namai Laiptai

Silogizmai Kartą tyrėjui teko vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš. Kodėl inspektorius padarė tokią išvadą? Kartą tyrėjas turėjo

35 problema

Vienas vyras išėjo dirbti su 1000 USD per metus atlyginimu. Aptariant priėmimo sąlygas, jam buvo pažadėta, kad gero darbo atveju bus padidintas atlyginimas. Be to, padidinimo dydį savo nuožiūra galima pasirinkti iš dviejų variantų: vienu atveju buvo siūlomas padidinimas po 50 USD kas šešis mėnesius, pradedant nuo antrosios pusės, kitu – po 200 USD kasmet, pradedant nuo Antras. Turėdami pasirinkimo laisvę, darbdaviai norėjo ne tik pabandyti sutaupyti iš darbo užmokesčio, bet ir pasitikrinti, kaip greitai mąsto naujasis darbuotojas. Akimirką pagalvojęs, jis užtikrintai įvardijo padidinimo sąlygas.

Kuris variantas buvo pageidaujamas?

36 problema

Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Jacques'as meluoja. Jacques'as apkaltino Diką meluojant, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai juos privedė svarus vanduo neuždavę jiems nė vieno klausimo.

Kuris liudytojas sakė tiesą?

37 problema

Baisi nelaimė, inspektoriau, sakė muziejaus pareigūnas. - Tu neįsivaizduoji, kaip aš jaudinausi. Aš tau pasakysiu viską iš eilės. Šiandien likau muziejuje dirbti ir susitvarkyti mūsų finansų. Aš tiesiog sėdėjau ant šito rašomasis stalas ir peržvelgė sąskaitas, kai staiga dešinėje pusėje pamatė šešėlį. Langas buvo atidarytas.

O tu negirdėjai ošimo? – paklausė inspektorius.

Visiškai jokios. Radijas grojo muzika, be to, buvau per daug pasinėrusi į tai, ką darau. Nuleidęs akis nuo karščio pamačiau, kad pro langą iššoko žmogus. Iš karto įjungiau viršutinę šviesą ir pastebėjau, kad dingo dvi dėžutės su vertingiausia monetų kolekcija, kurią buvau nusinešęs į biurą darbo reikalais. Esu siaubingos būklės: juk ši kolekcija įvertinta 10 000 markių.

Ar tu tiki, kad aš tikrai tikiu; ar as tikiu tavo mintimis?

Inspektorius susierzino. – Dar niekam nepavyko manęs suklaidinti, ir tu nebūsi pirmas.

Kaip inspektorius atspėjo, kad jį bandoma apgauti?

38 problema

Dingusio žmogaus lavonas rastas suvyniotas į paklodę, ant kurios buvo skalbinių numerio etiketė. Nustatyta šeima, kuri naudojo tokias žymas, tačiau patikrinimo metu paaiškėjo, kad šios šeimos nariai su velioniu ir jo artimaisiais nėra pažįstami ir nebendrauja. Jokių kitų įrodymų, patvirtinančių jų dalyvavimą žmogžudystėje, nerasta.

Ar patikrinimo metu buvo klaidų dėl informacijos gavimo išsamumo ir teisingumo?

39 problema

Aviacijos padalinyje tarnauja Potapovas, Ščedrinas, Semjonovas. Konovalovas ir Samoilovas. Jų specialybės: pilotas, navigatorius, skrydžio mechanikas, radistas ir orų prognozuotojas.

Nustatykite, kokią specialybę turi kiekvienas iš jų, jei žinomi šie faktai.

Ščedrinas ir Konovalovas nėra susipažinę su orlaivių valdymu;

Potapovas ir Konovalovas ruošiasi tapti šturmanais; Ščedrino ir Samoilovo butai yra šalia radistės buto;

Semjonas, būdamas poilsio namuose, susitiko su Ščedrinu ir prognozuotojo seserimi: Potapovas ir Ščedrinas laisvalaikiu žaidžia šachmatais su skrydžio inžinieriumi ir pilotu; Konovalovas, Semjonovas ir sinoptikas mėgsta boksą; Radistas nemėgsta bokso.

40 problema

Jo pasitikti atskubėjo sūnėno inspektoriaus laukusi teta, neslėpdama nekantrumo.

Kažkokia moteris ką tik; pagrobė mano piniginę su pinigais ir iškart dingo.

Greičiausiai ji dingo pačioje taupyklėje, kurioje buvote jūs, – pastebėjo inspektorė. - Pabandykime surasti.

Ir iš tikrųjų teta iš karto pamatė savo krepšį, kuris stovėjo ant suoliuko tarp dviejų moterų. Ji buvo atskleista. Inspektoriui įdėmiai apžiūrėjus krepšį, abi moterys tai pastebėjusios atsistojo ir nuėjo į kitą kambario galą. Rankinė liko ant suoliuko.

