică de formă

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Înmulțiți întreaga ecuație cu $2$ pentru a scăpa de numitori

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Să extindem partea stângă a ecuației prin metoda grupării

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Scoate-l din primul parantez factor comun$2$, de la al doilea $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

În plus, în prima paranteză vedem formula pentru diferența de cuburi

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Să rezolvăm prima ecuație

Rezolvăm a doua ecuație prin discriminant

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Răspuns: $-1; 0; 1 $

4. Metoda de conversie într-o ecuație pătratică

Avem o ecuație de forma $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, unde $A, B$ și $C$ sunt coeficienți.
Facem schimbarea $a^(f(x))=t, t > 0$.
Rezultă o ecuație pătratică de forma $A·t^2+B·t+С=0$. Rezolvăm ecuația rezultată.
Facem substituția inversă, ținând cont că $t > 0$. Obținem cea mai simplă ecuație exponențială $a^(f(x))=t$, o rezolvăm și scriem rezultatul ca răspuns.

Metode de factoring:

Scoaterea factorului comun din paranteze.

Pentru a factoriza un polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun, aveți nevoie de:

Determinați factorul comun.
Împărțiți polinomul dat la acesta.
Notați produsul factorului comun și coeficientul rezultat (incluzând acest coeficient între paranteze).

Factorizați polinomul: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Factorul comun pentru acest polinom este $2a$, deoarece toți termenii sunt divizibili cu $2$ și „a”. În continuare, găsim câtul de împărțire a polinomului original la „2a”, obținem:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Acesta este rezultatul final al factorizării.

Aplicarea formulelor de înmulțire abreviate

1. Pătratul sumei se descompune în pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr cu al doilea număr și plus pătratul celui de-al doilea număr.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Pătratul diferenței se descompune în pătratul primului număr minus de două ori produsul primului număr cu al doilea și plus pătratul celui de-al doilea număr.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Diferența de pătrate se descompune în produsul dintre diferența de numere și suma lor.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Cubul sumei este egal cu cubul primului număr plus de trei ori pătratul primului și al doilea număr plus de trei ori produsul primului și pătratul celui de-al doilea număr plus cubul celui de-al doilea număr .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Cubul diferenței este egal cu cubul primului număr minus de trei ori produsul dintre pătratul primului și al doilea număr, plus de trei ori produsul primului și pătratul celui de-al doilea număr și minus cubul celui de-al doilea număr.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Suma cuburilor este egală cu produsul dintre suma numerelor și pătratul incomplet al diferenței.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Diferența de cuburi este egală cu produsul diferenței de numere cu pătratul incomplet al sumei.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metoda de grupare

Metoda grupării este convenabilă de utilizat atunci când este necesară factorizarea unui polinom cu un număr par de termeni. În această metodă, este necesar să colectați termenii în grupuri și să scoateți factorul comun din paranteză din fiecare grup. Mai multe grupuri, după ce au fost plasate între paranteze, ar trebui să obțină aceleași expresii, apoi luăm această paranteză înainte ca factor comun și o înmulțim cu paranteza coeficientului rezultat.

Factorizați polinomul $2a^3-a^2+4a-2$

Pentru a descompune acest polinom, folosim metoda grupării sumand, pentru aceasta grupăm primii doi și ultimii doi termeni, în timp ce este important să punem corect semnul în fața celei de-a doua grupări, punem semnul + și deci scriem termenii. cu semnele lor între paranteze.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

După ce am scos factorii comuni, am primit o pereche de paranteze identice. Acum scoatem acest parantez ca factor comun.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Produsul acestor paranteze este rezultatul final al factorizării.

Folosind formula unui trinom pătrat.

Daca este disponibil trinom pătrat de forma $ax^2+bx+c$, apoi poate fi extins prin formula

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile unui trinom pătrat

Colecție pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Introducere

În cursul matematicii, unul dintre locurile importante este acordat soluției ecuațiilor exponențiale. Pentru prima dată, studenții se întâlnesc cu ecuații exponențiale în grupele NPO în anul II de studiu, iar în grupele SVE în primul an de studiu. Ecuațiile exponențiale se găsesc și în USE sarcini. În consecință, ar trebui să se acorde o atenție considerabilă studiului metodelor de rezolvare a acestora. La rezolvarea ecuatiilor exponentiale apar adesea dificultati datorita urmatoarelor caracteristici: - aducerea unui algoritm de rezolvare a ecuatiilor exponentiale; - la rezolvarea ecuatiilor exponentiale, elevii fac transformari care sunt echivalente cu ecuatiile initiale; - la rezolvarea unei ecuatii exponentiale introduc o noua variabila si uita sa revina la substitutia inversa. Manualul propus este răspunsurile la soluția ecuațiilor exponențiale pentru muncă independentăși finalizarea cu succes a examenului.

