namai medžiagų

Sudėtinga eksponentinė lygtis. eksponentinės lygtys

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio 1-13 užduotys USE matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindinį USE. Jeigu norite išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei šimtabalsis studentas, nei humanistas.

Visa reikalinga teorija. Greiti sprendimai, spąstai ir egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos aktualios 1 dalies užduotys iš FIPI užduočių banko. Kursas visiškai atitinka USE-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai egzamino užduočių. Tekstinės problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Gudrios gudrybės sprendžiant, naudingi lapeliai, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio – iki 13 užduoties. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Pagrindas sudėtingiems II egzamino dalies uždaviniams spręsti.

Lygtys, dalis $C$

Lygybė, kurioje yra nežinomas skaičius, žymimas raide, vadinama lygtimi. Išraiška, esanti kairėje nuo lygybės ženklo, vadinama kairiąja lygties puse, o išraiška į dešinę – dešine lygties puse.

Sudėtingų lygčių sprendimo schema:

Prieš sprendžiant lygtį, būtina užrašyti jos leistinų verčių sritį (ODV).
Išspręskite lygtį.
Iš gautų lygties šaknų pasirinkite tas, kurios tenkina ODZ.

Įvairių išraiškų ODZ (pagal išraišką suprasime raidinį ir skaitmeninį įrašą):

1. Išraiška vardiklyje neturi būti lygi nuliui.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Šakninė išraiška neturi būti neigiama.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Radikalio išraiška vardiklyje turi būti teigiama.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Logaritmui: poblogaritminė išraiška turi būti teigiama; bazė turi būti teigiama; bazė negali būti lygi vienetui.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritminės lygtys

Logaritminės lygtys yra $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kur $a$ yra teigiamas skaičius, kuris skiriasi nuo $1$, ir lygtys, kurios redukuojasi į šią formą.

Norint išspręsti logaritmines lygtis, reikia žinoti logaritmų savybes: nagrinėsime visas logaritmų savybes, kai $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – bet koks realusis skaičius.

1. Bet kurių realiųjų skaičių $m$ ir $n$ lygybės yra teisingos:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. sandaugos logaritmas yra lygus logaritmų sumai toje pačioje bazėje iš kiekvieno koeficiento.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp skaitiklio ir vardiklio logaritmų tame pačiame pagrinde

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Dauginant du logaritmus, galima sukeisti jų bazes

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, jei $a, b, c$ ir $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kur $a, b, c > 0, a≠1$

6. Perėjimo į naują dugną formulė

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Ypač, jei reikia sukeisti bazę ir sublogaritminę išraišką

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Yra keletas pagrindinių logaritminių lygčių tipų:

Paprasčiausios logaritminės lygtys: $log_(a)x=b$. Šio tipo lygčių sprendimas išplaukia iš logaritmo apibrėžimo, t.y. $x=a^b$ ir $x > 0$

Pavaizduokime abi lygties puses logaritmo forma baze $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Jei logaritmai yra lygūs toje pačioje bazėje, tada ir poblogaritminės išraiškos yra lygios.

Atsakymas: $ x = 8 $

Formos lygtys: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Nes bazės yra tos pačios, tada sulyginame sublogaritmines išraiškas ir atsižvelgiame į ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Nes pagrindai yra vienodi, tada sublogaritmines išraiškas sulyginame

Visus terminus perkeliame į kairę lygties pusę ir pateikiame panašius terminus

Patikrinkime rastas šaknis pagal sąlygas $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Keičiant į antrąją nelygybę šaknis $x=4$ netenkina sąlygos, todėl tai yra pašalinė šaknis

Atsakymas: $x=-3$

Kintamasis pakeitimo būdas.

Taikant šį metodą, jums reikia:

Parašykite ODZ lygtį.
Pagal logaritmų savybes įsitikinkite, kad lygtyje gauti tie patys logaritmai.
$log_(a)f(x)$ pakeiskite bet kuriuo kintamuoju.
Išspręskite naujo kintamojo lygtį.
Grįžkite į 3 veiksmą, vietoj kintamojo pakeiskite reikšmę ir gaukite paprasčiausią formos lygtį: $log_(a)x=b$
Išspręskite paprasčiausią lygtį.
Suradus logaritminės lygties šaknis, jas reikia įdėti į 1 punktą ir patikrinti ODZ sąlygą.

