Lineāro nevienādību sistēmu grafiskā atrisināšana. Lineārās nevienādības. Lineāro nevienādību sistēmas 3 atrisina nevienādību sistēmu

Šajā nodarbībā mēs turpināsim apsvērt racionālās nevienādības un to sistēmas, proti: lineāro un kvadrātisko nevienādību sistēmu. Vispirms atcerēsimies, kas ir divu lineāru nevienādību sistēma ar vienu mainīgo. Tālāk mēs aplūkojam kvadrātisko nevienādību sistēmu un metodi to risināšanai, izmantojot konkrētu problēmu piemēru. Sīkāk apskatīsim tā saukto jumta metodi. Mēs analizēsim tipiskus sistēmu risinājumus un nodarbības beigās aplūkosim sistēmas ar lineārām un kvadrātiskām nevienādībām risinājumu.

2. Elektroniskais izglītības un metodiskais komplekss 10.-11.klašu sagatavošanai iestājeksāmeniem datorzinātnēs, matemātikā, krievu valodā ().

3. Izglītības centrs "Izglītības tehnoloģija" ().

4. College.ru sadaļa par matemātiku ().

1. Mordkovičs A.G. uc Algebra 9. klase: uzdevumu burtnīca izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.58 (a, c); 62; 63.

tiek izsaukta jebkura divu vai vairāku lineāru nevienādību kopa, kas satur vienu un to pašu nezināmo lielumu

Šeit ir šādu sistēmu piemēri:

Mūsu risinājums ir divu staru krustošanās intervāls. Tāpēc šīs nevienlīdzības risinājums ir viss X atrodas no diviem līdz astoņiem.

Atbilde: X

Šāda veida nevienādību sistēmas risinājuma kartēšanas pielietojumu dažreiz sauc jumta metode.

Definīcija: Divu kopu krustpunkts BET Un IN tiek saukta par šādu trešo kopu, kurā ietilpst visi elementi, kas iekļauti un iekļauti BET un iekšā IN. Tā ir patvaļīgas dabas kopu krustpunkta nozīme. Tagad mēs detalizēti apsveram skaitliskās kopas, tāpēc, atrodot lineārās nevienādības, šādas kopas ir stari - līdzvirziena, pretēji vērsti utt.

Noskaidrosim pa īstam piemēri lineāro nevienādību sistēmu atrašana, kā noteikt sistēmā iekļauto individuālo nevienādību risinājumu kopu krustpunktu.

Aprēķināt nevienlīdzību sistēma:

Novietosim divas spēka līnijas vienu zem otras. Uz augšu mēs ievietojam šīs vērtības X, kas izpilda pirmo nevienādību x>7 , un apakšā - kas darbojas kā otrās nevienlīdzības risinājums x>10 Mēs korelējam skaitļu līniju rezultātus, uzzinot, ka abas nevienādības tiks apmierinātas x>10.

Atbilde: (10;+∞).

Mēs to darām pēc analoģijas ar pirmo paraugu. Atzīmējiet visas šīs vērtības uz noteiktās skaitliskās ass X kuriem pastāv pirmais sistēmas nevienlīdzība, un uz otrās skaitliskās ass, kas atrodas zem pirmās, visas šīs vērtības X, kurai ir apmierināta sistēmas otrā nevienādība. Salīdzināsim šos divus rezultātus un noteiksim, ka abas nevienādības vienlaikus tiks izpildītas visām vērtībām X kas atrodas no 7 līdz 10, ņemot vērā zīmes, iegūstam 7<x≤10

Atbilde: (7; 10].

Tālāk tiek atrisināti tādā pašā veidā. nevienlīdzības sistēmas.

Nevienlīdzību sistēma.
1. piemērs. Atrodiet izteiksmes tvērumu
Risinājums. Zem kvadrātsaknes zīmes ir jābūt nenegatīvam skaitlim, kas nozīmē, ka vienlaikus ir jāpastāv divām nevienādībām: Šādos gadījumos problēma tiek reducēta uz nevienlīdzību sistēmas atrisināšanu

Bet ar šādu matemātisko modeli (nevienādību sistēmu) mēs vēl neesam tikušies. Tas nozīmē, ka mēs vēl nevaram pabeigt piemēra risinājumu.

