Peatüki lõpetuseks käsitleme küsimust: kuhu omistada arvutikatse ja arvutisimulatsioon ( arvuti simulatsioonid) !

Algselt ilmus arvutisimulatsioon meteoroloogiasse ja tuumafüüsikasse, kuid tänapäeval on selle rakendusala teaduses ja tehnoloogias äärmiselt lai. Sellega seoses on väga näitlik näide "globaalsest modelleerimisest", kus maailma vaadeldakse koosmõjus olevate allsüsteemide kogumina: rahvastik, ühiskond, majandus, toiduainete tootmine, innovatsioonikompleks, Loodusvarad, elupaik, maailma riigid ja piirkonnad (esimene näide on 1972. aastal Rooma Klubile avaldatud aruanne "Kasvupiirangud"). Nende alamsüsteemide areng ja koostoime määravad maailma dünaamika.

Ilmselgelt on siin tegemist superkomplekssüsteemiga, millel on palju mittelineaarseid interaktsioone, mille jaoks ei saa luua VIO mudelitüüpi. Seetõttu toimige järgmiselt. Moodustatakse multidistsiplinaarne rühm, mis koosneb erinevatesse allsüsteemidesse kuuluvatest spetsialistidest. See rühm moodustab oma liikmete teadmiste põhjal suure hulga elementide ja suhete plokkskeemi. See plokkskeem teisendatakse matemaatiliseks arvutimudeliks, mis esindab modelleeritavat süsteemi. Seejärel viiakse läbi arvulised katsed arvutimudeliga, s.o. arvutieksperimendid, mis objektide ja protsesside mudelite loomise, silumise ja täitmise poolelt meenutavad tõelist keerulist eksperimenti.

Mõtte- ja arvutikatsete vahel on teatav analoogia. Arvutieksperimendi puhul on selle käigus välja töötatud arvutimudel FIE mudeli analoog vaimses FIE eksperimendis. Mõlemal juhul on eksperimentaaluuringud adekvaatse teoreetilise mudeli otsingu elemendiks. Selle otsingu käigus valitakse esimesel juhul FEC-id ja nendevahelised interaktsioonid (ja nende väärtus) ning teisel juhul elemendid ja seosed (ja nende väärtus). Sellest võrdlusest on ilmne, et mõlemal juhul on sellise eksperimentaalse tegevuse tulemusena võimalik uute teadmiste teke. See tähendab, et arvutimudelid vastavad nähtuse teoreetilistele taastuvenergia mudelitele ja arvutikatse on tööriist nende koostamiseks. Sel juhul eksperimenteeritakse mudeliga, mitte nähtusega (töö kohaselt on sama märgitud ka töödes).

Füüsikas ja teistes loodusteadustes võib "labori" nähtuste puhul reaalne eksperiment midagi muuta nähtuses endas ("ask it a question"). Kui sellest FIR-mudeli loomiseks piisab ja küsimus jääb vaid selle parameetrite täpsustamisest, siis sel juhul on arvutimudelil eelkirjeldatust triviaalsem rakendus, lahendus keerulised võrrandid, mis kirjeldab füüsilist või tehnilist süsteemi, ja parameetrite valik süsteemidele, mille jaoks on VIO mudel juba määratud. Seda juhtumit nimetatakse sageli "numbriliseks katseks".

Füüsika võtab aga arvesse ka nähtusi, mida tuleb enne laborisse paigutamist kvalitatiivselt uurida, näiteks tuumaenergia vabanemist või elementaarosakeste sündi. Sarnane olukord võib tekkida: 1) mõtteeksperimendi jaoks loetletud reaalse eksperimendi majandusliku või tehnilise keerukuse juhtudel, 2) PRI mudeli puudumisel, s.o. nähtuse teooria puudumine (nagu turbulentsete voolude puhul). Tuumafüüsikas ja osakeste füüsikas on meil esimene, kui mitte mõlemad juhtumid. Siin on olukord, mis sarnaneb "globaalse simulatsiooniga" ja alustame teoreetiliste mudelitega katsetamist arvutisimulatsioonide abil. Seetõttu pole üllatav, et arvutisimulatsioon ilmus tuumafüüsikasse väga varakult.