Bet aš nežinau, kuris iš jų pavogė mano krepšį. Yana sugebėjo ją pamatyti, - sakė teta.

Na, tai nieko, - atsakė sūnėnas. - Tardysime abu, bet manau, kad krepšį iš tavęs pavogė tas, kuris...

Kuris?

41 problema

Gavęs pranešimą, kad pilkas „Chevrolet“, kurio numeris prasideda šešiais, partrenkė moterį ir dingo, inspektorius su padėjėja nuvažiavo į pono vilą, kurios automobilis, panašu, atitiko aprašymą. Mažiau nei po pusvalandžio jie buvo ten.

Priešais namą stovėjo pilkas „Chevrolet“. Pamatęs policiją, savininkas nusileido pas juos tiesiai su pižama.

Šiandien niekur nevažiavau“, – išklausęs inspektorės kalbėjo jis. – Taip, ir negalėjau: vakar pamečiau užvedimo raktelį, o naujas bus paruoštas tik penktadienį.

Padėjėjas, tuo tarpu spėjęs apžiūrėti automobilį, tarstelėjo inspektoriui:

Matyt, jis sako tiesą. Ant automobilio susidūrimo žymių nėra.

Inspektorius, pasirėmęs į automobilio kapotą, atsakė:

Tai nieko nereiškia, smūgis nebuvo stiprus, nes auka gyva. Ir jūsų alibi, pone, man atrodo labai įtartinas. Kodėl tu bandai nuo manęs nuslėpti, kad ką tik atvykai čia būtent šiuo automobiliu?

Kas davė inspektoriui pagrindą įtarti džentelmeną melu?

42 problema

Firmos prezidentas informuoja tyrėją apie vagystę jo namuose.

Atvykęs į darbą prisiminiau, kad namuose pamiršau reikalingus dokumentus. Atidaviau namų seifo raktą savo padėjėjui ir nusiunčiau jį paimti aplanko. Jau seniai dirbame kartu, ilgai juo pasitikiu, dažnai siųsdavau namo ko nors paimti iš seifo. Tąkart, vos išėjus, jis man paskambino telefonu ir pasakė, kad įėjęs į kambarį pamatė, kad sieninio seifo durys atidarytos, po visą kabinetą išmėtyti popieriai. Grįžau namo ir pamačiau, kad iš seifo, be išmėtytų dokumentų, dingo papuošalai ir pinigai.

Padėjėjos pareiškimas: „Kai atvykau, liokajus mane įleido ir aš pakilau į antrą buto aukštą. Įėjęs į kabinetą rado ant grindų išmėtytus popierius ir atidarytas seifo duris. Iš karto paskambinau savo viršininkui ir pranešiau, ką mačiau. Po to iššokau į laiptų aikštelę ir paskambinau liokajui. Mano verksmo metu iš svetainės apačioje pasirodė kambarinė ir paklausė, kas atsitiko. Pasakiau jai ką mačiau. Jai paskambinus, liokajus išbėgo iš kiemo. Į mano klausimą pasakė, kad išėjus savininkui į butą niekas neatėjo ir jokio triukšmo name negirdėjo.

Liokajaus paaiškino: „Ryte šeimininkui išėjus, apatiniame aukšte dirbau įprastus darbus ir nieko nemačiau ir nieko neįprasto negirdėjau. Tarnaitė niekada neišėjo su manimi iš virtuvės. Kai atvyko mūsų šeimininko darbuotojas, kurį seniai pažinojau, jis nuėjo į laiptus į antrą aukštą ir išėjo į kiemą. Po kelių minučių man paskambino virėja ir aš įėjau į namus, kur padėjėja papasakojo apie vagystę iš savininko kabineto.

Tarnaitė pasakojo, kad po pusryčių buvo virtuvėje, niekur neišėjo, o tik išgirdusi padėjėjos klyksmą išėjo į svetainę. Padėjėjas papasakojo apie vagystę name ir paprašė pažinti liokajus.

Padėjėjas, paklaustas tyrėjos, atsakė, kad kabinete nieko nelietė, išskyrus telefoną, ir jo nepertvarkė. Liokajaus ir tarnaitė pasakė, kad į kabinetą visai neėjo.

Patikrinimo kabinete metu tyrėja pirštų pėdsakų ant kabineto durų, seifo durų, daiktų ir ant stalo esančio telefono nerado. Apžiūrėjęs seifo durų spyną, specialistas ant jos detalių neaptiko jokio daikto ar pašalinio rakto pėdsakų.

. 18 metų.

Sprendimas

Pirmas būdas . Pagal uždavinio sąlygą galite parašyti lygtį. Tegul Dimo amžius yra x metų, tada sesers amžius yra x/3, o brolio amžius yra x/2; (x + x / 3 + x / 2): 3 \u003d 11. Išsprendę šią lygtį, gauname, kad x=18. Dima yra 18 metų. Pravers duoti kiek kitokį sprendimą, „dalimis“.

