Šis internetinis skaičiuotuvas skirtas funkcijai faktorinizuoti.

Pavyzdžiui, koeficientas: x 2 /3-3x+12 . Parašykime kaip x^2/3-3*x+12 . Taip pat galite naudotis šia paslauga, kurioje visi skaičiavimai išsaugomi Word formatu.

Pavyzdžiui, suskaidykite į terminus. Parašykime kaip (1-x^2)/(x^3+x) . Norėdami pamatyti sprendimo eigą, spustelėkite Rodyti veiksmus . Jei jums reikia gauti rezultatą Word formatu, naudokite šią paslaugą.

Pastaba: skaičius "pi" (π) rašomas kaip pi ; kvadratinė šaknis kaip sqrt , pvz., sqrt(3) , tg liestinė rašoma kaip tan . Atsakymų ieškokite skyrelyje Alternatyva.

1. Jei pateikiama paprasta išraiška, pavyzdžiui, 8*d+12*c*d , tai išraiškos faktorinavimas reiškia išraiškos faktorių. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrus veiksnius. Šią išraišką rašome taip: 4*d*(2+3*c) .
2. Išreikškite sandaugą kaip du dvejetainius: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Čia jau reikia rasti keletą bendrų faktorių: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Išimame (x+7z) ir gauname: (x+7z)(x + 3y) .

taip pat žiūrėkite Daugiavardžių padalijimas kampu (rodomi visi padalijimo iš stulpeliu žingsniai)

Naudinga mokytis faktorizavimo taisyklių sutrumpintos daugybos formulės, su kuria bus aišku, kaip atidaryti skliaustus su kvadratu:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 – b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringo metodai

Išmokęs keletą gudrybių faktorizavimas sprendimai gali būti klasifikuojami taip:

1. Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas.
2. Ieškokite bendro veiksnio.

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo išskaidymas yra prasmingas, kai jo laipsnis nėra žemesnis už antrąjį. Pirmojo laipsnio daugianomas vadinamas tiesiniu.

Straipsnyje bus atskleistos visos skilimo sąvokos, teorinis pagrindas ir daugianario faktorinavimo metodai.

Teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu laipsniu a n ir n tiesiniais koeficientais (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kur x i , i = 1 , 2 , … , n - tai daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i , i = 1 , 2 , … , n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.

Kai a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tada konjuguotose porose atsiras kompleksinės šaknys. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2 yra susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, taigi gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Apsvarstykite algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmes.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s) , tada gauname liekaną, kuri lygi polinomui taške s , tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1 .

Išvada iš Bezout teoremos

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s , tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio faktorizavimas

Formos a x 2 + b x + c kvadratinis trinaris gali būti įtrauktas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats išskaidymas redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo vėliau.

1 pavyzdys

Kvadratinės trinario koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, pagal formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Todėl mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš čia gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po patikrinimo pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad plėtra yra teisinga.

2 pavyzdys

Padalinkite kvadratinį trinarį koeficientu 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Gauname, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai suprantame

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 m

Iš čia gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar reikia išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai suprantame

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad patį skaidymą galima pavaizduoti kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, tai daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad į linijinius veiksnius jų neskaidysime.

Didesnio už antrąjį laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidymo metodas yra universalus. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies reikšmę x 1 ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1). Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką skaidymą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Šioje temoje numatomas lygčių sprendimas su aukštesni laipsniai ir sveikųjų skaičių koeficientai.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 \u003d 0, tada daugianarį galite pavaizduoti išraiškos P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + forma. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šiuo metodu bendras veiksnys išimamas iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 \u003d 0 yra nurodyto daugianario šaknis, tada galime skliausteliuose x iš visos išraiškos. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia panagrinėkime skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0 , kur didžiausios galios koeficientas yra 1 .

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Apsvarstykite, ar yra sveikųjų skaičių šaknų. Būtina išrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti pagal Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x \u003d 2 ir x \u003d - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurios gali būti pavaizduotos kaip formos sandauga:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kreipiamės į x 2 + 2 x + 3 formos kvadratinio trinalio skaidymą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Toliau nagrinėkime daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientus, išplėtimą. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias nelygu vienetui.