Niisiis, arvutikatse ja arvutimudelid mittetriviaalsel juhul, nagu "globaalse simulatsiooni" näites, vastavad vastavalt vaimse RES-eksperimendile ja nähtuse teoreetilistele RES-mudelitele.

Eksperiment on suhtlusvorm kahe poole – nähtuse ja teoreetilise mudeli – vahel. Põhimõtteliselt tähendab see kahe poolega manipuleerimise võimalust. Reaalse eksperimendi puhul toimub eksperimenteerimine nähtusega ning mentaalse ja arvutieksperimendi puhul, mida võib pidada mõttelise analoogiks, mudeliga. Kuid mõlemal juhul on eesmärgiks saada uusi teadmisi adekvaatse teoreetilise mudeli näol.

• Siia kuulub ka E. Winsbergi märkus: "Ei ole tõsi, et reaalne eksperiment manipuleerib alati ainult huvipakkuva objektiga. Tegelikult on nii reaalses eksperimendis kui ka simulatsioonis uuringus manipuleeritu vahel keeruline seos. ühelt poolt ja maailm, mis on uuringu eesmärk - teisalt ... Mendel näiteks manipuleeris hernestega, kuid oli huvitatud üldise pärilikkuse fenomeni uurimisest.

arvutikatse Süsteemimudeliga selle uurimise ja projekteerimise käigus tehakse teavet, et saada teavet vaadeldava objekti toimimisprotsessi tunnuste kohta. Arvutikatsete planeerimise põhiülesanne on ressursipiirangute (arvuti aeg, mälu jne) tingimustes saada uuritava süsteemi kohta vajalikku informatsiooni. Konkreetsete arvutikatsete kavandamisel lahendatavate ülesannete hulgas on näiteks modelleerimise arvutiaja kulu vähendamine, modelleerimistulemuste täpsuse ja usaldusväärsuse suurendamine, mudeli adekvaatsuse kontrollimine jne.

Mudelitega arvutikatsete tõhusus sõltub oluliselt katseplaani valikust, kuna just kava määrab arvutis arvutuste tegemise mahu ja korra, süsteemi simulatsiooni tulemuste kogumise ja statistilise töötlemise meetodid. . Seetõttu on mudeliga arvutikatsete kavandamise põhiülesanne sõnastatud järgmiselt: modelleerimisalgoritmi (programmi) kujul on vaja hankida teavet modelleerimisobjekti kohta minimaalse või piiratud masinaressursside kuluga. modelleerimisprotsessi rakendamine.

Arvutikatsete eeliseks looduslike katsete ees on võimalus katse tingimusi täielikult reprodutseerida uuritava süsteemi mudeliga. . Märkimisväärne eelis täismahuliste ees on arvutikatsete katkestamise ja jätkamise lihtsus, mis võimaldab kasutada järjestikuseid ja heuristlikke planeerimistehnikaid, mis ei pruugi olla teostatavad katsetes reaalsete objektidega. Arvutimudeliga töötades on alati võimalik katse katkestada ajaks, mis on vajalik tulemuste analüüsimiseks ja selle edasise käigu kohta otsuste tegemiseks (näiteks mudeli karakteristikute väärtuste muutmise vajaduse kohta).

Arvutikatsete miinuseks on see, et osade vaatluste tulemused sõltuvad ühe või mitme eelneva tulemustest ning seetõttu sisaldavad need vähem informatsiooni kui sõltumatud vaatlused.