Antras būdas . Jei Dimo, jo brolio ir sesers amžius vaizduojamas segmentais, tai „Dimino segmentas“ susideda iš dviejų „brolio segmentų“ arba trijų „seserės segmentų“. Tada, jei Dimos amžius yra padalintas į 6 dalis, tai sesers amžius yra dvi tokios dalys, o brolio - trys tokios dalys. Tada jų amžiaus suma yra 11 tokių dalių. Kita vertus, jei Vidutinis amžius yra 11 metų, tada amžių suma yra 33 metai. Iš kur išplaukia, kad vienoje dalyje – treji metai. Taigi Dima yra 18 metų.

Tikrinimo kriterijai .

Užbaigti teisingą sprendimą 7 taškų.

Lygtis teisinga, bet sprendime buvo padarytos klaidos - 3 taškų .

Pateiktas teisingas atsakymas ir atliktas patikrinimas - 2 taškų .

0 taškų .

Atsakymas . Samas Grėjus.

Sprendimas .

Iš problemos sąlygos matyti, kad kiekvieno iš liudytojų parodymai yra išsakyti santykyje su kitų dviejų liudytojų parodymais. Apsvarstykite Bobo Blacko pareiškimą. Jei tai, ką jis sako, yra tiesa, Semas Grėjus ir Džonas Vaitas meluoja. Tačiau iš to, kad Džonas Vaitas meluoja, išplaukia, kad ne visi Samo Grėjaus parodymai yra visiškas melas. Ir tai prieštarauja Bobo Blacko, kuriuo nusprendėme patikėti ir kuris teigia, kad Samas Grėjus meluoja, žodžiams. Taigi Bobo Blacko žodžiai negali būti tiesa. Taigi jis melavo, ir mes turime pripažinti, kad Samo Grėjaus žodžiai yra teisingi, taigi ir Johno White'o teiginiai yra klaidingi. Atsakymas: Samas Grėjus nemelavo.

Tikrinimo kriterijai .

Pateikiama visa teisinga problemos situacijos analizė ir pateikiamas teisingas atsakymas - 7 taškų .

Pateikiama visa teisinga situacijos analizė, tačiau dėl tam tikrų priežasčių pateikiamas neteisingas atsakymas (pavyzdžiui, vietoj to, kuris NEMEELĖ, atsakyme nurodomi melavusieji) - 6 taškų .

Pateikiama teisinga situacijos analizė, tačiau dėl kažkokių priežasčių nepateikiamas teisingas atsakymas (pavyzdžiui, įrodoma, kad Bobas Blackas melavo, tačiau tolimesnės išvados nedaromos) - 4 taškų .

Pateikiamas teisingas atsakymas ir parodoma, kad jis atitinka problemos sąlygą (buvo atliktas testas), tačiau neįrodyta, kad atsakymas yra vienintelis - 3 taškų .

1 balas .

0 taškų .

Atsakymas . Vienas skaičius 175.

Sprendimas . Pirmas būdas . Skaičių, su kuriais rašomas skaičius, sudėtyje nėra skaitmens 0, kitaip problemos sąlyga negali būti įvykdyta. Šis triženklis skaičius gaunamas jo skaitmenų sandaugą padauginus iš 5, todėl dalijasi iš 5. Vadinasi, jo įrašas baigiasi skaičiumi 5. Gauname, kad skaitmenų sandauga, padauginta iš 5, turi dalytis iš 25 Atkreipkite dėmesį, kad skaičių įraše yra lyginių skaitmenų, nes kitaip skaitmenų sandauga būtų lygi nuliui. Taigi triženklis skaičius turi dalytis iš 25 ir jame neturi būti lyginių skaitmenų. Tokių skaičių yra tik penki: 175, 375, 575, 775 ir 975. Norimo skaičiaus skaitmenų sandauga turi būti mažesnė nei 200, kitu atveju, padauginus iš 5, bus gautas keturženklis skaičius. Todėl skaičiai 775 ir 975 akivaizdžiai netinka. Iš likusių trijų skaičių tik 175 atitinka problemos sąlygą. Antras būdas. Atkreipkite dėmesį (panašiai kaip ir pirmojo sprendimo būdu), kad paskutinis norimo skaičiaus skaitmuo yra 5. Tegua , b , 5 - norimo skaičiaus skaitmenys iš eilės. Pagal problemos būklę turime: 100a + 10 b + 5 = a · b 5 5. Abi lygties puses padalijus iš 5, gauname: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Iš abiejų lygybės dalių atėmus 20a ir išdėjus iš skliaustų bendras daugiklis dešinėje pusėje gauname: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). Turint omenyje a ir b gali paimti natūralias reikšmes nuo 1 iki 9, gauname, kad galimos a reikšmės yra tik 1 arba 2. Bet a=2 netenkina lygybės (1 ), kurio kairėje pusėje yra nelyginis skaičius, o dešinėje, pakeitus a = 2, gaunamas lyginis skaičius. Taigi vienintelė galimybė yra a=1. Šios reikšmės pakeitimas į (1 ), gauname: 2 b + 1 = 5 b- 20, iš kur b =7. Atsakymas: vienintelis norimas skaičius yra 175.

