1 võimsusfunktsiooni graafiku omadus. Eksponentfunktsioon – omadused, graafikud, valemid. Koosinusfunktsiooni omadused

Kas olete funktsioonidega tuttav y=x, y=x2, y=x3, y=1/x jne. Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni, st funktsiooni erijuhud y=xp, kus p on antud reaalarv.
Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad põhiliselt reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest, mille puhul x ja lk kõlab loogiliselt x lk. Jätkame erinevate juhtumite sarnase kaalumisega, olenevalt sellest
eksponent lk.

1. Näitaja p=2n on paaris naturaalarv.

y=x2n, kus n on naturaalarv, omab järgmist

omadused:

• definitsioonipiirkonnaks on kõik reaalarvud, st hulk R;
• väärtuste komplekt - mittenegatiivsed arvud, st y on suurem kui 0 või sellega võrdne;
• funktsiooni y=x2n isegi, sest x 2n=(- x) 2n
• funktsioon väheneb intervalliga x<0 ja intervalli suurendamine x>0.

Funktsioonigraafik y=x2n on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y=x4.

2. Näitaja p=2n-1- paaritu naturaalarv
Sel juhul toitefunktsioon y=x 2n-1, kus on naturaalarv, on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R;
• väärtuste komplekt - komplekt R;
• funktsiooni y=x 2n-1 veider, sest (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funktsioon kasvab kogu reaalteljel.

Funktsioonigraafik y=x 2n-1 on sama kujuga kui näiteks funktsiooni graafik y=x 3 .

3. Näidik p=-2n, kus n- naturaalarv.

Sel juhul toitefunktsioon y=x-2n=1/x2n sellel on järgmised omadused:

• definitsiooni domeen - hulk R, välja arvatud x=0;
• väärtuste komplekt - positiivsed arvud y>0;
• funktsioon y =1/x2n isegi, sest 1/(-x) 2n=1/x2n;
• funktsioon kasvab intervallil x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funktsiooni y graafik =1/x2n on sama kujuga kui näiteks funktsiooni y graafik =1/x2.

Positiivse funktsiooni y = x p domeenis kehtivad järgmised valemid:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Positiivsete funktsioonide omadused ja nende graafikud

Positiivne funktsioon, mille eksponent on võrdne nulliga, p = 0

Kui astmefunktsiooni astendaja y = x p on võrdne nulliga, p = 0 , siis on astmefunktsioon defineeritud kõigi x ≠ 0 jaoks ja on konstantne, võrdne ühega:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Naturaalse paaritu astendaja võimsusfunktsioon, p = n = 1, 3, 5, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n, mille naturaalne paaritu astendaja n = 1, 3, 5, ... . Sellise näitaja võib kirjutada ka järgmiselt: n = 2k + 1, kus k = 0, 1, 2, 3, ... on mittenegatiivne täisarv. Allpool on selliste funktsioonide omadused ja graafikud.

Astmefunktsiooni y = x n graafik naturaalse paaritu astendajaga astendaja n = 1, 3, 5, ... erinevate väärtuste jaoks.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu väärtust: -∞ < y < ∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: suureneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer:
juures -∞< x < 0 выпукла вверх
kell 0< x < ∞ выпукла вниз
Katkestuspunktid: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
n = 1 korral on funktsioon iseendaga pöördvõrdeline: x = y
kui n ≠ 1, on pöördfunktsioon n-astme juur:

Naturaalse paarisastendajaga võimsusfunktsioon, p = n = 2, 4, 6, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n, mille loomulik paarisastendaja n = 2, 4, 6, ... . Sellise näitaja võib kirjutada ka järgmiselt: n = 2k, kus k = 1, 2, 3, ... on naturaalarv. Selliste funktsioonide omadused ja graafikud on toodud allpool.

