Kodu materjalid

Kompleksne eksponentsiaalvõrrand. eksponentsiaalvõrrandid

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.

Võrrandid, osa $C$

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut arvu, mida tähistatakse tähega, nimetatakse võrrandiks. Võrdlusmärgist vasakul olevat avaldist nimetatakse võrrandi vasakuks pooleks ja paremal asuvat avaldist võrrandi parempoolseks pooleks.

Keerukate võrrandite lahendamise skeem:

Enne võrrandi lahendamist on vaja kirja panna selle lubatud väärtuste pindala (ODV).
Lahenda võrrand.
Valige saadud võrrandi juurtest need, mis vastavad ODZ-le.

Erinevate avaldiste ODZ (avaldise all mõistame tähtnumbrilist kirjet):

1. Nimetaja avaldis ei tohi olla võrdne nulliga.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Juureavaldis ei tohi olla negatiivne.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Nimetaja radikaalavaldis peab olema positiivne.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Logaritmi jaoks: alamaritmiline avaldis peab olema positiivne; alus peab olema positiivne; alus ei saa olla võrdne ühega.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmilised võrrandid

Logaritmvõrrandid on võrrandid kujul $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kus $a$ on positiivne arv, mis erineb väärtusest $1$, ja võrrandid, mis taanduvad sellele kujule.

Logaritmvõrrandite lahendamiseks on vaja teada logaritmide omadusi: me võtame arvesse kõiki logaritmide omadusi, kui $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - mis tahes reaalarv.

1. Mis tahes reaalarvude $m$ ja $n$ korral on võrdsused tõesed:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Korrutise logaritm võrdub iga teguri logaritmide summaga samas baasis.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Jagatise logaritm võrdub lugeja ja nimetaja logaritmide erinevusega samal alusel

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kahe logaritmi korrutamisel saate nende aluseid vahetada

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, kui $a, b, c$ ja $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kus $a, b, c > 0, a≠1$

6. Valem uude põhja kolimiseks

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Eelkõige juhul, kui on vaja vahetada alust ja alamaritmilist avaldist

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Logaritmilisi võrrandeid on mitut tüüpi:

Lihtsamad logaritmvõrrandid: $log_(a)x=b$. Seda tüüpi võrrandite lahendus tuleneb logaritmi definitsioonist, s.o. $x=a^b$ ja $x > 0$

Esitagem võrrandi mõlemad pooled logaritmi kujul baasis $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Kui logaritmid on samas baasis võrdsed, siis on võrdsed ka alaaritmilised avaldised.

Vastus: $x = $8

Võrrandid kujul: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised ja võtame arvesse ODZ-d:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised

Viime kõik liikmed võrrandi vasakule poole ja anname sarnased terminid

Kontrollime leitud juuri vastavalt tingimustele $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Teise võrratuse asendamisel ei vasta juur $x=4$ tingimusele, seega on tegemist kõrvalise juurega

Vastus: $x=-3$

Muutuv asendusmeetod.

Selle meetodi puhul vajate:

Kirjutage ODZ võrrand.
Vastavalt logaritmide omadustele veenduge, et võrrandis saadakse samad logaritmid.
Asenda $log_(a)f(x)$ mis tahes muutujaga.
Lahendage uue muutuja võrrand.
Naaske 3. sammu juurde, asendage muutuja asemel väärtus ja hankige lihtsaim võrrand kujul: $log_(a)x=b$
Lahendage kõige lihtsam võrrand.
Pärast logaritmilise võrrandi juurte leidmist on vaja need panna punkti 1 ja kontrollida ODZ tingimust.