Tikrinimo kriterijai .

Užbaigti teisingą sprendimą 7 taškų .

Gautas teisingas atsakymas ir yra argumentų, kurie žymiai sumažina variantų sąrašą, tačiau nėra visiško sprendimo - 4 taškų .

Teisingai sudaryta lygtis ir pateikiamos transformacijos bei samprotavimai, leidžiantys išspręsti problemą, tačiau sprendimas neateina iki galo - 4 taškų .

Variantų sąrašas yra sumažintas, tačiau nėra paaiškinimo, kodėl, ir nurodomas teisingas atsakymas - 3 taškų .

Lygtis teisinga, bet problema neišspręsta - 2 taškų .

Sprendime yra argumentų, leidžiančių neįtraukti į svarstymą bet kokius skaičius arba atsižvelgti į skaičius su tam tikromis savybėmis (pavyzdžiui, baigiant skaičiumi 5), tačiau sprendime nėra jokios tolesnės pažangos - 1 balas .

Pateikiamas tik teisingas atsakymas arba atsakymas su patikrinimu - 1 balas .

Atsakymas . 75° .

Sprendimas . Apsvarstykite trikampį AOC, kur O yra apskritimo centras. Šis trikampis yra lygiašonis, nes OS ir OA yra spinduliai. Taigi pagal lygiašonio trikampio savybę kampai A ir C yra lygūs. Nubrėžkime statmeną SM į kraštinę AO ir apsvarstykime stačią trikampį OMC. Pagal problemos būklę SM koja yra pusė OS hipotenuzos. Vadinasi, kampo COM reikšmė yra 30°. Tada pagal trikampio kampų sumos teoremą gauname, kad kampas CAO (arba CAB) yra 75 °.

Tikrinimo kriterijai .

Teisingas pagrįstas problemos sprendimas - 7 taškų.

Pateikiamas teisingas samprotavimas, kuris yra problemos sprendimas, tačiau dėl tam tikrų priežasčių pateikiamas neteisingas atsakymas (pavyzdžiui, vietoj kampo CAO nurodomas kampas COA) - 6 taškų.

Apskritai pateikiami teisingi samprotavimai, kuriuose daromos klaidos, neturinčios esminio pobūdžio sprendimo esmei, ir pateikiamas teisingas atsakymas - 5 taškų.

Teisingas problemos sprendimas pateikiamas nesant pagrindimo: visos tarpinės išvados nurodomos nenurodant sąsajų tarp jų (nuorodos į teoremas ar apibrėžimus) - 4 taškų.

Brėžinyje buvo padarytos papildomos konstrukcijos ir žymėjimai, iš kurių aiški sprendimo eiga, pateiktas teisingas atsakymas, tačiau nepateiktas pats samprotavimas - 3 taškų.

Teisingas atsakymas pateikiamas neteisingai motyvuojant - 0 taškų.

Pateiktas tik teisingas atsakymas 0 taškų.

Atsakymas . Žiūrėti piešinį.

Sprendimas . Šią lygtį transformuojame paryškindami visą kvadratą po šaknies ženklu: . Dešinėje pusėje esanti išraiška turi prasmę tik tada, kai x = 9. Pakeitę šią reikšmę į lygtį, gauname: 9 2 – y 4 = 0. Kairiąją pusę suskaidome faktoriais: (3 –y)(3 + y)(9 + y 2 ) = 0. Iš kur y= 3 arba y = -3. Tai reiškia, kad tik dviejų taškų (9; 3) arba (9; -3) koordinatės tenkina šią lygtį. Lygties grafikas parodytas paveiksle.

Patikrinimo kriterijai.

Atliktos teisingos transformacijos ir samprotavimai, o grafikas buvo teisingai sudarytas - 7 taškų.

Atliktos teisingos transformacijos, bet prarandama prasmė y = -3; vienas taškas nurodomas kaip grafikas -3 taškų.

Galimai yra nurodytas vienas ar du tinkami taškai su patikrinimu, bet be kitų paaiškinimų arba po neteisingų pakeitimų -1 balas.

Atliekamos teisingos transformacijos, tačiau deklaruojama, kad išraiška po šaknimi (arba dešinėje pusėje po kvadratūros) yra neigiama, o grafikas yra tuščias taškų rinkinys - 1 balas.

Buvo atliktas samprotavimas, dėl kurio buvo nurodyti du taškai, tačiau šie taškai yra kažkaip sujungti (pavyzdžiui, atkarpa) - 1 balas.

Be paaiškinimo nurodyti du taškai, kurie kažkaip yra susiję - 0 taškų.

Kitais atvejais - 0 taškų.