Šis atvejis taikomas trupmeninėms racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Reikia pakeisti kintamąjį y = 2 x , pereiti prie daugianario, kurio koeficientai lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai suprantame

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikąsias šaknis, tada jų radinys yra tarp laisvojo termino daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai suprantame

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gauname, kad y \u003d - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 lygties šaknis, o tai reiškia, kad x \u003d y 2 \u003d - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti iš stulpelio 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Rašome ir gauname:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Patikrinti daliklius užtruks daug laiko, todėl pelningiau skaičiuoti gautą kvadratinį trinarį, kurio forma yra x 2 + 7 x + 3. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtinės gudrybės skaičiuojant daugianarį

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išskaidyti arba pateikti kaip sandauga.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išimtumėte jį iš skliaustų.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, imame reikšmes 1 , - 1 , 2 ir - 2, kad apskaičiuotume daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai suprantame

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, reikia naudoti kitokį skaidymo ir tirpinimo būdą.

Grupuoti būtina:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavus pradinį daugianarį, reikia jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Tikslaus sprendimo būdo nėra, todėl reikia naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turi būti sugrupuoti. Mes tai suprantame

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringo tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintos daugybos ir Niutono dvinario formulių naudojimas daugianariui koeficientuoti

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, kokį būdą naudoti skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariais.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Taigi turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad ten nėra arklių, todėl vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname tokią išraišką kaip

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pakeiskime išraišką. Mes tai suprantame

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Faktorizuoti daugianarį formos x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3 . Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą plėtrą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir atsižvelgti į daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Klasė: 9

Pamokos tipas:žinių įtvirtinimo ir sisteminimo pamoka.

Pamokos tipas:Žinių ir veiksmų metodų patikrinimas, įvertinimas ir koregavimas.

Tikslai:

• Švietimas:

- ugdyti mokinių gebėjimą kvadratinį trinarį skaidyti į veiksnius;
- žinių įtvirtinimas sprendžiant įvairias užduotis nurodyta tema;
– matematinio mąstymo formavimas;
- didinti susidomėjimą dalyku kartojant nagrinėjamą medžiagą.

Švietimas:

- organizuotumo, susikaupimo išsilavinimas;
- pozityvaus požiūrio į mokymąsi ugdymas;
- ugdyti smalsumą.

Kuriama:

- ugdyti gebėjimą valdyti savitvardą;
- ugdyti gebėjimą racionaliai planuoti darbą;
- savarankiškumo, dėmesio ugdymas.

Įranga: didaktinė medžiaga darbui žodžiu, savarankiškam darbui, testo užduotys pasitikrinti žinias, kortelės su namų darbais, algebros vadovėlis Yu.N. Makaryčiovas.

Pamokos planas.

Pamokos etapai	Laikas, min	Metodai ir metodai
I. Žinių atnaujinimo etapas. Motyvacijos mokymosi problema	2	Mokytojo pokalbis
II. Pagrindinis pamokos turinys Studentų idėjų apie kvadratinio trinalio faktorinavimo į veiksnius formulės formavimas ir įtvirtinimas.	10	Mokytojo paaiškinimas. Euristinis pokalbis
III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas. Studijuotos medžiagos konsolidavimas	25	Problemų sprendimas. Atsakymai į mokinių klausimus
IV. Žinių įsisavinimo tikrinimas. Atspindys	5	Mokytojo žinutė. Studento žinutė
V. Namų darbai	3	Užduotis ant kortelių

Per užsiėmimus

I. Žinių atnaujinimo etapas. Ugdymo problemos motyvacija.

Laiko organizavimas.

Šiandien pamokoje apibendrinsime ir sisteminsime žinias tema: „Kvadratinio trinalio faktorizavimas“. Atlikdami įvairius pratimus, turėtumėte atkreipti dėmesį į dalykus, į kuriuos turite atkreipti ypatingą dėmesį sprendžiant lygtis ir praktines užduotis. Tai labai svarbu ruošiantis egzaminui.
Užrašykite pamokos temą: „Kvadratinio trinalio faktorizavimas. Sprendimo pavyzdžiai.

II. Pagrindinis pamokos turinys Studentų idėjų apie kvadratinio trinalio faktorinavimo į veiksnius formulės formavimas ir įtvirtinimas.