Lahendage võrrand $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Kirjutame ODZ võrrandid:

$\table\(\ x>0,\text"sest see on juure ja logaritmi märgi all";\ √x≠1→x≠1;$

2. Teeme logaritmid baasile $2$, selleks kasutame teisel liikmel uuele alusele ülemineku reeglit:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Muutuja t suhtes saame murdosa - ratsionaalvõrrandi

Tahandagem kõik terminid ühisele nimetajale $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Murd on null, kui lugeja null, ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Saadud ruutvõrrandi lahendame Vieta teoreemi abil:

6. Läheme tagasi 3. sammu juurde, teeme pöördasenduse ja saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Võtame võrrandite parempoolsete osade logaritmi

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Võrdsusta sublogaritmilised avaldised

$√x=2$, $√x=4$

Juurest vabanemiseks paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Asendame punktis 1 oleva logaritmilise võrrandi juured ja kontrollime ODZ seisukorda.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Esimene juur vastab ODZ-le.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Teine juur rahuldab ka DDE-d.

Vastus: 4 dollarit; 16 dollarit

Võrrandid kujul $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Sellised võrrandid lahendatakse uue muutuja sisseviimisega ja tavapärasele ruutvõrrandile üleminekuga. Pärast võrrandi juurte leidmist on vaja need valida, võttes arvesse ODZ-d.

Murdratsionaalvõrrandid

Kui murdosa on null, siis on lugeja null ja nimetaja ei ole null.
Kui vähemalt üks osa ratsionaalsest võrrandist sisaldab murdosa, nimetatakse võrrandit murdratsionaalarvuks.

Murdratsionaalvõrrandi lahendamiseks vajate:

Leidke muutuja väärtused, mille puhul võrrandil pole mõtet (ODV)
Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja;
Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga;
Lahendage saadud täisvõrrand;
Jäta selle juurtest välja need, mis ei vasta ODZ tingimusele.

Kui võrrandisse on kaasatud kaks murdosa ja lugejad on nende võrdsed avaldised, siis saab nimetajaid omavahel võrdsustada ja saadud võrrandit lahendada lugejatele tähelepanu pööramata. AGA arvestades kogu algse võrrandi ODZ-d.

eksponentsiaalvõrrandid

Eksponentvõrrand on võrrand, mille eksponendis sisaldub tundmatu.

Otsustades eksponentsiaalvõrrandid Kasutatakse kraadide omadusi, meenutagem mõnda neist:

1. Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus samaks ja astendajad liidetakse.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus samaks ja näitajad lahutatakse

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Kraadi tõstmisel astmeni jääb alus samaks ja eksponendid korrutatakse

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Murru tõstmisel astmeni tõstetakse lugeja ja nimetaja selle astmeni

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Mis tahes aluse tõstmisel nullastendajani on tulemus võrdne ühega

7. Mis tahes negatiivse eksponendi alust saab esitada sama positiivse astendaja alusena, muutes aluse asukohta murdosa joone suhtes

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikaali (juur) saab esitada astmena murdosaastendajaga

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentvõrrandite tüübid:

1. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid:

a) Kuju $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a >0, a≠1, x$ on tundmatu. Selliste võrrandite lahendamiseks kasutame astmete omadust: sama alusega astmed ($a >0, a≠1$) on võrdsed ainult siis, kui nende eksponendid on võrdsed.

b) Võrrand kujul $a^(f(x))=b, b>0$

Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja võtta mõlemad logaritmi osad baasis $a$, selgub

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Aluse reguleerimise meetod.

3. Muutuja faktoriseerimise ja muutmise meetod.

Selle meetodi puhul on kogu võrrandis vastavalt kraadide omadusele vaja astmed teisendada üheks kujule $a^(f(x))$.
Muutke muutujat $a^(f(x))=t, t > 0$.
Saame ratsionaalse võrrandi, mis tuleb lahendada avaldise faktoriseerimisega.
Teeme pöördasendusi, võttes arvesse, et $t >

Lahendage võrrand $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Kraadide omaduse järgi teisendame avaldise nii, et saadakse aste 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Muudame muutujat $2^x=t; t>0 $

Saame vormi kuupvõrrandi

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Nimetajatest vabanemiseks korrutage kogu võrrand 2 dollariga

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Laiendame võrrandi vasakut poolt rühmitusmeetodi abil