Andmebaasiga seoses tähendab arvutieksperiment andmetega manipuleerimist vastavalt seatud eesmärgile, kasutades DBMS-i vahendeid. Eksperimendi eesmärgi saab kujundada lähtuvalt simulatsiooni üldisest eesmärgist ja arvestades konkreetse kasutaja nõudeid. Näiteks on olemas andmebaas "Dekanaat". Selle mudeli loomise üldine eesmärk on haridusprotsessi juhtimine. Kui on vaja saada infot õpilaste edenemise kohta, saab teha päringu, s.o. viige läbi katse soovitud teabe valimiseks.

DBMS-i keskkonna tööriistakomplekt võimaldab teil andmetega teha järgmisi toiminguid.

1) sorteerimine - andmete järjestamine mõne atribuudi järgi;

2) otsing (filtreerimine) - teatud tingimust rahuldavate andmete valimine;

3) arvutusväljade loomine - andmete teisendamine valemite alusel teisele vormile.

Infomudeli haldamine on lahutamatult seotud erinevate kriteeriumide väljatöötamisega andmete otsimiseks ja sortimiseks. Erinevalt pabertoimikukappidest, kus sorteerimine on võimalik ühe-kahe kriteeriumi järgi ning otsing toimub üldjuhul käsitsi – kaartide kaupa sorteerides võimaldavad arvutiandmebaasid erinevatele väljadele ja erinevatele otsingukriteeriumidele määrata mistahes sorteerimisvorme. Arvuti sorteerib või valib vajaliku info ilma ajakuluta vastavalt etteantud kriteeriumile.

Edukaks tööks infomudeliga võimaldavad andmebaasitarkvara keskkonnad luua arvutusvälju, milles algne info teisendatakse erinevale kujule. Näiteks semestri hinnete põhjal saab spetsiaalne sisseehitatud funktsioon arvutada õpilase GPA. Selliseid arvutatud välju kasutatakse kas lisainfona või otsingu ja sortimise kriteeriumidena.

Arvutikatse sisaldab kahte etappi: testimine (toimingute õigsuse kontrollimine) ja katse läbiviimine reaalsete andmetega.

Pärast arvutatud väljade ja filtrite valemite koostamist peate veenduma, et need töötavad õigesti. Selleks saab sisestada testkirjed, mille puhul on operatsiooni tulemus ette teada.

Arvutikatse lõppeb tulemuste väljastamisega analüüsiks ja otsustamiseks mugavas vormis. Üks arvutiteabe mudelite eeliseid on võimalus luua erinevaid väljundinformatsiooni esitusvorme, mida nimetatakse aruanneteks. Iga aruanne sisaldab teavet, mis vastab konkreetse katse eesmärgile. Arvutiaruannete mugavus seisneb selles, et need võimaldavad teil rühmitada teavet vastavalt etteantud kriteeriumidele, sisestada lõplikud väljad kirjete loendamiseks rühmade kaupa ja üldiselt kogu andmebaasi kohta ning seejärel kasutada seda teavet otsuse tegemiseks.

Keskkond võimaldab luua ja salvestada mitmeid tüüpilisi, sageli kasutatavaid aruandevorme. Mõne katse tulemuste põhjal saate luua ajutise aruande, mis kustutatakse pärast selle kopeerimist Tekstdokument või väljatrükke. Mõned katsed ei nõua üldse aruandlust. Näiteks kõrgendatud stipendiumi määramiseks tuleb valida edukaim üliõpilane. Selleks piisab, kui sorteerida semestri hinnete keskmise hinde järgi. Nõutav teave sisaldab esimest kannet õpilaste nimekirjas.

| Tunni planeerimine õppeaastaks | Modelleerimise põhietapid

2. õppetund
Modelleerimise põhietapid

Seda teemat uurides saate teada:

Mis on modelleerimine;
- mis võib olla modelleerimise prototüübiks;
- milline on modelleerimise koht inimtegevuses;
- millised on modelleerimise peamised etapid;
- mis on arvutimudel;
Mis on arvutikatse.

arvutikatse

Anda elu uutele disainiarendustele, tutvustada uut tehnilisi lahendusi tootmisse või katsetada uusi ideid, vajate katset. Katse on katse, mis viiakse läbi objekti või mudeliga. See seisneb teatud toimingute sooritamises ja selle kindlaksmääramises, kuidas eksperimentaalne valim neile toimingutele reageerib.