Antrojo olimpiados etapo užduočių atsakymai

Atsakymas . Jie gali.

Sprendimas . Jei a \u003d, b \u003d -, tada a \u003d b + 1 ir a 2 \u003d b 2

Taip pat galite išspręsti lygčių sistemą:

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas atsakymas su skaičiais a ir b – 7 taškų .

Buvo sudaryta lygčių sistema, tačiau jos sprendime buvo padaryta aritmetinė klaida - 3 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 1 balas .

Atsakymas . Per 12 sekundžių .

Sprendimas . Tarp pirmo ir ketvirto aukštų yra 3 tarpai, o tarp penkto ir pirmo – 4. Pagal būklę Petya bėga 4 tarpsniais 2 sekundėmis ilgiau nei mama važiuoja liftu, o trys tarpai yra 2 sekundėmis greičiau nei mama. Taigi, per 4 sekundes Petya įveikia vieną tarpą. Tada Petya nubėga iš ketvirto aukšto į pirmąjį (tai yra 3 skrydžiai) per 4*3=12 sekundžių.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas atsakymas su visu sprendimu - 7 taškų .

Aiškinama, kad vienam intervalui reikia 4 sekundžių, atsakymas sako 4 sekundes − 5 taškų .

Teisingas pagrindimas darant prielaidą, kad kelias nuo penkto aukšto iki pirmojo yra 1,25 karto didesnis už atstumą nuo ketvirto aukšto iki pirmojo, o atsakymas yra 16 sekundžių - 3 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 0 taškų .

Atsakymas . Žiūrėti piešinį.

Sprendimas . Nes X 2 =| X | 2 , tada =| X |, su x≠ 0.

Taip pat, naudojant modulio apibrėžimą, galima gauti tai (x = 0 funkcija neapibrėžta).

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas grafikas su paaiškinimu - 7 taškų .

Teisingas grafikas be paaiškinimo - 5 taškų .

funkcijos grafikas y =|x| be perforuoto taško3 taškų .

Atsakymas . Taip .

Sprendimas . Duotą kvadratą, kurio kraštinė yra 5, padalinkime tiesėmis, lygiagrečiomis jo kraštinėms, į 25 kvadratus, kurių kraštinė yra 1 (žr. pav.). Jei kiekviename tokiame kvadrate būtų ne daugiau kaip 4 pažymėti taškai, tai būtų pažymėta ne daugiau kaip 25 * 4 = 100 taškų, o tai prieštarauja sąlygai. Todėl bent viename iš gautų kvadratų turi būti 5 pažymėti taškai.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas sprendimas - 7 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 0 taškų .

Atsakymas . Aštuoni būdai.

Sprendimas . Iš punkto a) seka, kad visų taškų, turinčių sveikąsias koordinates, spalvą vienareikšmiškai lemia taškų, atitinkančių skaičius 0, 1, 2, 3, 4, 5 ir 6, spalva. Taškas 0=14-2* 7 turi būti nudažyti taip pat, kaip 14, tie. raudona. Panašiai taškas 1=71-107 turi būti nudažytas mėlynai, taškas 3=143-20*7 mėlynai, o 6=20-2*7 raudonai. Todėl belieka tik paskaičiuoti, kiek skirtingais būdais galite nuspalvinti taškus, atitinkančius skaičius 2, 4 ir 5. Kadangi kiekvienas taškas gali būti nudažytas dviem būdais – raudona arba mėlyna – yra tik 2 * 2 * 2 = 8 būdai. Pastaba. Skaičiuodami 2, 4 ir 5 taškų spalvinimo būdų skaičių, galite tiesiog išvardyti visus būdus, pavyzdžiui, lentelės pavidalu:

Tikrinimo kriterijai .

Teisingas atsakymas su teisingu argumentavimu 7 taškų .

Problema sumažinama iki 3 taškų nuspalvinimo būdų skaičiavimo, tačiau atsakymas yra 6 arba 7 - 4 taškų .

Problema sumažinama iki 3 taškų nuspalvinimo būdų skaičiavimo, tačiau būdų skaičius neskaičiuojamas arba atsakymas skiriasi nuo nurodytų aukščiau - 3 taškų .

Atsakymas (įskaitant teisingą) be pagrindimo - 0 taškų .

Atsakymas . 4 kartus.

Sprendimas .