Išspręskite lygtį $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Parašykime ODZ lygtis:

$\table\(\ x>0,\text"nes jis yra po šaknies ir logaritmo ženklu";\ √x≠1→x≠1;$

2. Padarykime logaritmus prie bazės $2$, tam naudosime perėjimo prie naujos bazės taisyklę antrajame termine:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Gauname trupmeninę – racionaliąją lygtį kintamojo t atžvilgiu

Sumažinkime visus terminus iki bendro vardiklio $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis nulis, o vardiklis nelygus nuliui.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Išsprendžiame gautą kvadratinę lygtį naudodami Vietos teoremą:

6. Grįžkime į 3 veiksmą, atlikite atvirkštinį pakeitimą ir gaukite dvi paprastas logaritmines lygtis:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Imame teisingų lygčių dalių logaritmą

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Sulyginkite sublogaritmines išraiškas

$√x=2$, $√x=4$

Norėdami atsikratyti šaknies, iš abiejų lygties pusių padalome kvadratu

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Pakeiskime logaritminės lygties šaknis 1 punkte ir patikrinkime ODZ būklę.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Pirmoji šaknis tenkina ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Antroji šaknis taip pat tenkina DDE.

Atsakymas: 4 USD; 16 USD

Formos $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$ lygtys. Tokios lygtys išsprendžiamos įvedant naują kintamąjį ir pereinant prie įprastos kvadratinės lygties. Suradus lygties šaknis, jas reikia pasirinkti atsižvelgiant į ODZ.

Trupmeninės racionalios lygtys

Jei trupmena lygi nuliui, tai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis.
Jei bent vienoje racionaliosios lygties dalyje yra trupmena, tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.

Norėdami išspręsti trupmeninę racionalią lygtį, jums reikia:

Raskite kintamojo, kuriam lygtis neturi prasmės, reikšmes (ODV)
Raskite į lygtį įtrauktų trupmenų bendrą vardiklį;
Abi lygties puses padauginkite iš bendro vardiklio;
Išspręskite gautą visą lygtį;
Iš jo šaknų išskirkite tuos, kurie neatitinka ODZ sąlygos.

Jei lygtyje dalyvauja dvi trupmenos, o skaitikliai yra jų lygios išraiškos, tai vardiklius galima sulyginti vienas su kitu ir gautą lygtį išspręsti nekreipiant dėmesio į skaitiklius. BET atsižvelgiant į visos pradinės lygties ODZ.

eksponentinės lygtys

Eksponentinė lygtis yra lygtis, kurios eksponente yra nežinomasis.

Sprendžiant eksponentinės lygtys Naudojamos laipsnių savybės, prisiminkime kai kurias iš jų:

1. Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka ta pati, o laipsniai pridedami.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Dalijant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka ta pati, o rodikliai atimami

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Didinant laipsnį iki laipsnio, bazė išlieka ta pati, o rodikliai dauginami

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Didinant sandaugą iki laipsnio, kiekvienas koeficientas padidinamas iki šios laipsnio

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Keliant trupmeną iki laipsnio, skaitiklis ir vardiklis didinami iki šios laipsnio

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Pakeliant bet kurią bazę iki nulinio rodiklio, rezultatas lygus vienetui

7. Bet kurio neigiamo eksponento bazė gali būti pavaizduota kaip bazė tame pačiame teigiamame eksponente, pakeitus bazės padėtį trupmenos linijos atžvilgiu.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikalas (šaknis) gali būti pavaizduotas kaip laipsnis su trupmeniniu rodikliu

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentinių lygčių tipai:

1. Paprastos eksponentinės lygtys:

a) Forma $a^(f(x))=a^(g(x))$, kur $a >0, a≠1, x$ nežinoma. Tokioms lygtims išspręsti naudojame laipsnių savybę: laipsniai su ta pačia baze ($а >0, a≠1$) yra lygūs tik tada, kai jų eksponentai lygūs.

b) Formos $a^(f(x))=b, b>0$ lygtis

Norint išspręsti tokias lygtis, reikia paimti abi logaritmo dalis bazėje $a$, pasirodo

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Pagrindo reguliavimo metodas.