Naturaalse paariseksponentiga astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = 2, 4, 6, ... erinevate väärtuste jaoks.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu väärtust: 0 ≤ a< ∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x ≤ 0 korral väheneb monotoonselt
x ≥ 0 korral suureneb monotoonselt
Äärmused: miinimum, x=0, y=0
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
kui x = 0, y(0) = 0 n = 0
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = 2, ruutjuur:
n ≠ 2 korral n astme juur:

Negatiivse täisarvuga astmefunktsioon, p = n = -1, -2, -3, ...

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p = x n negatiivse täisarvu astendajaga n = -1, -2, -3, ... . Kui paneme n = -k, kus k = 1, 2, 3, ... on naturaalarv, siis saab seda esitada järgmiselt:

Negatiivse täisarvu astendajaga astmefunktsiooni y = x n graafik astendaja n = -1, -2, -3, ... erinevate väärtuste jaoks.

Paaritu astendaja, n = -1, -3, -5, ...

Allpool on toodud paaritu negatiivse eksponendiga n = -1, -3, -5, ... funktsiooni y = x n omadused.

Domeen: x ≠ 0
Mitu väärtust: y ≠ 0
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: väheneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вверх
x > 0 korral: kumer allapoole
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: Ei
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = -1,
jaoks n< -2 ,

Paarisaste, n = -2, -4, -6, ...

Allpool on toodud paaris negatiivse eksponendiga n = -2, -4, -6, ... funktsiooni y = x n omadused.

Domeen: x ≠ 0
Mitu väärtust: y > 0
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно возрастает
x > 0 puhul: monotoonselt kahanev
Äärmused: Ei
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: Ei
Märk: y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:
kui n = -2,
jaoks n< -2 ,

Ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga võimsusfunktsioon

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga , kus n on täisarv, m > 1 on naturaalarv. Veelgi enam, n, m ei oma ühiseid jagajaid.

Murdnäitaja nimetaja on paaritu

Olgu murdeksponenti nimetaja paaritu: m = 3, 5, 7, ... . Sel juhul on võimsusfunktsioon x p defineeritud nii positiivsete kui ka negatiivsete x väärtuste jaoks. Vaatleme selliste astmefunktsioonide omadusi, kui astendaja p on teatud piirides.

p on negatiivne, p< 0

Olgu ratsionaalne astendaja (paaritu nimetajaga m = 3, 5, 7, ... ) väiksem kui null: .

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga eksponentsiaalfunktsioonide graafikud eksponendi erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... on paaritu.

Paaritu lugeja, n = -1, -3, -5, ...

Siin on ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni y = x p omadused, kus n = -1, -3, -5, ... on paaritu negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu naturaalarv.

Domeen: x ≠ 0
Mitu väärtust: y ≠ 0
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: väheneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вверх
x > 0 korral: kumer allapoole
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: Ei
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = -2, -4, -6, ...

Ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsiooni y = x p omadused, kus n = -2, -4, -6, ... on paaris negatiivne täisarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu naturaalarv .

Domeen: x ≠ 0
Mitu väärtust: y > 0
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно возрастает
x > 0 puhul: monotoonselt kahanev
Äärmused: Ei
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: Ei
Märk: y > 0
Piirangud:
; ; ;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
kui x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pöördfunktsioon:

P-väärtus on positiivne, väiksem kui üks, 0< p < 1

Ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni graafik (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Paaritu lugeja, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeen: -∞ < x < +∞
Mitu väärtust: -∞ < y < +∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: suureneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer:
x juures< 0 : выпукла вниз
x > 0 puhul: kumer ülespoole
Katkestuspunktid: x = 0, y = 0
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Märk:
x juures< 0, y < 0
kui x > 0, y > 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = -1
kui x = 0, siis y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = 2, 4, 6, ...