Scopul acestei culegeri: studierea materialului teoretic pe tema, analizarea acestei teme în manualele de algebră și începutul analizei, sistematizarea sarcinilor USE pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, sistematizarea și generalizarea recomandărilor metodologice pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să rezolvați următoarele sarcini:

Explorați cerințele standardele de stat pe tema „Ecuații exponențiale”;

Analizați materialul pe această temă din manualele de algebră și începeți analiza;

Sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale;

Să sistematizeze și să sintetizeze trăsăturile metodologice ale studiului acestei teme. Ghidul conține două secțiuni. Prima secțiune definește o ecuație exponențială, proprietăți ale puterilor, tipuri de ecuații exponențiale și metode de rezolvare a acestora cu soluții eșantion. A doua secțiune prezintă o serie de exemple găsite în sarcinile examenului. Răspunsurile la aceste întrebări sunt oferite la sfârșit. Acest manual poate fi folosit atât la clasă, cât și pentru învățarea individuală, precum și pentru cei care doresc să-și aprofundeze cunoștințele pe tema: „Ecuații exponențiale”.

Definiție. O ecuație care conține o necunoscută în exponent, numite exemplare.

Trebuie să-ți amintești!Când se rezolvă ecuații exponențiale, se folosește adesea:

1. Teoremă: dacă A 0 ;, A≠ 1 și = , atunci = .

2. Proprietățile grade : A X * A y = A X + y = = * ( X = , ( y = ,

A - X = ; A 0 = 1, A 1 = A.

Luați în considerare principalele tipuri de ecuații exponențiale și metode de rezolvare.

1. Cea mai simplă ecuație exponențială de forma:

A X = b, UndeA 0; b 0, A≠ 1, are o soluțieX = .

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 2 X = 3.

Decizie : X =
Răspuns:

2. Pentru a rezolva ecuații de forma: A f ( X ) = b, UndeA0; b0, A ≠ 1, trebuie să furnizeze motive A ca o putere de același număr și apoi comparați indicatorii.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5 2x+4 = 25.

3. O ecuație exponențială a formei

A f ( X ) = A ȹ( X ) , A0, A ≠ 1

se rezolvă luând la bază logaritmul ambelor părți ale ecuației A. Ecuația ei echivalentă

f(X) = ȹ(X).

Exemplul 3 Rezolvați ecuația 6 2x - 8 = 216 x

Decizie. 6 2x - 8 \u003d 6 3x, deoarece 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

2x - 3x = 8

Exemplul 4(UTILIZARE) Indicați intervalul căruia îi aparține rădăcina

ecuații 0,1x-1 = 16.

1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

2). (1;10]; 4). (16; 20].

Decizie. Să reprezentăm numerele și 16 ca putere a lui 2:

2 -5 și 16 = 2 4

Obținem o ecuație echivalentă cu aceasta:

(2 -5) 0,1x-1 \u003d 2 4, adică 2 -5 (0,1x - 1) \u003d 2 4.

Această ecuație este echivalentă cu ecuația

5(0,1x - 1) = 4

0,5x \u003d 4 - 5

Numărul 2 este conținut în intervalul (1;10] indicat ca unul dintre răspunsuri. Prin urmare, răspunsul corect este 2.

Exemplul 4(UTILIZARE) Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației -5 = 9 -2x .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Decizie. Folosind proprietățile gradelor, transformăm partea dreaptă a ecuației: 9 -2x \u003d (3 2) -2x \u003d 3 -4x

Această ecuație va lua forma: -5 = 3 -4 .

Din proprietățile de monotonitate ale unei funcții exponențiale rezultă că ecuația exponențială este echivalentă cu ecuația

x 2 - 5 \u003d -4x.