Koolis teete katseid bioloogia, keemia, füüsika, geograafia tundides.

Uute tootenäidiste katsetamisel ettevõtetes tehakse katseid. Tavaliselt kasutatakse selleks spetsiaalselt loodud seadistust, mis võimaldab teha katset laboritingimustes või tehakse reaalse toote endaga kõikvõimalikke katseid (täismahus katse). Näiteks seadme või sõlme tööomaduste uurimiseks asetatakse see termostaadi, külmutatakse spetsiaalsetes kambrites, testitakse vibratsioonistenditel, kukutatakse maha jne. Hea, kui tegemist on uue kella või tolmuimejaga - kaotus hävitamise ajal ei ole suur. Mis siis, kui see on lennuk või rakett?

Laboratoorsed ja täismahus katsed nõuavad suuri materjalikulusid ja aega, kuid nende tähtsus on sellegipoolest väga suur.

Arvutitehnoloogia arenguga on ilmunud uus ainulaadne uurimismeetod - arvutikatse. Paljudel juhtudel on arvutisimulatsiooniuuringud aidanud katseproove ja katsestendid, mõnikord isegi asendada. Arvutikatse läbiviimise etapp sisaldab kahte etappi: katseplaani koostamine ja uuringu läbiviimine.

Katseplaan

Katseplaan peaks selgelt kajastama mudeliga töötamise järjekorda. Sellise plaani esimene samm on alati mudeli testimine.

Testimine on konstrueeritud mudeli õigsuse kontrollimise protsess.

Test – lähteandmete kogum, mis võimaldab kindlaks teha mudeli ehituse õigsuse.

Saadud modelleerimistulemuste õigsuses veendumiseks on vaja: ♦ kontrollida mudeli koostamise väljatöötatud algoritmi; ♦ veenduge, et konstrueeritud mudel kajastaks õigesti originaali omadusi, mida simulatsioonis arvesse võeti.

Mudeli koostamise algoritmi õigsuse kontrollimiseks kasutatakse lähteandmete testkomplekti, mille lõpptulemus on eelnevalt teada või muul viisil ette määratud.

Näiteks kui kasutate modelleerimisel arvutusvalemeid, peate lähteandmete jaoks valima mitu valikut ja arvutama need "käsitsi". seda testülesanded. Kui mudel on üles ehitatud, siis testitakse samade sisenditega ja võrreldakse simulatsiooni tulemusi arvutustega saadud järeldustega. Kui tulemused ühtivad, siis on algoritm õigesti välja töötatud, kui mitte, siis tuleb otsida ja kõrvaldada nende lahknevuse põhjus. Testiandmed ei pruugi tegelikku olukorda üldse kajastada ega sisaldada semantilist sisu. Testimisprotsessi käigus saadud tulemused võivad aga sundida mõtlema algse teabe- või märgimudeli muutmisele, eelkõige selle selles osas, kus on kirjas semantiline sisu.

Veendumaks, et konstrueeritud mudel peegeldab originaali omadusi, mida simulatsioonis arvesse võeti, on vaja valida reaalsete lähteandmetega testnäide.

Uuringute läbiviimine

Pärast testimist, kui olete konstrueeritud mudeli õigsuses kindel, võite jätkata otse uuringuga.

Plaan peaks sisaldama katset või katsete seeriat, mis vastavad simulatsiooni eesmärkidele. Iga katsega peab kaasnema arusaamine tulemustest, mis on aluseks modelleerimise tulemuste analüüsimisel ja otsuste tegemisel.