Nevienādības, kas veido sistēmu, tiek apvienotas ar cirtainu iekava (tas pats ir vienādojumu sistēmās). Piemēram, ieraksts

nozīmē, ka nevienādības 2x - 1 > 3 un 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Dažkārt nevienlīdzību sistēma tiek uzrakstīta kā dubultnevienādība. Piemēram, nevienlīdzību sistēma

var uzrakstīt kā dubultu nevienādību 3<2х-1<11.

9. klases algebras kursā aplūkosim tikai divu nevienādību sistēmas.

Apsveriet nevienlīdzību sistēmu

Varat izvēlēties vairākus tā konkrētos risinājumus, piemēram, x = 3, x = 4, x = 3,5. Patiešām, ja x = 3, pirmā nevienādība ir formā 5 > 3, bet otrā - formā 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Tajā pašā laikā vērtība x = 5 nav risinājums nevienlīdzību sistēmai. Ja x = 5, pirmā nevienādība ir formā 9 > 3 - pareizā skaitliskā nevienādība, bet otrā - formā 13< 11- неверное числовое неравенство .
Atrisināt nevienlīdzību sistēmu nozīmē atrast visus tās konkrētos risinājumus. Ir skaidrs, ka šāda minēšana, kā parādīts iepriekš, nav metode nevienlīdzību sistēmas atrisināšanai. Nākamajā piemērā mēs parādīsim, kā parasti strīdas, risinot nevienlīdzību sistēmu.

3. piemērs Atrisiniet nevienādību sistēmu:

Risinājums.

bet) Atrisinot sistēmas pirmo nevienādību, atrodam 2x > 4, x > 2; atrisinot otro sistēmas nevienādību, atrodam Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Atrisinot sistēmas pirmo nevienādību, atrodam x > 2; atrisinot otro sistēmas nevienādību, mēs atklājam Šīs spraugas atzīmējam uz vienas koordinātu līnijas, pirmajai spraugai izmantojot augšējo atstarpi, bet otrajai – apakšējo (23. att.). Nevienādību sistēmas atrisinājums būs sistēmas nevienādību atrisinājumu krustpunkts, t.i. intervāls, kurā abas lūkas sakrīt. Apskatāmajā piemērā mēs iegūstam staru

iekšā) Atrisinot sistēmas pirmo nevienādību, atrodam x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Vispārināsim aplūkotajā piemērā veikto argumentāciju. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina nevienlīdzību sistēma

Lai, piemēram, intervāls (a, b) ir nevienādības fx 2 > g (x) atrisinājums, un intervāls (c, d) ir nevienādības f 2 (x) > s 2 (x) risinājums. ). Šīs spraugas atzīmējam uz vienas koordinātu līnijas, pirmajai spraugai izmantojot augšējo, bet otrajai – apakšējo (25. att.). Nevienādību sistēmas atrisinājums ir sistēmas nevienādību atrisinājumu krustpunkts, t.i. intervāls, kurā abas lūkas sakrīt. Uz att. 25 ir intervāls (s, b).

Tagad mēs varam viegli atrisināt nevienādību sistēmu, ko ieguvām iepriekš, 1. piemērā:

Atrisinot sistēmas pirmo nevienādību, atrodam x > 2; atrisinot sistēmas otro nevienādību, atrodam x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Protams, nevienlīdzību sistēmai nav jāsastāv no lineārām nevienādībām, kā tas ir bijis līdz šim; var rasties jebkura racionāla (un ne tikai racionāla) nevienlīdzība. Tehniski darbs ar racionālu nelineāro nevienādību sistēmu, protams, ir grūtāks, taču nekas principiāli jauns nav (salīdzinot ar lineāro nevienādību sistēmām).

4. piemērs Atrisiniet nevienādību sistēmu

Risinājums.