Nubrėžkime atkarpas MK ir AC . MVKE keturkampis susideda iš

trikampiai MVK ir MKE , ir keturkampis AECD- iš trikampių

1 būdu . Trikampiai MVK ir ACD- stačiakampio formos, o pirmosios kojos yra 2 kartus mažesnės nei antrosios, todėl yra panašios ir trikampio AC plotasD 4 kartus didesnis už trikampio MBK plotą. Nes M ir K – atitinkamai AB ir BC vidurio taškai, tada MK– , taigi MK || AS ir MK = 0,5 AC . Iš tiesių MK ir AS lygiagretumo išplaukia panašumas

trikampiai MKE ir AEC, ir nuo tada panašumo koeficientas yra 0,5, tada trikampio AEC plotas yra 4 kartus didesnis už trikampio MKE plotą. Dabar: S AES D=SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK = 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 būdu . Tegul stačiakampio ABC plotasD yra lygus S. Tada trikampio AC plotasD yra lygus ( stačiakampio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius), o trikampio plotas MVK lygus MV × VK \u003d T.k. M ir K – atkarpų AB ir BC vidurio taškai, tada AK ir SM – trikampio ABC medianos, taigi E – trikampio ABC medianų susikirtimo taškas, tie. atstumas nuo E iki AC yrah, kur h- trikampio ABC aukštis, nubrėžta iš viršūnės B. Tada trikampio AEC plotas yra. Tada keturkampio AEC plotuiD, lygi trikampių AEC ir AC plotų sumaiD, gauname: Kitas, nes MK– trikampio ABC vidurio linija, tada trikampio MKE plotas lygus* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Todėl keturkampio MVKE plotui, lygi trikampių MVK ir MKE plotų sumai, mes gauname: . Taigi keturkampių plotų santykis AECD ir MVKE yra tas pats.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas sprendimas ir teisingas atsakymas7 taškų .

Teisingas sprendimas, bet atsakymas neteisingas dėl aritmetinės klaidos -5 taškų .

5. NUGALĖTOJŲ SUVESTINIMAS IR APDOVANOJIMAS

Galutinius atliktų konkursinių užduočių rodiklius nustato vertinimo komisijapagal parengtus vertinimo kriterijus;

Olimpiados nugalėtojams, kuriuos nustatė dauguma taškųįsteigti trys prizai;

Varžybų rezultatai dokumentuojami olimpiados organizatoriaus ataskaitoje.

Nugalėtojai apdovanojami diplomais ir vertingomis dovanomis.

Nesutikdamas su vertinimo komisijos balais, dalyvis gali pateiktiraštu pateikti apeliaciją per valandą nuo rezultatų paskelbimo.

Užtikrinamas konkurso viešumas – skelbiami konkurso rezultataiprizininkai.

Galime išskirti tokią loginių uždavinių sprendimo veiksmų seką.

1. Iš uždavinio sąlygos pasirinkite elementarius (paprastus) teiginius ir pažymėkite juos raidėmis.

2. Užrašykite uždavinio sąlygą logikos algebros kalba, loginiais veiksmais sujunkite paprastus teiginius į sudėtingus.

3. Sudarykite vieną loginę išraišką užduoties reikalavimams.

4. Naudodamiesi logikos algebros dėsniais, pabandykite supaprastinti gautą išraišką ir apskaičiuoti visas jos reikšmes arba sudaryti nagrinėjamos reiškinio tiesos lentelę.

5. Pasirinkite sprendimą – vertės rinkinys paprasti teiginiai, kuriuose sukonstruota loginė išraiška yra teisinga.

6. Patikrinkite, ar gautas sprendimas tenkina problemos sąlygą.

Pavyzdys:

1 užduotis:„Bandydami priminti praėjusių metų turnyro nugalėtojus, penki buvę turnyro žiūrovai pareiškė, kad:

1. Antras liko Antonas, penktas – Borisas.

2. Antras liko Viktoras, trečias Denisas.

3. Gregory buvo pirmas, o Borisas buvo trečias.

4. Antanas buvo trečias, o Jevgenijus – šeštas.

5. Viktoras buvo trečias, o Jevgenijus – ketvirtas.

Vėliau paaiškėjo, kad kiekvienas žiūrovas klydo viename iš dviejų savo teiginių. Koks buvo tikrasis vietų pasiskirstymas turnyre.

1) Pažymėkite pirmąja turnyro dalyvio vardo raide ir - vietos, kurią jis turi, numerį, t.y. mes turime.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Viena loginė išraiška visiems užduoties reikalavimams: .

4) formulėje L atliekame lygiavertes transformacijas, gauname: .

5) Iš 4 dalies išplaukia:,.

6) Vietų pasiskirstymas turnyre: trečias Antonas, penktas Borisas, antras Viktoras, pirmas Grigorijus, ketvirtas Jevgenijus.

2 užduotis:„Ivanovas, Petrovas, Sidorovas stojo prieš teismą dėl kaltinimų plėšimu. Tyrimo metu nustatyta:

1. jei nekaltas Ivanovas arba kaltas Petrovas, tai kaltas Sidorovas;

2. jei Ivanovas nekaltas, tai ir Sidorovas nekaltas.

Ar Ivanovas kaltas?

1) Apsvarstykite šiuos teiginius:

BET: "Ivanovas kaltas", AT: "Petrovas kaltas", Su: "Sidorovas kaltas".

2) Tyrimo metu nustatyti faktai:,.

3) Viena loginė išraiška: . Tai tiesa.