žodinis darbas.

– Norint sėkmingai koeficientuoti kvadratinį trinarį, reikia atsiminti ir diskriminanto, ir kvadratinės lygties šaknų formules, kvadratinio trinalio faktorinavimo formulę ir jas pritaikyti praktiškai.

1. Peržiūrėkite korteles „Tęsti arba užbaigti pareiškimą“.

2. Pažiūrėkite į lentą.

1. Kuris iš siūlomų daugianario nėra kvadratas?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Apibrėžkite kvadratinį trinarį. Apibrėžkite kvadratinio trinalio šaknį.

2. Kuri iš formulių nėra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Raskite kvadratinio trinalio - 2 koeficientus a, b, c X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Kuri iš formulių yra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė

x2 + px + q= 0 pagal Vietos teoremą?

1) x 1 + x 2 =p,
x vienas · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x vienas · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x vienas · x 2 = – q .

5. Išplėskite kvadratinį trinarį X 2 – 11x + 18 daugintuvams.

Atsakymas:( X – 2)(X – 9)

6. Išplėskite kvadratinį trinarį adresu 2 – 9y + 20 daugiklius

Atsakymas:( X – 4)(X – 5)

III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Padalinkite kvadratinį trinarį koeficientą:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktoringas mums padeda mažinant trupmenas.

3. Nenaudodami šaknies formulės suraskite kvadratinio trinalio šaknis:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Sudarykite kvadratinį trinarį, kurio šaknys yra skaičiai:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Savarankiškas darbas.

Nepriklausomai atlikite užduotį pagal parinktis, tada patikrinkite. Į pirmąsias dvi užduotis reikia atsakyti „Taip“ arba „Ne“. Iš kiekvieno varianto iškviečiamas po vieną mokinį (jie dirba lentos atlapuose). Atlikus savarankišką darbą lentoje, atliekamas bendras sprendimo patikrinimas. Mokiniai vertina savo darbus.

1 variantas:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Skaičius 2 yra lygties x 2 + 3x - 10 = 0 šaknis.

3. Padalinkite kvadratinį trinarį į 6 koeficientus x 2 – 5x + 1;

2 variantas:

1.D>0. Lygtis turi 2 šaknis.

2. Skaičius 3 yra kvadratinės lygties x 2 - x - 12 = 0 šaknis.

3. Kvadratinį trinarį išskaidykite į 2 koeficientus X 2 – 5x + 3

IV. Žinių įsisavinimo tikrinimas. Atspindys.

– Pamoka parodė, kad žinai pagrindinę šios temos teorinę medžiagą. Mes apibendriname žinias

Internetinis skaičiuotuvas.
Dvinalio kvadrato parinkimas ir kvadratinio trinalio faktorinavimas.

Ši matematikos programa išima dvinalio kvadratą iš kvadratinio trinalio, t.y. atlieka formos transformaciją:
\(ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+p)^2+q \) ir koeficientai sudaro kvadratinį trinarį: \(ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) \)

Tie. problemos sumažinamos iki skaičių \(p, q \) ir \(n, m \) radimo

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą.

Ši programa gali būti naudinga besiruošiantiems aukštųjų mokyklų studentams kontrolinis darbas ir egzaminus, tikrindami žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Tokiu būdu galite vesti savo mokymus ir (arba) treniruoti savo jaunesni broliai ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų užduočių srityje kyla.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio trinario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.

Skaičius galima įvesti kaip sveikuosius skaičius arba trupmenas.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo sveikojo skaičiaus gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtainius skaičius galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Sveikoji dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5x +1/7x^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Išsamus sprendimo pavyzdys

Dvinalio kvadrato parinkimas.$$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atsakymas:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
2 $\kairė(x^2+x-2 \dešinė) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Atsakymas:$2x^2+2x-4 = 2 \kairė(x -1 \dešinė) \kairysis(x +2 \dešinė) $$

Nuspręsk

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, neįsikelia, o programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas „JavaScript“.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palauk prašau sek...

Jei tu pastebėjo klaidą sprendime, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinio dvinalio išskyrimas iš kvadratinio trinalio

Jei kvadratinis trinaris ax 2 + bx + c pavaizduotas kaip a (x + p) 2 + q, kur p ir q yra tikrieji skaičiai, tada jie sako, kad nuo kvadratinis trinaris, dvinario kvadratas yra paryškintas.