3. Faktorizacijos ir kintamojo keitimo metodas.

Šiam metodui visoje lygtyje, pagal laipsnių savybę, reikia laipsnius transformuoti į vieną formą $a^(f(x))$.
Pakeiskite kintamąjį $a^(f(x))=t, t > 0$.
Gauname racionalią lygtį, kurią reikia išspręsti faktorinuojant išraišką.
Atliekame atvirkštinius pakaitalus, atsižvelgdami į tai, kad $t >

Išspręskite lygtį $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Pagal laipsnių savybę išraišką transformuojame taip, kad gautume laipsnį 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Pakeiskime kintamąjį $2^x=t; t>0 $

Gauname kubinę formos lygtį

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1 = 0$

Padauginkite visą lygtį iš 2 USD, kad pašalintumėte vardiklius

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Išplėskime kairiąją lygties pusę grupavimo metodu

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Išimkite jį iš pirmojo laikiklio bendras veiksnys$2$, nuo antrojo $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Be to, pirmajame skliaustelyje matome kubelių skirtumo formulę

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Išspręskime pirmąją lygtį

Antrąją lygtį išsprendžiame per diskriminantą

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1 = 0; x_2=-1; x_3 = 1 USD

Atsakymas: $-1; 0; 1 USD

4. Konvertavimo į kvadratinę lygtį metodas

Turime $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$ lygtį, kur $A, B$ ir $C$ yra koeficientai.
Atliekame pakeitimą $a^(f(x))=t, t > 0$.
Pasirodo kvadratinė lygtis, kurios forma yra $A·t^2+B·t+С=0$. Išsprendžiame gautą lygtį.
Atliekame atvirkštinį pakeitimą, atsižvelgdami į tai, kad $t > 0$. Gauname paprasčiausią eksponentinę lygtį $a^(f(x))=t$, išsprendžiame ją ir atsakydami parašome rezultatą.

Faktoringo metodai:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų.

Norėdami koeficientuoti daugianarį iš skliaustų išimant bendrą koeficientą, jums reikia:

Nustatykite bendrą veiksnį.
Duotąjį daugianarį padalinkite iš jo.
Užrašykite bendrojo koeficiento sandaugą ir gautą koeficientą (šį koeficientą įrašykite skliausteliuose).

Padalinkite daugianario koeficientą: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Bendras šio daugianario koeficientas yra $2a$, nes visi terminai dalijasi iš $2$ ir "a". Toliau randame pradinio daugianario dalijimosi iš "2a" koeficientą, gauname:

10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Tai yra galutinis faktorizavimo rezultatas.

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas

1. Sumos kvadratas išskaidomas į pirmojo skaičiaus kvadratą, pridėjus dvigubą pirmojo skaičiaus sandaugą iš antrojo skaičiaus ir pridėjus antrojo skaičiaus kvadratą.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Skirtumo kvadratas išskaidomas į pirmojo skaičiaus kvadratą, atėmus du kartus pirmojo skaičiaus sandaugą iš antrojo ir pridėjus antrojo skaičiaus kvadratą.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Kvadratų skirtumas išskaidomas į skaičių skirtumo ir jų sumos sandaugą.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Sumos kubas yra lygus pirmojo skaičiaus kubui, pridėjus tris pirmojo ir antrojo skaičiaus kvadratą ir tris kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus sandaugą ir antrojo skaičiaus kubą. .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Skirtumo kubas lygus pirmojo skaičiaus kubui, atėmus tris pirmojo ir antrojo skaičiaus kvadrato sandaugą, pridėjus tris kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus sandaugą ir atėmus antrojo skaičiaus kubas.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kubų suma lygi skaičių sumos ir skirtumo nepilnojo kvadrato sandaugai.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kubų skirtumas lygus skaičių skirtumo sandaugai nepilnojo sumos kvadratu.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Grupavimo metodas

Grupavimo metodą patogu naudoti, kai reikia daugianario su lyginiu skaičiumi faktorinuoti. Taikant šį metodą, reikia rinkti terminus į grupes ir iš kiekvienos grupės iš skliaustų išimti bendrą koeficientą. Kelios grupės, patalpintos į skliaustus, turėtų gauti tokias pačias išraiškas, tada šį skliaustą imame į priekį kaip bendrą koeficientą ir padauginame jį iš gauto koeficiento skliausto.