Padarykime tiesos lentelę.

BET	AT	Su	L

Išspręsti problemą reiškia nurodyti, kokioms A reikšmėms gautas kompleksinis teiginys L yra teisingas. Jei, bet, tada tyrimui neužtenka faktų, kad Ivanovas būtų apkaltintas nusikaltimu. Lentelės analizė rodo ir, t.y. Ivanovas kaltas dėl plėšimo.

Klausimai ir užduotys.

1. Sudarykite RCS formulėms:

2. Supaprastinkite RCS:

3. Remdamiesi šia perjungimo grandine, sukonstruokite ją atitinkančią loginę formulę.

4. Patikrinkite RCS lygiavertiškumą:

5. Sukonstruoti trijų jungiklių ir lemputės grandinę taip, kad šviesa įsijungtų tik tada, kai lygiai du jungikliai yra „įjungta“ padėtyje.

6. Naudodamiesi šia laidumo lentele, sukurkite funkcinių elementų grandinę su trimis įėjimais ir vienu išėjimu, kuris įgyvendina formulę.

x	y	z	F

7. Išanalizuokite paveikslėlyje pavaizduotą diagramą ir užrašykite funkcijos formulę F.

8. Užduotis: „Kartą tyrėjui teko vienu metu apklausti tris liudytojus: Klodą, Žaką, Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant.

1) Claude'as teigė, kad Žakas meluoja.

2) Žakas apkaltino Diką melavimu.

3) Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku.

Tačiau tyrėjas greitai nuvedė juos prie švaraus vandens, nepaklausęs nė vieno klausimo. Kuris liudytojas sakė tiesą?

9. Nustatykite, kuris iš keturių mokinių išlaikė egzaminą, jei žinoma, kad:

1) Jei pirmasis praėjo, tada antrasis praėjo.

2) Jei praėjo antrasis, tai trečias praėjo arba pirmas neišlaikė.

3) Jei ketvirtas neišlaikė, tai pirmasis išlaikė, o trečias neišlaikė.

4) Jei praėjo ketvirtas, tada praėjo pirmasis.

10. Paklausus, kuris iš trijų studentų studijavo logiką, gautas atsakymas: jei studijavo pirmą, tai studijavo trečią, bet netiesa, kad jei studijavo antrą, tai trečią. Kas studijavo logiką?

1. a) ( disjunkcijos komutatyvumas );

b)

(jungtukas komutatyvumas );

2. a) ( disjunkcinis asociatyvumas );

b) ( jungtukas asociatyvumas );

3. a) ( disjunkcijos distributyvumas konjunkcijos atžvilgiu );

b) ( konjunkcijos distributyvumas disjunkcijos atžvilgiu );

4.

ir

–de Morgano dėsniai .

5.

;

;

;

6.

(arba

) (išskiriamo vidurio dėsnis );

(arba

(prieštaravimo dėsnis );

7.

(arba

);

(arba

);

(arba

);

(arba

).

Išvardytos savybės dažniausiai naudojamos loginėms formulėms transformuoti ir supaprastinti. Čia pateikiamos tik trijų loginių operacijų savybės (disjunkcija, konjunkcija ir neigimas), tačiau vėliau bus parodyta, kad jomis galima išreikšti visas kitas operacijas.

Loginių jungčių pagalba galite sudaryti logines lygtis ir spręsti logines uždavinius taip pat, kaip aritmetiniai uždaviniai sprendžiami naudojant įprastų lygčių sistemas.

Pavyzdys. Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Jacques'as meluoja, Jacques'as apkaltino Diką meluojant, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Jacques'u. Tačiau tyrėjas greitai nuvedė juos prie švaraus vandens, nepaklausęs nė vieno klausimo. Kuris liudytojas sakė tiesą?

Sprendimas. Apsvarstykite teiginius:

(Klodas sako tiesą);

(Jacques sako tiesą);

(Dikas sako tiesą).

Mes nežinome, kurie iš jų yra teisingi, bet žinome šiuos dalykus:

1) arba Klodas pasakė tiesą, o tada Žakas melavo, arba Klodas melavo, o tada Žakas pasakė tiesą;

2) arba Žakas pasakė tiesą, o paskui Dikas melavo, arba Žakas melavo, o paskui Dikas pasakė tiesą;

3) arba Dikas pasakė tiesą, o paskui Klodas ir Žakas melavo, arba Dikas melavo, ir tada netiesa, kad abu kiti liudininkai melavo (t.y. bent vienas iš šių liudininkų pasakė tiesą).

Šiuos teiginius išreiškiame lygčių sistemos forma:

Uždavinio sąlyga bus įvykdyta, jei šie trys teiginiai yra teisingi vienu metu, o tai reiškia, kad jų konjunkcija yra teisinga. Mes padauginame šias lygybes (t. y. imame jų jungtį)

Bet

Jeigu, ir tik jeigu

, a

. Todėl Žakas sako tiesą, o Klodas ir Dikas meluoja.