1) Atrisiniet nevienlīdzību, kas mums ir
Ciparu rindā atzīmējiet punktus -3 un 3 (27. att.). Tie sadala līniju trīs intervālos, un katrā intervālā izteiksme p (x) = (x - 3) (x + 3) saglabā nemainīgu zīmi - šīs zīmes ir norādītas attēlā. 27. Mūs interesē intervāli, kuros ir izpildīta nevienādība p(x) > 0 (tie ir iekrāsoti 27. att.), un punkti, kuros ir izpildīta vienādība p(x) = 0, t.i. punkti x \u003d -3, x \u003d 3 (tie ir atzīmēti 2. 7. attēlā ar tumšiem apļiem). Tādējādi attēlā. 27 parādīts ģeometriskais modelis pirmās nevienādības atrisināšanai.

2) Atrisiniet nevienlīdzību, kas mums ir
Ciparu rindā atzīmējiet punktus 0 un 5 (28. att.). Viņi sadala līniju trīs intervālos un katrā intervālā izteiksmi<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (ēnots 28. att.), un punkti, kuros ir izpildīta vienādība g (x) - O, t.i. punkti x = 0, x = 5 (tie 28. att. apzīmēti ar tumšiem apļiem). Tādējādi attēlā. 28 parādīts ģeometriskais modelis sistēmas otrās nevienādības atrisināšanai.

3) Sistēmas pirmajai un otrajai nevienādībai atrastos atrisinājumus atzīmējam uz vienas koordinātu taisnes, pirmās nevienādības atrisinājumiem izmantojot augšējo, bet otrās – apakšējo (29. att.). Nevienādību sistēmas atrisinājums būs sistēmas nevienādību atrisinājumu krustpunkts, t.i. intervāls, kurā abas lūkas sakrīt. Šāds intervāls ir segments.

5. piemērs Atrisiniet nevienādību sistēmu:

Risinājums:

bet) No pirmās nevienādības atrodam x >2. Apsveriet otro nevienlīdzību. Kvadrātveida trinomija x 2 + x + 2 nav reālu sakņu, un tā vadošais koeficients (koeficients pie x 2) ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka visiem x ir izpildīta nevienādība x 2 + x + 2>0, un tāpēc sistēmas otrajai nevienādībai nav atrisinājumu. Ko tas nozīmē nevienlīdzības sistēmai? Tas nozīmē, ka sistēmai nav risinājumu.

b) No pirmās nevienādības mēs atrodam x > 2, un otrā nevienādība attiecas uz visām x vērtībām. Ko tas nozīmē nevienlīdzības sistēmai? Tas nozīmē, ka tā risinājumam ir forma x>2, t.i. sakrīt ar pirmās nevienādības atrisinājumu.

Atbilde:

a) nav lēmumu; b) x>2.

Šis piemērs ir ilustrācija tālāk norādītajam noderīgajam

1. Ja vairāku nevienādību sistēmā ar vienu mainīgo vienai nevienādībai nav atrisinājumu, tad sistēmai atrisinājumu nav.

2. Ja divu nevienādību sistēmā ar vienu mainīgo ir izpildīta viena nevienādība jebkurai mainīgā vērtībai, tad sistēmas risinājums ir sistēmas otrās nevienādības risinājums.

Noslēdzot šo sadaļu, atgriezīsimies pie tās sākumā dotā iecerētā skaitļa problēmas un atrisināsim to, kā saka, pēc visiem noteikumiem.

2. piemērs(skat. 29. lpp.). Iecerēts dabiskais skaitlis. Ir zināms, ka, ja iedomātā skaitļa kvadrātam pievieno 13, tad summa būs lielāka par iecerētā skaitļa un skaitļa 14 reizinājumu. Ja iedomātā skaitļa kvadrātam pievieno 45, tad summa jābūt mazākam par iecerētā skaitļa un skaitļa 18 reizinājumu. Kāds skaitlis ir iecerēts?

Risinājums.

Pirmais solis. Matemātiskā modeļa sastādīšana.
Paredzētajam skaitlim x, kā redzējām iepriekš, ir jāapmierina nevienlīdzību sistēma

Otrā fāze. Darbs ar sastādīto matemātisko modeli Pārveidosim sistēmas pirmo nevienādību formā
x2- 14x+ 13 > 0.