Esitatakse astmefunktsiooni y = x p omadused ratsionaalse astendajaga , mis jääb 0 piiresse.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeen: -∞ < x < +∞
Mitu väärtust: 0 ≤ a< +∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 : монотонно убывает
x > 0 korral: monotoonselt kasvav
Äärmused: minimaalne, kui x = 0, y = 0
Kumer:ülespoole kumer x ≠ 0 juures
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Märk: x ≠ 0 korral y > 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = 1
kui x = 0, siis y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Eksponent p on suurem kui üks, p > 1

Ratsionaalse astendajaga (p > 1) astmefunktsiooni graafik astendaja erinevate väärtuste jaoks, kus m = 3, 5, 7, ... on paaritu.

Paaritu lugeja, n = 5, 7, 9, ...

Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: . Kus n = 5, 7, 9, ... on paaritu naturaalarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu naturaalarv.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu väärtust: -∞ < y < ∞
Pariteet: paaritu, y(-x) = - y(x)
Monotoonne: suureneb monotoonselt
Äärmused: Ei
Kumer:
juures -∞< x < 0 выпукла вверх
kell 0< x < ∞ выпукла вниз
Katkestuspunktid: x = 0, y = 0
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = -1
kui x = 0, siis y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Paarislugeja, n = 4, 6, 8, ...

Ühest suurema ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni y = x p omadused: . Kus n = 4, 6, 8, ... on paaris naturaalarv, m = 3, 5, 7 ... on paaritu naturaalarv.

Domeen: -∞ < x < ∞
Mitu väärtust: 0 ≤ a< ∞
Pariteet: paaris, y(-x) = y(x)
Monotoonne:
x juures< 0 монотонно убывает
x > 0 korral suureneb monotoonselt
Äärmused: minimaalne, kui x = 0, y = 0
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Piirangud:
;
Privaatsed väärtused:
kui x = -1, y(-1) = 1
kui x = 0, siis y(0) = 0
kui x = 1, siis y(1) = 1
Pöördfunktsioon:

Murdnäitaja nimetaja on paaris

Olgu murdeksponendi nimetaja paaris: m = 2, 4, 6, ... . Sel juhul ei ole võimsusfunktsioon x p argumendi negatiivsete väärtuste jaoks määratletud. Selle omadused langevad kokku irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni omadustega (vt järgmist jaotist).

Irratsionaalse eksponendiga võimsusfunktsioon

Vaatleme astmefunktsiooni y = x p irratsionaalse astendajaga p . Selliste funktsioonide omadused erinevad ülalpool vaadeldud omadustest selle poolest, et neid ei määratleta argumendi x negatiivsete väärtuste jaoks. Argumendi positiivsete väärtuste puhul sõltuvad omadused ainult eksponendi p väärtusest ja ei sõltu sellest, kas p on täisarv, ratsionaalne või irratsionaalne.

y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

Toitefunktsioon negatiivse p-ga< 0

Domeen: x > 0
Mitu väärtust: y > 0
Monotoonne: väheneb monotoonselt
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: Ei
Piirangud: ;
privaatne väärtus: Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Positiivse astendajaga p > 0 võimsusfunktsioon

Näitaja on väiksem kui üks 0< p < 1

Domeen: x ≥ 0
Mitu väärtust: y ≥ 0
Monotoonne: suureneb monotoonselt
Kumer: kumer üles
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Piirangud:
Privaatsed väärtused: Kui x = 0, siis y(0) = 0 p = 0 .
Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Näitaja on suurem kui üks p > 1

Domeen: x ≥ 0
Mitu väärtust: y ≥ 0
Monotoonne: suureneb monotoonselt
Kumer: allapoole kumer
Katkestuspunktid: Ei
Koordinaattelgedega ristumispunktid: x = 0, y = 0
Piirangud:
Privaatsed väärtused: Kui x = 0, siis y(0) = 0 p = 0 .
Kui x = 1, siis y(1) = 1 p = 1

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Vaata ka:

Astumusfunktsiooni kaalumise hõlbustamiseks vaatleme nelja erinevat juhtumit: naturaalastendajaga astmefunktsiooni, täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni ja irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni.