Arvutikatse ettevalmistamise ja läbiviimise skeem on näidatud joonisel 11.7.

Riis. 11.7. Arvutikatse skeem

Simulatsiooni tulemuste analüüs

Modelleerimise lõppeesmärk on teha otsus, mis tuleks välja töötada simulatsioonitulemuste igakülgse analüüsi põhjal. See etapp on otsustav – kas jätkate õppimist või lõpetate. Joonis 11.2 näitab, et tulemuste analüüsi faas ei saa eksisteerida iseseisvalt. Saadud järeldused aitavad sageli kaasa täiendavale katseseeriale ja mõnikord ka probleemi muutumisele.

Testide ja katsete tulemused on lahenduse väljatöötamise aluseks. Kui tulemused ei vasta ülesande eesmärkidele, tähendab see, et eelmistes etappides tehti vigu. See võib olla kas probleemi ebaõige püstitamine või infomudeli liialt lihtsustatud konstrueerimine või ebaõnnestunud modelleerimismeetodi või -keskkonna valik või tehnoloogiliste meetodite rikkumine mudeli koostamisel. Kui sellised vead tuvastatakse, tuleb mudelit parandada, st naasta ühte eelmistest etappidest. Protsessi korratakse seni, kuni katse tulemused vastavad simulatsiooni eesmärkidele.

Peaasi on meeles pidada, et tuvastatud viga on ka tulemus. Nagu vanasõna ütleb, õpitakse oma vigadest. Sellest kirjutas ka suur vene luuletaja A. S. Puškin:

Oh, kui palju imelisi avastusi meil on
Valmistage ette valgustusvaim
Ja kogemus, raskete vigade poeg,
Ja geenius, paradokside sõber,
Ja juhus, jumal on leiutaja...

Kontrollküsimused ja ülesanded

1. Millised on modelleerimise probleemiavalduse kaks peamist tüüpi.

2. G. Osteri tuntud "Probleemiraamatus" on järgmine probleem:

Väsimatult töötav kuri nõid muudab 30 printsessi röövikuteks päevas. Mitu päeva kulub tal aega, et muuta 810 printsessi röövikuteks? Mitu printsessi tuleks päevas röövikuteks muuta, et töö 15 päevaga tehtud saaks?
Millise küsimuse saab omistada tüübile "mis juhtub, kui ..." ja milline - "kuidas teha, et ..."?

3. Loetlege modellinduse tuntuimad eesmärgid.

4. Vormistage mänguline probleem G. Osteri "Probleemiraamatust":

Kahest üksteisest 27 km kaugusel asuvast putkast hüppasid korraga välja kaks jõhkrat koera. Esimene töötab kiirusega 4 km / h ja teine ​​- 5 km / h.
Kui kaua võitlus algab?

5. Nimetage võimalikult palju "kingapaari" objekti omadusi. Koostage objekti teabemudel erinevatel eesmärkidel:
■ matkajalatsite valik;
■ jalatsitele sobiva karbi valik;
■ kingahoolduskreemi ostmine.