Rezolvați ecuația pătratică x 2 + 4x -5 = 0

D = b 2 – 4ac

D \u003d 4 2 - 4 * 1 * (-5) \u003d 16 + 20 \u003d 36 0, ecuația are două rădăcini:

Deoarece ecuația pătratică este echivalentă cu ecuația originală, rădăcinile rezultate sunt caii acestei ecuații. În alte chestiuni, puteți verifica prin substituție directă că numerele -5 și 1 sunt rădăcinile acestei ecuații. Astfel, suma pătratelor rădăcinilor ecuației -5 = 9 -2x este egal cu (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Numărul răspunsului corect - 1

4. Tip ecuație A 0 A 2x + a 1 A X + a 2 = 0.

Această ecuație se numește ecuație exponențială cu trei termeni. Stand A X = yîl convertește în ecuația pătratică obișnuită A 0 y 2 X + A 1 y + A 2 = 0 . După ce am rezolvat-o, vom găsi rădăcinile y 1 și y 2 . După aceea, soluția ecuației inițiale se reduce la soluția a două ecuații A X = y 1 , A X = y 2 . Ultimele ecuații au o soluție pt y 1 0 și y 2 0 .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2 2 X - 2 X - 2=0.

Decizie. Fie 2 x = y, atunci ecuația va lua forma

y 2 – y – 2 = 0

D \u003d (-1) 2 - 41 (-2) \u003d 9 0, 2 rădăcini

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, fără soluție, deoarece -unu

Exemplul 6. Rezolvați ecuația 9 X – 3 X – 6 = 0

Decizie. Primul termen al ecuației poate fi reprezentat ca 9 x = 3 2 x = (3 x) 2 . Atunci ecuația inițială va lua forma (3 x) 2 - 3 x - 6 = 0. Notăm 3 x = y, atunci avem y 2 - y - 6 = 0

y 1 = 3; y 2 \u003d -2.

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – nici o soluție, deoarece -2

5. Tip ecuație

Această ecuație se rezolvă prin scoaterea din paranteze a factorului comun.

Exemplul 7. Rezolvați ecuația

2 X +1 + 32 X -1 – 52 X + 6 = 0

Decizie. Să luăm factorul comun 2 x -1 din paranteze, obținem

2 x -1 (2 2 + 3 - 52) = -6

2 x -1 (-3) = -6

2 x -1 = -6: (-3)

6. Ecuația formei, unde f(x) este o expresie care conține un număr necunoscut; a0; a ≠ 1.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1. înlocuiți 1 = a 0 ; a f (x) = a 0 ;

2. rezolvați ecuația f (x) = 0

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

Prin definiția unui grad cu exponent zero, avem:

x 2 - 7x + 12 = 0, (deoarece 1 = 2 0)

D = b 2 – 4ac

Rezolvând ecuația pătratică, obținem: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Răspuns: 3; 4.

7. Vedere ecuație

Această ecuație este redusă la o ecuație exponențială cu trei termeni prin împărțirea ambelor părți la A X sau b X .

Exemplul 9 Rezolvați ecuația 9 X + 6 X = 2 2 X +1

Decizie. Să rescriem ecuația ca 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu 2 2 X ≠ 0, obținem

Lasă ecuația apoi să ia forma

y 2 + y -2 = 0 . Rezolvând ecuația pătratică, obținem = -2, = 1.

a) - nu există soluţie, pentru că -2

Exemple.

I. Rezolvarea ecuațiilor:

31. 0,5 x +7 0,5 1-2 x = 2

32,0,6 x 0,6 3 =

34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108

35. 2x +1 + 2x -1 + 2x = 28

36. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

37. 3x -1 - 3x + 3x +1 = 63

40. 7x - 7x-1 = 6

41,5 3x += 140

42. 3 2y-1 +3 2y-2 -3 2y-4 = 315

43. 2x+1 + 32x-1 -52x+6=0

44,9x - 43x +3 =0

45,16 x -174 x +16 =0

46. 25x - 65x + 5 = 0

47,64x-8x-56=0

48. 84x - 62x + 1 = 0

50. 13 2 x +1 - 13 x - 12 = 0

II. (UTILIZARE) Indicați intervalului căruia îi aparține rădăcina ecuației:

1. 3 4 x +5 = 81

1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

2,45 x -8 = 64

1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

3,6 3 x +5 = 36

1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)