Padalinkite daugianario $2a^3-a^2+4a-2$ faktorių

Norėdami išskaidyti šį daugianarį, naudojame sumavimo grupavimo metodą, tam sugrupuojame pirmuosius du ir paskutinius du terminus, tuo tarpu svarbu teisingai įdėti ženklą prieš antrąją grupę, dedame ženklą + ir todėl rašome terminus. su jų ženklais skliausteliuose.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Išėmę bendrus veiksnius, gavome porą identiškų skliaustų. Dabar mes išimame šį laikiklį kaip bendrą veiksnį.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Šių skliaustų produktas yra galutinis faktorizavimo rezultatas.

Naudojant kvadratinio trinalio formulę.

Jei galima kvadratinis trinaris formos $ax^2+bx+c$, tada ją galima išplėsti formule

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kur $x_1$ ir $x_2$ yra kvadratinio trinalio šaknys

Rinkinys, skirtas eksponentinėms lygtims spręsti

Įvadas

Matematikos kurse viena iš svarbių vietų skiriama eksponentinių lygčių sprendimui. Pirmą kartą studentai su eksponentinėmis lygtimis susiduria NPO grupėse antraisiais studijų metais, o SVE grupėse – pirmaisiais studijų metais. Eksponentinės lygtys taip pat rastos NAUDOTI užduotis. Atitinkamai didelis dėmesys turėtų būti skiriamas jų sprendimo metodų tyrimui. Sprendžiant eksponentines lygtis, sunkumų dažnai iškyla dėl šių ypatybių: - pateikiant eksponentinių lygčių sprendimo algoritmą; - spręsdami eksponentines lygtis, studentai atlieka transformacijas, lygiavertes pradinėms lygtims; - spręsdami eksponentinę lygtį, jie įveda naują kintamąjį ir pamiršta grįžti prie atvirkštinio keitimo. Siūlomas vadovas yra atsakymai į eksponentinių lygčių sprendimą savarankiškas darbas ir sėkmingai išlaikius egzaminą.

Šio rinkinio tikslas: išstudijuoti teorinę medžiagą šia tema, išanalizuoti šią temą algebros vadovėliuose ir analizės pradžią, susisteminti USE uždavinius sprendžiant eksponenlines lygtis, susisteminti ir apibendrinti metodines rekomendacijas sprendžiant eksponenlines lygtis. Norint pasiekti šį tikslą, būtina išspręsti šias užduotis:

Išnagrinėkite reikalavimus valstybiniai standartai tema „Eksponentinės lygtys“;

Išanalizuoti medžiagą šia tema algebros vadovėliuose ir pradėti analizuoti;

Sisteminti eksponentinių lygčių sprendimo būdus;

Susisteminti ir apibendrinti šios temos tyrimo metodologinius ypatumus. Vadovą sudaro du skyriai. Pirmoje dalyje apibrėžiama eksponentinė lygtis, laipsnių savybės, eksponentinių lygčių tipai ir jų sprendimo būdai su sprendinių pavyzdžiais. Antroje dalyje pateikiama nemažai pavyzdžių, rastų egzamino užduotyse. Atsakymai į šiuos klausimus pateikiami pabaigoje. Šis vadovas gali būti naudojamas tiek klasėje, tiek individualiam mokymuisi, tiek tiems, kurie nori pagilinti žinias tema: „Eksponentinės lygtys“.

Apibrėžimas. Lygtis, kurios eksponente yra nežinomasis, vadinamas pavyzdingu.