6. Millised teismelise omadused on elukutse valiku soovituse jaoks olulised?

7. Miks kasutatakse arvutit simulatsioonis laialdaselt?

8. Nimetage teile teadaolevad arvutimodelleerimise tööriistad.

9. Mis on arvutikatse? Too näide.

10. Mis on mudeli testimine?

11. Milliseid vigu modelleerimisprotsessis ilmneb? Mida tuleks teha, kui avastatakse viga?

12. Mis on simulatsioonitulemuste analüüs? Milliseid järeldusi tavaliselt tehakse?

Avaleht > Loeng

LOENG

Teema: Arvutikatse. Simulatsiooni tulemuste analüüs

Uutele disainiarendustele elu andmiseks, uute tehniliste lahenduste toomiseks tootmisse või uute ideede katsetamiseks on vaja katset. Katse on katse, mis viiakse läbi objekti või mudeliga. See seisneb teatud toimingute sooritamises ja selle kindlaksmääramises, kuidas eksperimentaalne valim neile toimingutele reageerib. Koolis teete katseid bioloogia, keemia, füüsika, geograafia tundides. Uute tootenäidiste katsetamisel ettevõtetes tehakse katseid. Tavaliselt kasutatakse selleks spetsiaalselt loodud seadistust, mis võimaldab teha katset laboritingimustes või tehakse reaalse toote endaga kõikvõimalikke katseid (täismahus katse). Näiteks seadme või sõlme tööomaduste uurimiseks asetatakse see termostaadi, külmutatakse spetsiaalsetes kambrites, katsetatakse vibratsioonistenditel, kukutatakse maha jne. Hea, kui tegu on uue kella või tolmuimejaga – ei ole. suur kaotus hävitamisel. Ja kui lennuk või rakett? Laboratoorsed ja täismahus katsed nõuavad suuri materjalikulusid ja aega, kuid nende väärtus on sellegipoolest väga suur. Arvutitehnoloogia arenguga on ilmunud uus ainulaadne uurimismeetod - arvutikatse. Paljudel juhtudel on arvutimudelite uuringud aidanud ja mõnikord isegi asendanud katseproove ja katsestendid. Arvutikatse läbiviimise etapp sisaldab kahte etappi: katseplaani koostamine ja uuringu läbiviimine. Katseplaan Katseplaan peaks selgelt kajastama mudeliga töötamise järjekorda. Sellise plaani esimene punkt on alati mudeli testimine. Testimine - protsessikontrollidkorrektsusehitatudmudelid. Test - komplektesialgneandmeid, lubadesmääratledasuurepärane-alatushoonemudelid. Saadud simulatsioonitulemuste õigsuses veendumiseks on vaja:

kontrollida väljatöötatud algoritmi mudeli ehitamiseks; veenduge, et konstrueeritud mudel kajastaks õigesti originaali omadusi, mida simulatsioonis arvesse võeti.

Mudeli koostamise algoritmi õigsuse kontrollimiseks kasutatakse lähteandmete testkomplekti, mille lõpptulemus on eelnevalt teada või muul viisil ette määratud. Näiteks kui kasutate modelleerimisel arvutusvalemeid, peate lähteandmete jaoks valima mitu valikut ja arvutama need "käsitsi". Need on testelemendid. Kui mudel on üles ehitatud, siis testitakse samade sisenditega ja võrreldakse simulatsiooni tulemusi arvutustega saadud järeldustega. Kui tulemused ühtivad, siis on algoritm õigesti välja töötatud, kui mitte, siis tuleb otsida ja kõrvaldada nende lahknevuse põhjus. Testiandmed ei pruugi tegelikku olukorda üldse kajastada ega sisaldada semantilist sisu. Testimisprotsessi käigus saadud tulemused võivad aga sundida mõtlema algse teabe- või märgimudeli muutmisele, eelkõige selle selles osas, kus on kirjas semantiline sisu. Veendumaks, et konstrueeritud mudel peegeldab originaali omadusi, mida simulatsioonis arvesse võeti, on vaja valida reaalsete lähteandmetega testnäide. Uuringu läbiviimine Pärast testimist, kui olete konstrueeritud mudeli õigsuses kindel, võite jätkata otse uuringu läbiviimisega. Plaan peaks sisaldama katset või katsete seeriat, mis vastavad simulatsiooni eesmärkidele. Iga katsega peab kaasnema arusaamine tulemustest, mis on aluseks modelleerimise tulemuste analüüsimisel ja otsuste tegemisel. Arvutikatse ettevalmistamise ja läbiviimise skeem on näidatud joonisel 11.7.