6,6 10 x -1 = 36

1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)

1) [-1;1] 2) (1;2) 3)

10,5 2 x +1 = 125

1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)

11,25 x +1 = 4

1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)

1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)

13,6 2 x +2 = 216

1) 2) 3) [-2;0] 4)

14,72 x +2 = 343

1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)

15. 3 3 x +3 = 9

1) [-1;1] 2) 3) 4)

16,2 3 x +1 = 8

1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)

1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)

18. 0,1 2 x = 100 3 x +1

1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)

19. 0,2 x -0,5 = 0,04 x -1

1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

20,008 x = 5 1-2 x

1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

III. Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

Răspunsuri

eu.Rezolvarea ecuațiilor

II. (UTILIZARE) Indicați intervalului căruia îi aparține rădăcina ecuației

III. Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației

Exemple suplimentare:

1. 4 3-2x = 4 2-x

2. 2 5 x +1 = 4 2 x

3,5 3 = 25 x +0,5

8,5 x -4 = 25 2

11,4 x +2 x -24 = 0

12. 9 x - 4 * 3 x - 45 = 0

13. 4x - 3 * 2x = 40

14. 2 4 x - 50 * 2 2 x \u003d 896

15. 7 2 x - 6 * 7 x - 7 = 0

16. 9 x - 8 * 3 x - 9 = 0

17. 16 x + 4 * 4 x - 5 = 0

18. 4x -9 * 2x + 8 = 0

19. 36 x - 4 * 6 x - 12 = 0

20. 64 x - 8 x - 56 = 0

21. 7 x +2 + 4 * 7 x +1 = 539

22. 2x +1 + 3 * 2x -1 - 5 * 2x + 6 = 0

23. 7x + 7x +2 = 350

24. 7 * 5 x - 5 x +1 = 2 * 5 3

25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21

26,5 1+2 x + 5 2 x +3 = 650

27. 6 x +1 + 35 * 6 x -1 = 71

28. 4x +1 +4x = 320

29. 3 x +1 - 2 * 3 x -2 = 25

30. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

33,4 x = 5 - x

35. 2-3 x = 2x - 3

36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0

37. 2 * 2 2 x - 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x \u003d 0

38. 3 * 16 x + 2 * 81 x = 5 * 36 x

39. 3 * 4 2 x - 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0

40. 6 * 4 x - 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0

41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 - 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2

42. 4x + 3x -1 = 4x -1 + 3x +2

44. 7 x -5 * - 49 * + 3 * 7 x -5 = 147

45. 3 * 2 x +1 +2 * 5 x -2 = 5 x + 2 x -2

47. 0,125 * 2 -4x-16 \u003d

51. (0,2) x + 0,5 = (0,04) x

53. 32 (x + 8) (x-4) \u003d 0,25 *

54. 5x+1 = 5x-1

55. 7 x + 1 - 7 x + 2 * 7 x-1 - 14 * 7 x-2 \u003d 48

56. 3 2x-1 - 9 x + = 675

57. 5 2x-1 + 5 x + 1 = 250

58. – 5 * + 4 = 0

59. 2 2+x + 2 2-x = 17

60. 2 x + 1 * 5 x \u003d 10 x + 1 * 5 x + 2

61. 2 x * 5 x-1 = 200

64. 7 x + 1 + 3 * 7 x \u003d 3 x + 2 + 3 x

65. 9 x - 5 x - 3 2x * 15 + 5 x + 1 * 3 = 0

66. 25 x - 7 x - 7 * 5 2x + 1 + 5 * 7 x + 1 \u003d 0

67. 9 x + 6 x - 2 * 4 x \u003d 0

68. 4 * 2 2x - 6 x \u003d 18 * 9 x

69. 4 x \u003d 2 * 10 x + 3 * 25 x

70. 64 * 9 -x - 84 * 12 -x + 27 * 16 -x \u003d 0

72. 8 x + 8 = 3 * 4 x + 3 * 2 x + 1

73. 3 -12x-1 - 9 -6x-1 - 27 -4x-1 + 81 1-3x \u003d 2192

Concluzie

În concluzie, se pot trage următoarele concluzii:

1, Ecuațiile exponențiale sunt de interes pentru elevi. La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, la alegere se dezvoltă abilitățile de sistematizare, gândirea logică. metoda corecta soluții, crește creativitatea și abilitățile mentale.