Reikia prisiminti!Sprendžiant eksponentines lygtis, jis dažnai naudojamas:

1. Teorema: jei a 0 ;, a≠ 1 ir = , tada = .

2. Laipsnių savybės : a x * a y = a x + y = = * ( x = , ( y = ,

a - x = ; a 0 = 1, a 1 = a.

Apsvarstykite pagrindinius eksponentinių lygčių tipus ir sprendimo būdus.

1. Paprasčiausia formos eksponentinė lygtis:

a x = b, kura 0; b 0, a≠ 1, turi sprendimąx = .

1 pavyzdys Išspręskite lygtį 2 x = 3.

Sprendimas : x =
Atsakymas:

2. Norėdami išspręsti formos lygtis: a f ( x ) = b, kura0; b0, a ≠ 1, reikia nurodyti priežastis bet kaip to paties skaičiaus laipsnį, o tada palyginkite rodiklius.

2 pavyzdys Išspręskite 5 lygtį 2x+4 = 25.

3. Formos eksponentinė lygtis

a f ( x ) = a ȹ( x ) , a0, a ≠ 1

išspręsta paimant abiejų lygties pusių logaritmą į pagrindą bet. Jo lygiavertė lygtis

f(x) = ȹ(x).

3 pavyzdys Išspręskite lygtį 6 2x - 8 = 216 x

Sprendimas. 6 2x - 8 \u003d 6 3x, nes 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

2x - 3x = 8

4 pavyzdys(Naudojimas) Nurodykite intervalą, kuriam priklauso šaknis

lygtys 0,1x-1 = 16.

1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

2). (1;10]; 4). (16; 20].

Sprendimas. Pavaizduokime skaičius ir 16 kaip 2 laipsnį:

2–5 ir 16 = 2 4

Gauname lygtį, lygiavertę šiai:

(2 -5) 0,1x-1 \u003d 2 4, t.y. 2–5 (0,1 x – 1) \u003d 2 4.

Ši lygtis yra lygiavertė lygčiai

5(0,1x - 1) = 4

0,5 x \u003d 4–5

Skaičius 2 yra intervale (1;10], nurodytas kaip vienas iš atsakymų, todėl teisingas atsakymas yra 2.

4 pavyzdys(Naudoti) Raskite lygties šaknų kvadratų sumą -5 = 9 -2x .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Sprendimas. Naudodamiesi laipsnių savybėmis transformuojame dešinę lygties pusę: 9 -2x \u003d (3 2) -2x \u003d 3 -4x

Ši lygtis bus tokia: -5 = 3 -4 .

Iš eksponentinės funkcijos monotoniškumo savybių išplaukia, kad eksponentinė lygtis yra lygiavertė lygčiai

x 2 - 5 \u003d -4x.

Išspręskite kvadratinę lygtį x 2 + 4x -5 = 0

D = b 2 – 4ac

D \u003d 4 2 - 4 * 1 * (-5) \u003d 16 + 20 \u003d 36 0, lygtis turi dvi šaknis:

Kadangi kvadratinė lygtis yra lygiavertė pradinei lygčiai, gautos šaknys yra šios lygties arkliai. Kitais klausimais tiesioginiu pakeitimu galite patikrinti, ar skaičiai -5 ir 1 yra šios lygties šaknys. Taigi lygties šaknų kvadratų suma -5 = 9 -2x lygus (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Teisingo atsakymo numeris – 1

4. Tipo lygtis a 0 a 2x + a 1 a x + a 2 = 0.

Ši lygtis vadinama trijų terminų eksponentine lygtimi. Stovi a x = y paverčia ją įprasta kvadratine lygtimi a 0 y 2 x + a 1 y + a 2 = 0 . Išsprendę, rasime šaknis y 1 Ir y 2 . Po to pradinės lygties sprendinys redukuojamas į dviejų lygčių sprendinį a x = y 1 , a x = y 2 . Paskutinės lygtys turi sprendimą y 1 0 Ir y 2 0 .

5 pavyzdys. Išspręskite 2 lygtį 2 x - 2 x - 2=0.