Bet koks - termino operacija, žymima, pavyzdžiui,

, bus visiškai nustatyta, jei bus nustatyta, kokioms teiginių reikšmėms

rezultatas bus teisingas arba klaidingas. Vienas iš būdų nurodyti tokią operaciją yra užpildyti reikšmių lentelę:

Teiginio reikšmių lentelėje, suformuotoje iš paprasčiausi teiginiai

, prieinama linijos. Vertės stulpelyje taip pat yra pozicijų. Todėl yra

įvairios jo užpildymo galimybės ir atitinkamai visų skaičius -termino operacijos yra lygios

. At

vienkartinių operacijų skaičius yra 4, su

dvinario skaičius - 16, su

trijų narių skaičius – 256 ir kt.

Apsvarstykite kai kuriuos specialius formulių tipus.

Formulė vadinama elementarioji jungtis jei tai kintamųjų ir kintamųjų neigimo konjunkcija. Pavyzdžiui, formulės ,

,

,

yra elementarūs jungtukai.

Formulė, kuri yra elementariųjų jungtukų disjunkcija (galbūt vienanarė), vadinama disjunkcinė normalioji forma (D.Sc.). Pavyzdžiui, formulės ,

,

.

1 teorema(sumažinus iki D. Sc.). Bet kuriai formulei , kas yra d. f. .

Ši teorema ir po jos sekanti 2 teorema bus įrodyta kitame poskyryje. Taikant šias teoremas galima standartizuoti loginių formulių formą.

Formulė vadinama elementari disjunkcija jei tai kintamųjų ir kintamųjų neigimo disjunkcija. Pavyzdžiui, formulės

,

,

ir tt

Formulė, kuri yra elementariųjų disjunkcijų konjunkcija (galbūt vienanarė), vadinama jungtinė normalioji forma (PhD). Pavyzdžiui, formulės

,

.

2 teorema(dėl sumažinimo iki daktaro laipsnio). Bet kuriai formulei galima rasti lygiavertę formulę , kuris yra daktaro laipsnis. f.

Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Jacques'as meluoja, Jacques'as apkaltino Diką meluojant, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Jacques'u. Tačiau tyrėjas greitai nuvedė juos prie švaraus vandens, nepaklausęs nė vieno klausimo. Kuris iš liudininkų kalbėjo tiesą

Ilja Muromets, Dobrynya Nikitich ir Alyosha Popovich už ištikimą tarnybą gavo 6 monetas: 3 aukso ir 3 sidabro. Kiekvienas gavo po dvi monetas. Ilja Murometsas nežino, kokias monetas gavo Dobrynya ir kokias Alioša, bet žino, kurias monetas gavo pats. Pagalvokite apie klausimą, į kurį Ilja Muromets atsakys „taip“, „ne“ arba „nežinau“, o pagal atsakymą galite suprasti, kokias monetas jis gavo

Silogizmų taisyklės 1. Silogizme turi būti tik trys teiginiai ir tik trys terminai. ZhG Visi sightseers pabėgo į skirtingas puses, Petrovas yra apžvalgininkas, vadinasi, pabėgo į skirtingas puses. 3. Jeigu abi prielaidos yra privatūs teiginiai, tai išvados padaryti neįmanoma. 2. Jeigu viena iš prielaidų yra privatus pareiškimas, tai išvada turi būti privati. 4. Jei viena iš prielaidų yra neigiamas teiginys, tai išvada taip pat yra neigiamas teiginys. 5. Jei abi prielaidos yra neigiami teiginiai, tada išvados daryti negalima 6. Vidurinis terminas turi būti paskirstytas bent vienoje iš premisų. 7. Terminas negali būti išskirstytas išvadoje, jei jis nėra paskirstytas prielaidoje.

Visos katės turi keturias kojas. Visi šunys turi keturias kojas. Visi šunys yra katės. Visi žmonės yra mirtingi. Visi šunys nėra žmonės. Šunys yra nemirtingi (ne mirtingi). Ukraina užima didžiulę teritoriją. Krymas yra Ukrainos dalis. Krymas užima didžiulę teritoriją

35 problema

Kuris variantas buvo pageidaujamas?

36 problema

Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Jacques'as meluoja. Jacques'as apkaltino Diką meluojant, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai nuvedė juos prie švaraus vandens, nepaklausęs nė vieno klausimo.

Kuris liudytojas sakė tiesą?

37 problema

Baisi nelaimė, inspektoriau, sakė muziejaus pareigūnas. - Tu neįsivaizduoji, kaip aš jaudinausi. Aš tau pasakysiu viską iš eilės. Šiandien likau muziejuje dirbti ir susitvarkyti mūsų finansų. Tiesiog sėdėjau prie šio stalo ir žiūrėjau sąskaitas, kai staiga dešinėje pusėje pamačiau šešėlį. Langas buvo atidarytas.