2. Pentru fiecare tip de ecuații pot apărea dificultăți în determinarea metodei soluției.

În cursul algebrei și la începutul analizei, ecuațiile exponențiale sunt adesea găsite în sarcinile USE. În lecții, se dedică puțin timp studierii acestui subiect, nu toate metodele de rezolvare a ecuațiilor exponențiale sunt prezentate în manuale, sunt date puține exemple pentru soluții independente. Prin urmare, acest manual îi va ajuta pe elevi să aprofundeze soluția, să asimileze materialul de program al acestei teme pentru promovarea cu succes a examenului scris pentru cursul unei școli generale, precum și pentru cei care doresc să promoveze examenul.

Literatură

Matematică în tabele și diagrame. Pentru școlari și participanți. Sankt Petersburg, Victoria Plus LLC, 2004, 224 p.

Matematică. Materiale de măsurare de control ale examenului de stat unificat în 2004. M .: Centrul de testare al Ministerului Educației din Rusia, 2004.

Sistemul de sarcini de antrenament și exerciții la matematică / A.Ya. Simonov, D.S. Bakaev, A.G. Epelman şi alţii - M .: Educaţie, 1991. -208 p.

Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Matematică / J1.0. Denishcheva, E. M. Boychenko, Yu.A. Glazkov și alții - ed. a 2-a, stereotip. - M.: Butarda, 2004, - 120 p.

Lappo L.D., Popov M.A. Matematică. Tipic sarcini de testare: Ghid educaţional şi practic / L.D. Lappo, M.A. Popov. - M.: Editura „Examen”, 2004 - 48 p.

Examen unificat de stat: matematică: 2004 - 2005: Control. va măsura, materiale / L. O. Denishcheva, G.K. Bezrukova, E.M. Boycenko și alții; ed. G.S. Kovaleva; M - în educație și știință Ros. Federaţie. Federal. serviciu de supraveghere în domeniul educaţiei şi ştiinţei. - M. : Educaţie, 2005. - 80 p.

Matematică. Instruire USE teste 2004 - 2005 / T.A. Koreshkova, V.V. Miroshin, N.V. Shevelev. - M.6 Ed - în Eksmo, 2005. - 80 p. (Pregătirea pentru examen)

a) Rezolvați ecuația: .

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Rezolvarea problemei

Această lecție arată cum să utilizați corect înlocuirea într-o ecuație exponențială, cum să rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică și să determinați rădăcinile acesteia care aparțin unui anumit interval. Prima parte a problemei este soluția ecuației exponențiale. Pentru a face acest lucru, se efectuează o înlocuire și se obține o ecuație rațională fracțională, a cărei soluție este posibilă în mai multe moduri: reducerea la o ecuație pătratică sau selecție. LA acest caz ambele moduri sunt acceptabile deoarece ecuația nu este foarte complicată. După obținerea rădăcinilor, efectuăm înlocuirea inversă și obținem două ecuații trigonometrice simple de forma sina=t. Rădăcinile acestei ecuații sunt găsite prin formule standard. Pentru a determina rădăcinile suplimentare din soluție, cel mai optim este să folosiți un cerc unitar, cu rădăcinile ecuației marcate pe el. Astfel obținem decizie comună ecuații - răspunsul la punctul a) al problemei. Pentru a răspunde la punctul b), este necesar să luați în considerare corect decalajul și să calculați rădăcinile. În acest caz, acest lucru este foarte ușor de făcut, deoarece este ușor să marcați toate rădăcinile dintr-un cerc unitar și să găsiți valoarea lor folosind periodicitatea sinusului și cosinusului (nu trebuie să uităm că perioada sinusului și cosinusului este 2π). Decizia primita.

Rezolvarea acestei probleme este recomandată elevilor din clasa a 10-a când studiază tema „Ecuații trigonometrice” („Arcsin”, „Arcsin și soluția ecuației sina = t”); pentru elevii din clasele a 11-a când studiază tema „Funcții exponențiale și logaritmice” („ Functie exponentiala, proprietățile sale. Cele mai simple ecuații exponențiale”, „Ecuații exponențiale”). La pregătirea pentru examen, lecția este recomandată la repetarea subiectelor „Ecuații trigonometrice”, „Funcții exponențiale și logaritmice”.