Sprendimas. Tegul 2 x = y, tada lygtis įgis tokią formą

y 2 – y – 2 = 0

D \u003d (-1) 2 - 41 (-2) \u003d 9 0, 2 šaknys

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, sprendimo nėra, nes -vienas

6 pavyzdys. Išspręskite 9 lygtį x – 3 x – 6 = 0

Sprendimas. Pirmąjį lygties narį galima pavaizduoti kaip 9 x = 3 2 x = (3 x) 2 . Tada pradinė lygtis įgaus formą (3 x) 2 - 3 x - 6 = 0. Pažymėkite 3 x = y, tada turime y 2 - y - 6 = 0

y 1 = 3; y 2 \u003d -2.

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – sprendimo nėra, nes -2

5. Tipo lygtis

Ši lygtis išspręsta iš skliaustų išimant bendrą koeficientą.

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį

2 x +1 + 32 x -1 – 52 x + 6 = 0

Sprendimas. Iš skliaustų paimkime bendrą koeficientą 2 x -1, gausime

2 x -1 (2 2 + 3 - 52) = -6

2 x -1 (-3) = -6

2 x -1 = -6: (-3)

6. Formos lygtis, kur f(x) yra išraiška, turinti nežinomą skaičių; a0; a ≠ 1.

Norėdami išspręsti šias lygtis, jums reikia:

1. pakeisti 1 = a 0 ; a f (x) = a 0;

2. išspręskite lygtį f (x) = 0

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Apibrėždami laipsnį su nuliniu rodikliu, turime:

x 2 - 7x + 12 = 0 (nes 1 = 2 0)

D = b 2 – 4ac

Išspręsdami kvadratinę lygtį, gauname: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Atsakymas: 3; 4.

7. Lygčių vaizdas

Ši lygtis sumažinama iki trijų terminų eksponentinės lygties, padalijus abi dalis iš a x arba b x .

9 pavyzdys Išspręskite lygtį 9 x + 6 x = 2 2 x +1

Sprendimas. Perrašykime lygtį į 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Abi lygties puses dalijant iš 2 2 x ≠ 0, gauname

Tegul lygtis tada įgauna formą

y 2 + y -2 = 0 . Išspręsdami kvadratinę lygtį, gauname = -2, = 1.

a) – sprendimo nėra, nes -2

Pavyzdžiai.

I. Išspręskite lygtis:

31. 0,5 x +7 0,5 1-2 x = 2

32,0,6 x 0,6 3 =

34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108

35. 2x +1 + 2x -1 + 2x = 28

36. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

37. 3x -1 - 3x + 3x +1 = 63

40. 7x - 7x-1 = 6

41,5 3x += 140

42. 3 2 m-1 + 3 2 m-2 -3 2 m-4 = 315

43. 2x+1 + 32x-1 -52x+6=0

44,9x - 43x +3 =0

45,16 x -174 x +16 =0

46. 25x - 65x + 5 = 0

47,64x-8x-56=0

48. 84x - 62x + 1 = 0

50. 13 2 x +1 - 13 x - 12 = 0

II. (Naudojimas) Nurodykite, kuriam intervalui priklauso lygties šaknis:

1. 3 4 x +5 = 81

1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

2,45 x -8 = 64

1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

3,6 3 x +5 = 36

1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)

6,6 10 x -1 = 36

1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)

1) [-1;1] 2) (1;2) 3)

10,5 2 x +1 = 125

1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)

11,25 x +1 = 4

1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)

1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)

13,6 2 x +2 = 216

1) 2) 3) [-2;0] 4)

14,72 x +2 = 343

1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)

15. 3 3 x +3 = 9

1) [-1;1] 2) 3) 4)

16,2 3 x +1 = 8

1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)

1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)

18. 0,1 2 x = 100 3 x +1

1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)

19. 0,2 x -0,5 = 0,04 x -1

1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

20.008 x = 5 1-2 x

1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

III. Raskite lygties šaknų kvadratų sumą

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

Atsakymai

aš.Išspręskite lygtis

II. (Naudojimas) Nurodykite, kuriam intervalui priklauso lygties šaknis

III. Raskite lygties šaknų kvadratų sumą

Papildomi pavyzdžiai:

1. 4 3-2x = 4 2-x

2. 2 5 x +1 = 4 2 x

3,5 3 = 25 x +0,5

8,5 x -4 = 25 2

11,4 x +2 x -24 = 0

12. 9 x - 4 * 3 x - 45 = 0

13. 4x - 3 * 2x = 40

14. 2 4 x - 50 * 2 2 x \u003d 896

15. 7 2 x - 6 * 7 x - 7 = 0

16. 9 x - 8 * 3 x - 9 = 0

17. 16 x + 4 * 4 x - 5 = 0

18. 4x -9 * 2x + 8 = 0

19. 36 x - 4 * 6 x - 12 = 0

20. 64 x - 8 x - 56 = 0

21. 7 x +2 + 4 * 7 x +1 = 539

22. 2x +1 + 3 * 2x -1 - 5 * 2x + 6 = 0

23. 7x + 7x +2 = 350

24. 7 * 5 x - 5 x +1 = 2 * 5 3

25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21

26,5 1+2 x + 5 2 x +3 = 650

27. 6 x +1 + 35 * 6 x -1 = 71

28. 4x +1 +4x = 320

29. 3 x +1 - 2 * 3 x -2 = 25

30. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

33,4 x = 5 - x

35. 2-3 x = 2x - 3

36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0

37. 2 * 2 2 x - 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x \u003d 0

38. 3 * 16 x + 2 * 81 x = 5 * 36 x

39. 3 * 4 2 x - 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0

40. 6 * 4 x - 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0

41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 - 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2

42. 4x + 3x -1 = 4x -1 + 3x +2

44. 7 x -5 * - 49 * + 3 * 7 x -5 = 147

45. 3 * 2 x +1 +2 * 5 x -2 = 5 x + 2 x -2

47. 0,125 * 2 -4x-16 \u003d

51. (0,2) x + 0,5 = (0,04) x

53,32 (x + 8) (x-4) \u003d 0,25 *

54. 5x+1 = 5x-1

55. 7 x + 1 - 7 x + 2 * 7 x-1 - 14 * 7 x-2 \u003d 48

56. 3 2x-1 - 9 x + = 675

57. 5 2x-1 + 5 x + 1 = 250

58. – 5 * + 4 = 0

59. 2 2+x + 2 2-x = 17

60. 2 x + 1 * 5 x \u003d 10 x + 1 * 5 x + 2

61. 2 x * 5 x-1 = 200

64. 7 x + 1 + 3 * 7 x \u003d 3 x + 2 + 3 x

65. 9 x - 5 x - 3 2x * 15 + 5 x + 1 * 3 = 0

66. 25 x - 7 x - 7 * 5 2x + 1 + 5 * 7 x + 1 \u003d 0

67. 9 x + 6 x - 2 * 4 x \u003d 0

68. 4 * 2 2x - 6 x \u003d 18 * 9 x

69. 4 x \u003d 2 x 10 x + 3 x 25 x

70. 64 * 9 -x - 84 * 12 -x + 27 * 16 -x \u003d 0

72. 8 x + 8 = 3 * 4 x + 3 * 2 x + 1

73. 3 -12x-1 - 9 -6x-1 - 27 -4x-1 + 81 1-3x \u003d 2192

Išvada

Apibendrinant galima padaryti tokias išvadas:

1, eksponentinės lygtys domina studentus. Sprendžiant eksponentines lygtis, lavinami sisteminimo, loginio mąstymo įgūdžiai renkantis teisingas metodas sprendimus, didina kūrybiškumą ir protinius gebėjimus.

2. Kiekvienam lygčių tipui gali kilti sunkumų nustatant sprendimo metodą.

Algebros eigoje ir analizės pradžioje USE užduotyse dažnai randamos eksponentinės lygtys. Pamokose šiai temai nagrinėti skiriama mažai laiko, vadovėliuose pateikti ne visi eksponentinių lygčių sprendimo būdai, pateikiama nedaug pavyzdžių savarankiškam sprendimui. Todėl šis vadovas padės mokiniams labiau įsigilinti į sprendimą, įsisavinti šios temos programinę medžiagą, kad būtų sėkmingai išlaikytas bendrojo lavinimo mokyklos kurso egzaminas raštu, taip pat tiems, kurie nori išlaikyti egzaminą.