Naturaalastendajaga võimsusfunktsioon

Alustuseks tutvustame loomuliku astendajaga kraadi mõistet.

Definitsioon 1

Naturaalse astendajaga $n$ reaalarvu $a$ võimsus on arv, mis võrdub $n$ tegurite korrutisega, millest igaüks on võrdne arvuga $a$.

1. pilt.

$a$ on kraadi alus.

$n$ – eksponent.

Vaatleme nüüd loomuliku astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

2. definitsioon

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ nimetatakse naturaalastendajaga astmefunktsiooniks.

Täiendava mugavuse huvides kaaluge eraldi võimsusfunktsiooni paarisastmega $f\left(x\right)=x^(2n)$ ja võimsusfunktsiooni paaritu astendajaga $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.

Naturaalse paarisastendajaga astmefunktsiooni omadused

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ on paarisfunktsioon.

Ulatus – $ \

Funktsioon väheneb kui $x\in (-\infty ,0)$ ja suureneb kui $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $

Funktsioon on kogu määratluspiirkonnas kumer.

Käitumine ulatuse lõpus:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Graafik (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n)$ graafik

Naturaalse paaritu astendajaga astmefunktsiooni omadused

Määratluspiirkond on kõik reaalarvud.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ on paaritu funktsioon.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonnas.

Vahemik on kõik reaalarvud.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ jaoks.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsioon on $x\in (-\infty ,0)$ jaoks nõgus ja $x\in (0,+\infty)$ jaoks kumer.

Graafik (joonis 3).

Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ graafik

Täisarvu astendajaga võimsusfunktsioon

Alustuseks tutvustame täisarvulise astendajaga kraadi mõistet.

3. määratlus

Täisarvulise eksponendiga $n$ reaalarvu $a$ aste määratakse järgmise valemiga:

Joonis 4

Vaatleme nüüd täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

4. definitsioon

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nimetatakse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooniks.

Kui aste on suurem kui null, siis jõuame naturaalastendajaga astmefunktsiooni juhtumini. Oleme seda juba eespool käsitlenud. $n=0$ korral saame lineaarfunktsiooni $y=1$. Jätame selle kaalumise lugeja hooleks. Jääb üle arvestada negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadusi

Negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadused

Ulatus on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui astendaja on paaris, on funktsioon paaris, kui paaritu, siis on funktsioon paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonnas.

Väärtusvahemik:

Kui astendaja on paaris, siis $(0,+\infty)$, kui paaritu, siis $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui astendaja on paaritu, väheneb funktsioon väärtusega $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ühtlase eksponendi korral väheneb funktsioon väärtusega $x\in (0,+\infty)$. ja suureneb kui $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ kogu domeeni ulatuses

Positiivne funktsioon on funktsioon kujul y=x n (loetakse, et y võrdub x n astmega), kus n on mingi etteantud arv. Positiivsed astmefunktsioonide juhtumid on funktsioonid kujul y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x ja paljud teised. Räägime neist igaühe kohta lähemalt.

Lineaarfunktsioon y=x 1 (y=x)

Graafik on sirgjoon, mis läbib punkti (0;0) Ox-telje positiivse suuna suhtes 45-kraadise nurga all.

Diagramm on näidatud allpool.

Lineaarfunktsiooni põhiomadused:

• Funktsioon kasvab ja on defineeritud täisarvu teljel.
• Sellel ei ole maksimum- ja miinimumväärtusi.

Ruutfunktsioon y=x 2

Ruutfunktsiooni graafik on parabool.

Ruutfunktsiooni põhiomadused:

• 1. Kui x=0, y=0 ja y>0, kui x0
• 2. Ruutfunktsioon saavutab oma tipus oma minimaalse väärtuse. Ymin juures x = 0; Samuti tuleb märkida, et funktsiooni maksimaalset väärtust pole olemas.
• 3. Funktsioon väheneb intervalliga (-∞; 0] ja suureneb intervalliga )