Iš trinalio 2x 2 +12x+14 išskirkime dvinario kvadratą.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Norėdami tai padaryti, 6x pavaizduojame kaip 2 * 3 * x sandaugą, tada sudedame ir atimame 3 2 . Mes gauname:
2 $ ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tai. mes pasirinko dvinario kvadratą iš kvadratinio trinalio, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadratinio trinalio faktorizavimas

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas kaip a(x+n)(x+m), kur n ir m yra tikrieji skaičiai, tada sakoma, kad operacija atlikta kvadratinio trinalio faktorizacijos.

Naudokime pavyzdį, kad parodytume, kaip ši transformacija atliekama.

Kvadratinį trinarį faktoriuokime 2x 2 +4x-6.

Išimkime koeficientą a iš skliaustų, t.y. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformuokime išraišką skliausteliuose.
Norėdami tai padaryti, 2x pavaizduojame kaip skirtumą 3x-1x, o -3 - kaip -1*3. Mes gauname:
$$ = 2(x^2+3 \ctaškas x -1 \ctaškas x -1 \ctaškas 3) = 2(x(x+3)-1 \ctaškas (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tai. mes faktorinuokite kvadratinį trinarį, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinio trinalio faktorizavimas galimas tik tada, kai kvadratinė lygtis, atitinkanti šį trinarį, turi šaknis.
Tie. mūsų atveju trinario 2x 2 +4x-6 faktorinavimas galimas, jei kvadratinė lygtis 2x 2 +4x-6 =0 turi šaknis. Faktoringo procese nustatėme, kad lygtis 2x 2 +4x-6 =0 turi dvi šaknis 1 ir -3, nes su šiomis reikšmėmis lygtis 2(x-1)(x+3)=0 virsta tikrąja lygybe.

Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir OGE testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo slengo žodynas Rusų mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Užduočių sąrašas

Pasaulis yra panardintas į daugybę skaičių. Bet kokie skaičiavimai atliekami su jų pagalba.

Žmonės mokosi skaičių, kad vėliau nepakliūtų į apgaulę. Reikia daug laiko skirti išsilavinimui ir savo biudžeto skaičiavimui.

Susisiekus su

Matematika yra tikslusis mokslas, kuris vaidina svarbų vaidmenį gyvenime. Mokykloje vaikai mokosi skaičių, o vėliau ir veiksmų su jais.

Veiksmai su skaičiais yra visiškai skirtingi: daugyba, išplėtimas, sudėjimas ir kt. Be paprastų formulių, matematikos studijose naudojami ir sudėtingesni veiksmai. Yra daugybė formulių, pagal kurias žinomos bet kokios reikšmės.

Mokykloje, kai tik atsiranda algebra, į mokinio gyvenimą įtraukiamos supaprastinimo formulės. Yra lygčių, kai yra du nežinomi skaičiai, bet raskite paprastu būdu neveiks. Trinaris yra trijų vienanarių derinys, naudojant paprastą atimties ir sudėjimo metodą. Trinaris sprendžiamas naudojant Vieta teoremą ir diskriminantą.

Kvadratinio trinalio suskaidymo į veiksnius formulė

Yra du teisingi ir paprasti sprendimai pavyzdys:

• diskriminuojantis;
• Vietos teorema.

Kvadratinis trinaris turi nežinomą kvadratą, taip pat skaičių be kvadrato. Pirmajame problemos sprendimo variante naudojama Vieta formulė. Tai yra paprasta formulė jei skaitmenys, esantys prieš nežinomą, bus mažiausia reikšmė.

Kitose lygtyse, kur skaičius yra prieš nežinomąjį, lygtis turi būti sprendžiama per diskriminantą. Tai sudėtingesnis sprendimas, tačiau diskriminantas naudojamas daug dažniau nei Vietos teorema.

Iš pradžių, norint rasti visus lygties kintamuosius, reikia pavyzdį pakelti iki 0. Pavyzdžio sprendimą galima patikrinti ir išsiaiškinti, ar teisingai sureguliuoti skaičiai.