Atradīsim trīsnoma saknes x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Izmantojot parabolu y \u003d x 2 - 14x + 13 (30. att.), secinām, ka nevienādība interese par mums ir apmierināta par x< 1 или x > 13.

Sistēmas otro nevienādību pārveidosim formā x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Nevienlīdzību sistēma Ir ierasts izsaukt jebkuru divu vai vairāku nevienādību kopu, kas satur nezināmu lielumu.

Šo formulējumu skaidri ilustrē, piemēram, šādi nevienlīdzību sistēmas:

Atrisiniet nevienādību sistēmu - nozīmē atrast visas nezināmā mainīgā vērtības, kurām tiek realizēta katra sistēmas nevienādība, vai pierādīt, ka tādas nav .

Tātad katram individuāli sistēmas nevienlīdzības aprēķināt nezināmo mainīgo. Turklāt no iegūtajām vērtībām atlasa tikai tās, kas ir patiesas gan pirmajai, gan otrajai nevienādībai. Tāpēc, aizstājot izvēlēto vērtību, abas sistēmas nevienādības kļūst pareizas.

Analizēsim vairāku nevienādību risinājumu:

Novietojiet vienu zem otra skaitļu līniju pāra; ievietojiet vērtību augšpusē x, saskaņā ar kuru pirmā nevienādība o ( x> 1) kļūst patiess, un apakšā - vērtība X, kas ir otrās nevienādības ( X> 4).

Salīdzinot datus par skaitļu līnijas, ņemiet vērā, ka risinājums abiem nevienlīdzības gribu X> 4. Atbilde, X> 4.

2. piemērs

Aprēķinot pirmo nevienlīdzība mēs iegūstam -3 X< -6, или x> 2, otrais - X> -8 vai X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, saskaņā ar kuru pirmais sistēmas nevienlīdzība, un apakšējā skaitļa rindā visas šīs vērtības X, saskaņā ar kuru tiek realizēta otrā sistēmas nevienādība.

Salīdzinot datus, mēs atklājam, ka abi nevienlīdzības tiks ieviesta visām vērtībām X vieta no 2 līdz 8. Vērtību kopas X apzīmēt dubultā nevienlīdzība 2 < X< 8.

3. piemērs Atradīsim

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Nevienādību sistēmas. Risinājumu piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 9. klasei
Interaktīvs mācību ceļvedis 9. klasei "Noteikumi un vingrinājumi ģeometrijā"
Elektroniskā mācību grāmata "Saprotamā ģeometrija" 7.-9.klasei

Nevienlīdzību sistēma

Puiši, jūs esat pētījuši lineārās un kvadrātiskās nevienlīdzības, iemācījušies risināt problēmas par šīm tēmām. Tagad pāriesim pie jauna matemātikas jēdziena – nevienlīdzību sistēmas. Nevienādību sistēma ir līdzīga vienādojumu sistēmai. Vai atceries vienādojumu sistēmas? Septītajā klasē mācījāties vienādojumu sistēmas, mēģiniet atcerēties, kā tās atrisinājāt.

Ieviesīsim nevienlīdzību sistēmas definīciju.
Vairākas nevienādības ar kādu mainīgo x veido nevienādību sistēmu, ja jāatrod visas x vērtības, kurām katra no nevienādībām veido patiesu skaitlisko izteiksmi.

Jebkura x vērtība, kuru katra nevienādība tiek novērtēta ar derīgu skaitlisku izteiksmi, ir nevienlīdzības risinājums. To var saukt arī par privātu lēmumu.
Kas ir privāts risinājums? Piemēram, atbildē saņēmām izteiksmi x>7. Tad x=8 vai x=123, vai kāds cits skaitlis, kas lielāks par septiņiem, ir konkrēts risinājums, un izteiksme x>7 ir kopīgs lēmums. Vispārējo risinājumu veido konkrētu risinājumu kopums.