Literatūra

Matematika lentelėse ir diagramose. Moksleiviams ir stojantiesiems. Sankt Peterburgas, Victoria Plus LLC, 2004, 224 p.

Matematika. Vieningo valstybinio egzamino kontrolinė matavimo medžiaga 2004 m. M .: Rusijos švietimo ministerijos testavimo centras, 2004 m.

Matematikos mokymo užduočių ir pratimų sistema / A.Ya. Simonovas, D.S. Bakajevas, A.G. Epelman ir kiti - M .: Švietimas, 1991. -208 p.

Ruošiamės vieningam valstybiniam egzaminui. Matematika / J1.0. Deniščeva, E. M. Boychenko, Yu.A. Glazkovas ir kiti – 2 leid., stereotipas. - M.: Bustard, 2004, - 120 p.

Lappo L.D., Popovas M.A. Matematika. Tipiškas testo užduotys: Mokomasis ir praktinis vadovas / L.D. Lappo, M.A. Popovas. - M.: Leidykla "Egzaminas", 2004 - 48 p.

Vieningas valstybinis egzaminas: matematika: 2004 - 2005: Kontrolinis. matai, medžiagos / L. O. Deniščeva, G.K. Bezrukova, E.M. Boychenko ir kiti; red. G.S. Kovaleva; M - švietime ir moksle Ros. Federacija. Federalinis. švietimo ir mokslo srities priežiūros tarnyba. - M. : Švietimas, 2005. - 80 p.

Matematika. Treniruotės NAUDOTI testai 2004 - 2005 / T.A. Koreškova, V.V. Mirošinas, N.V. Ševelevas. - M.6 Ed - in Eksmo, 2005. - 80 p. (Pasiruošimas egzaminui)

a) Išspręskite lygtį: .

b) Nurodykite atkarpai priklausančias šios lygties šaknis.

Problemos sprendimas

Ši pamoka parodo, kaip teisingai panaudoti pakaitalą eksponentinėje lygtyje, kaip išspręsti paprasčiausią trigonometrinę lygtį ir nustatyti jos šaknis, priklausančias tam tikram intervalui. Pirmoji uždavinio dalis yra eksponentinės lygties sprendimas. Tam atliekamas pakeitimas ir gaunama trupmeninė racionali lygtis, kurios sprendimas galimas keliais būdais: redukcija į kvadratinę lygtį arba atranka. IN Ši byla abu būdai yra priimtini, nes lygtis nėra labai sudėtinga. Gavę šaknis, atliekame atvirkštinį keitimą ir gauname dvi paprastas trigonometrines lygtis formos sina=t. Šios lygties šaknys randamos standartinėmis formulėmis. Norint nustatyti papildomas šaknis tirpale, optimaliausia yra naudoti vienetinį apskritimą, kuriame pažymėtos lygties šaknys. Taip gauname bendras sprendimas lygtys – atsakymas į uždavinio a) punktą. Norint atsakyti į b) punktą, būtina teisingai atsižvelgti į tarpą ir apskaičiuoti šaknis. Šiuo atveju tai padaryti labai paprasta, nes nesunku pažymėti visas šaknis vienetiniame apskritime ir rasti jų reikšmę naudojant sinuso ir kosinuso periodiškumą (neturėtume pamiršti, kad sinuso ir kosinuso periodas yra 2π). Gautas sprendimas.

Šio uždavinio sprendimas rekomenduojamas 10 klasės mokiniams, studijuojant temą „Trigonometrinės lygtys“ („Arcsine“, „Arcsine ir lygties sina = t sprendimas“); 11 klasių mokiniams, studijuojant temą „Eksponentinės ir logaritminės funkcijos“ (“ Eksponentinė funkcija, jo savybės. Paprasčiausios eksponentinės lygtys“, „Eksponentinės lygtys“). Ruošiantis egzaminui pamoka rekomenduojama kartojant temas „Trigonometrinės lygtys“, „Rodinio ir logaritminės funkcijos“.