MUDELI TESTIMINE

EKSPERIMENT PLAAN

UURIMISE LÄBIVIIMINE

TULEMUSTE ANALÜÜS

Riis. 11.7. Arvutikatse skeem

Simulatsiooni tulemuste analüüs

Modelleerimise lõppeesmärk on otsuse tegemine, mis tuleks välja töötada modelleerimise tulemuste tervikliku analüüsi põhjal. See etapp on otsustav – kas jätkate õppimist või lõpetate. Joonis 11.2 näitab, et tulemuste analüüsi etapp ei saa eksisteerida iseseisvalt. Saadud järeldused aitavad sageli kaasa täiendavale katseseeriale ja mõnikord ka ülesande muutmisele. Lahenduse väljatöötamise aluseks on testimise ja katsete tulemused. Kui tulemused ei vasta ülesande eesmärkidele, tähendab see, et eelmistes etappides tehti vigu. See võib olla kas probleemi vale püstitus või infomudeli liialt lihtsustatud konstrueerimine või ebaõnnestunud meetodi või modelleerimiskeskkonna valik või tehnoloogiliste meetodite rikkumine mudeli koostamisel. Kui selliseid vigu leitakse, siis mudeli reguleerimine, see tähendab naasmist ühe eelneva sammu juurde. Protsessi korratakse seni, kuni katse tulemused vastavad simulatsiooni eesmärkidele. Peaasi on meeles pidada, et tuvastatud viga on ka tulemus. Nagu vanasõna ütleb, õpitakse oma vigadest. Sellest kirjutas ka suur vene poeet A. S. Puškin: Oh, kui palju imelisi avastusi valmistab meile ette valgustatuse ja kogemuse vaim, raskete vigade poeg, geenius, paradokside sõber ja juhus, leiutaja jumal. ..

Kontrollküsimusedjaülesandeid

Millised on probleemipüstituse modelleerimise kaks peamist tüüpi.

G. Osteri tuntud "Probleemiraamatus" on järgmine probleem:

Väsimatult töötav kuri nõid muudab 30 printsessi röövikuteks päevas. Mitu päeva kulub tal aega, et muuta 810 printsessi röövikuteks? Mitu printsessi tuleb päevas röövikuteks muuta, et 15 päeva jooksul tööga toime tulla? Millise küsimuse saab omistada tüübile "mis juhtub, kui ..." ja milline - "kuidas teha, et ..."?

Loetlege modellinduse tuntuimad eesmärgid. Vormistage mänguline probleem G. Osteri "Probleemiraamatust":

Kahest üksteisest 27 km kaugusel asuvast putkast hüppasid korraga välja kaks jõhkrat koera. Esimene töötab kiirusega 4 km / h ja teine ​​- 5 km / h. Kui kaua võitlus algab? Majad: §11.4, 11.5.

1. Info mõiste

   Dokument

   Maailm meie ümber on väga mitmekesine ja koosneb tohutust hulgast omavahel seotud objektidest. Et leida oma koht elus, sina varane lapsepõlv Koos oma vanematega ja seejärel õpetajatega õpite kõike seda mitmekesisust samm-sammult.

2. Toimetaja V. Zemskihh Toimetaja N. Fedorova Kunsttoimetaja R. Jatsko Küljendus T. Petrova Korrektorid M. Odinokova, M. Schukina bbk 65. 290-214

   Raamat

   Ш39 Organisatsioonikultuur ja juhtimine / Per. inglise keelest. toim. V. A. Spivak. - Peterburi: Peeter, 2002. - 336 lk: ill. - (sari "Juhtimise teooria ja praktika").

3. Haridus- ja metoodiline kompleks erialal: "Turundus" eriala: 080116 "Matemaatilised meetodid majanduses"

   Koolitus- ja metodoloogiakompleks

   Kutsetegevusala: majandusprotsesside ja -objektide analüüs ja modelleerimine mikro-, makro- ja globaalsel tasandil; majandus- ja matemaatiliste mudelite monitooring; majandussüsteemide prognoosimine, programmeerimine ja optimeerimine.