Diskriminuojantis

1. Būtina lygtį prilyginti 0.

2. Kiekvienas skaičius prieš x bus vadinamas skaičiais a, b, c. Kadangi prieš pirmąjį kvadratą x nėra skaičiaus, jis lygus 1.

3. Dabar lygties sprendimas prasideda diskriminantu:

4. Dabar radome diskriminantą ir randame du x. Skirtumas tas, kad vienu atveju prieš b bus įrašytas pliusas, o kitu – minusas:

5. Išsprendus du skaičius paaiškėjo -2 ir -1. Pakeiskite pradinę lygtį:

6. Šiame pavyzdyje yra dvi teisingos parinktys. Jei abu sprendimai yra teisingi, tada kiekvienas iš jų yra teisingas.

Išspręskite naudodami diskriminantą ir dar daugiau kompleksinė lygtis. Bet jei paties diskriminanto reikšmė mažesnė už 0, tai pavyzdys klaidingas. Diskriminantas paieškoje visada yra po šaknimi, o neigiama reikšmė negali būti šaknyje.

Vietos teorema

Jis naudojamas lengviems uždaviniams spręsti, kai prieš pirmąjį x nėra skaičiaus, tai yra, a=1. Jei parinktis atitinka, tada skaičiavimas atliekamas naudojant Vieta teoremą.

Norėdami išspręsti bet kurį trinarį reikia pakelti lygtį iki 0. Pirmieji žingsniai diskriminantui ir Vieta teoremai yra vienodi.

2. Dabar yra skirtumų tarp dviejų metodų. Vietos teorema naudoja ne tik „sausą“ skaičiavimą, bet ir logiką bei intuiciją. Kiekvienas skaičius turi savo raides a, b, c. Teoremoje naudojama dviejų skaičių suma ir sandauga.

Prisiminti! Skaičius b visada pridedamas su priešingu ženklu, o skaičius c lieka nepakitęs!

Duomenų reikšmių pakeitimas pavyzdyje , mes gauname:

3. Naudodami loginį metodą, pakeičiame tinkamiausius skaičius. Apsvarstykite visus galimus sprendimus:

1. Skaičiai yra 1 ir 2. Sudėjus gauname 3, bet padauginus negausime 4. Netinka.
2. Vertė 2 ir -2. Padauginus bus -4, bet sudėjus pasirodo 0. Netinka.
3. Skaičiai 4 ir -1. Kadangi daugyboje yra neigiama reikšmė, tai reiškia, kad vienas iš skaičių bus su minusu. Tinka sudėti ir dauginti. Teisingas variantas.

4. Belieka tik patikrinti, dėliojant skaičius ir pasižiūrėti ar pasirinktas variantas teisingas.

5. Internetinės patikros dėka išsiaiškinome, kad -1 neatitinka pavyzdžio sąlygos, vadinasi, tai neteisingas sprendimas.

Pavyzdyje pridedant neigiamą reikšmę, skaičius turi būti pateiktas skliausteliuose.

Matematikoje visada bus paprastų ir sudėtingų uždavinių. Pats mokslas apima daugybę problemų, teoremų ir formulių. Jei suprasite ir teisingai pritaikysite žinias, bet kokie skaičiavimo sunkumai bus menki.

Matematikos nereikia nuolat mokytis atmintinai. Turite išmokti suprasti sprendimą ir išmokti keletą formulių. Palaipsniui pagal logiškas išvadas galima spręsti panašias problemas, lygtis. Toks mokslas iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti labai sunkus, tačiau pasineriant į skaičių ir užduočių pasaulį, vaizdas iš esmės pasikeis į gerąją pusę.

Techninės specialybės visada išlieka geidžiamiausias pasaulyje. Dabar, pasaulyje šiuolaikinės technologijos Matematika tapo nepakeičiamu bet kurios srities atributu. Jūs visada turite prisiminti apie naudingų savybių matematika.

Trinario su skliaustais skaidymas

Be sprendimo įprastais būdais, yra dar vienas – skaidymas į skliaustus. Naudojamas su Vieta formule.

1. Lygtį prilyginkite 0.

kirvis 2 + bx+ c= 0

2. Lygties šaknys išlieka tos pačios, tačiau vietoj nulio dabar naudojamos skliaustų išplėtimo formulės.

kirvis 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Sprendimas x=-1, x=3