Kā mēs apvienojām vienādojumu sistēmu? Tas ir pareizi, cirtaini lencēm, tāpēc viņi dara to pašu ar nevienlīdzību. Apskatīsim nevienādību sistēmas piemēru: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ja nevienādību sistēma sastāv no identiskām izteiksmēm, piemēram, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Tātad, ko nozīmē rast risinājumu nevienlīdzības sistēmai?
Nevienlīdzības risinājums ir nevienlīdzības daļēju risinājumu kopums, kas apmierina abas sistēmas nevienlīdzības vienlaikus.

Mēs rakstām nevienādību sistēmas vispārīgo formu kā $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Ar $X_1$ apzīmēsim nevienādības f(x)>0 vispārīgo atrisinājumu.
$X_2$ ir nevienādības g(x)>0 vispārīgais risinājums.
$X_1$ un $X_2$ ir konkrētu risinājumu kopa.
Nevienādību sistēmas risinājums būs skaitļi, kas pieder gan $X_1$, gan $X_2$.
Apskatīsim darbības komplektos. Kā mēs varam atrast kopas elementus, kas vienlaikus pieder abām kopām? Pareizi, šim nolūkam ir krustojuma darbība. Tātad mūsu nevienlīdzības risinājums būs kopa $A= X_1∩ X_2$.

Nevienlīdzību sistēmu risinājumu piemēri

Apskatīsim nevienlīdzību sistēmu risināšanas piemērus.

Atrisiniet nevienādību sistēmu.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Risinājums.
a) Atrisiniet katru nevienādību atsevišķi.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1 $.
$5x-10
Mēs atzīmējam savus intervālus uz vienas koordinātu līnijas.

Sistēmas risinājums būs mūsu intervālu krustpunkta segments. Nevienlīdzība ir stingra, tad segments būs atvērts.
Atbilde: (1;3).

B) Mēs arī risinām katru nevienlīdzību atsevišķi.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 ASV dolāri.
$-x-4 -5 $.


Sistēmas risinājums būs mūsu intervālu krustpunkta segments. Otrā nevienlīdzība ir stingra, tad segments būs atvērts kreisajā pusē.
Atbilde: (-5; 5].

Apkoposim to, ko esam iemācījušies.
Pieņemsim, ka jāatrisina nevienādību sistēma: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Tad intervāls ($x_1; x_2$) ir pirmās nevienādības risinājums.
Intervāls ($y_1; y_2$) ir otrās nevienādības risinājums.
Nevienādību sistēmas risinājums ir katras nevienlīdzības risinājumu krustpunkts.

Nevienlīdzību sistēmas var sastāvēt ne tikai no pirmās kārtas nevienādībām, bet arī no jebkura cita veida nevienlīdzībām.

Svarīgi noteikumi nevienlīdzību sistēmu risināšanai.
Ja vienai no sistēmas nevienādībām nav atrisinājumu, tad visai sistēmai risinājumu nav.
Ja viena no nevienādībām ir izpildīta jebkurai mainīgā vērtībai, tad sistēmas risinājums būs otras nevienādības risinājums.

Piemēri.
Atrisiniet nevienādību sistēmu:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Risinājums.
Atrisināsim katru nevienlīdzību atsevišķi.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Atrisināsim otro nevienlīdzību.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Nevienlīdzības risinājums ir plaisa.
Uzzīmēsim abus intervālus uz vienas taisnes un atrodam krustpunktu.
Intervālu krustpunkts ir segments (4; 6]).
Atbilde: (4;6].

Atrisiniet nevienādību sistēmu.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Risinājums.
a) Pirmajai nevienādībai ir risinājums x>1.
Atradīsim diskriminantu otrajai nevienlīdzībai.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Atgādinām likumu, kad vienai no nevienādībām nav atrisinājumu, tad visai sistēmai nav atrisinājumu.
Atbilde: Risinājumu nav.

B) Pirmajai nevienādībai ir risinājums x>1.
Otrā nevienādība ir lielāka par nulli visiem x. Tad sistēmas risinājums sakrīt ar pirmās nevienādības atrisinājumu.
Atbilde: x>1.

Problēmas par nevienlīdzību sistēmām patstāvīgam risinājumam

Atrisiniet nevienādību sistēmas:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36