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Võtke see esimesest klambrist välja ühine tegur$2$, teisest $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Lisaks näeme esimeses sulus kuubikute erinevuse valemit

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Lahendame esimese võrrandi

Teise võrrandi lahendame diskriminandi kaudu

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3 = 1 $

Vastus: $-1; 0; 1 $

4. Ruutvõrrandiks teisendamise meetod

Meil on võrrand kujul $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, kus $A, B$ ja $C$ on koefitsiendid.
Teeme muudatuse $a^(f(x))=t, t > 0$.
Selgub ruutvõrrand kujul $A·t^2+B·t+С=0$. Lahendame saadud võrrandi.
Teeme pöördasenduse, võttes arvesse, et $t > 0$. Saame lihtsaima eksponentsiaalvõrrandi $a^(f(x))=t$, lahendame selle ja kirjutame vastuse vastuseks.

Faktoreerimismeetodid:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

Polünoomi faktoriseerimiseks, võttes ühisteguri sulgudest välja, vajate:

Määrake ühine tegur.
Jagage antud polünoom sellega.
Kirjutage üles ühisteguri ja saadud jagatise korrutis (märkige see jagatis sulgudes).

Tegutses polünoom: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Selle polünoomi ühine tegur on $2a$, kuna kõik liikmed jaguvad $2$ ja "a"-ga. Järgmisena leiame algse polünoomi "2a" jagamise jagatise, saame:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

See on faktoriseerimise lõpptulemus.

Lühendatud korrutusvalemite rakendamine

1. Summa ruut jagatakse esimese arvu ruuduks pluss esimese arvu kahekordne korrutis teise arvuga ja pluss teise arvu ruut.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Erinevuse ruut jagatakse esimese arvu ruuduks, millest on lahutatud esimese arvu kahekordne korrutis teisega ja pluss teise arvu ruut.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Ruudude vahe jagatakse arvude erinevuse ja nende summa korrutiseks.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruut pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruudu korrutis pluss teise arvu kuup .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu ruudu kolm korda korrutis, pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruudu korrutis ning miinus teise numbri kuup.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kuubikute summa võrdub arvude summa ja erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kuubikute vahe võrdub arvude erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Rühmitamise meetod

Rühmitamismeetodit on mugav kasutada siis, kui on vaja paarisarvuliste liikmetega polünoomi faktoriseerida. Selle meetodi puhul on vaja terminid rühmadesse koguda ja igast rühmast ühistegur sulust välja võtta. Mitmed rühmad peaksid pärast sulgudesse paigutamist saama samad avaldised, siis võtame selle sulg ühise tegurina edasi ja korrutame selle saadud jagatise suuga.

Teguriseeri polünoom $2a^3-a^2+4a-2$

Selle polünoomi laiendamiseks kasutame liitmise rühmitamise meetodit, selleks rühmitame kaks esimest ja kaks viimast liiget, samas kui oluline on panna märk teise rühmituse ette õigesti, paneme märgi + ja seetõttu kirjutame terminid koos nende märkidega sulgudes.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Pärast ühiste tegurite väljavõtmist saime paar identset sulgu. Nüüd võtame selle klambri ühise tegurina välja.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Nende sulgude korrutis on faktoriseerimise lõpptulemus.

Ruuttrinoomi valemit kasutades.

Kui see on olemas ruudukujuline kolmik kujul $ax^2+bx+c$, siis saab seda valemiga laiendada

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kus $x_1$ ja $x_2$ on ruuttrinoomi juured

Kogumik eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks

Sissejuhatus

Matemaatika kursusel on üks oluline koht eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Esimest korda kohtuvad õpilased eksponentsiaalvõrranditega mittetulundusühingute rühmades teisel õppeaastal ja SVE rühmades esimesel õppeaastal. Eksponentvõrrandid on samuti leitud KASUTADA ülesandeid. Seetõttu tuleks nende lahendamise meetodite uurimisele pöörata suurt tähelepanu. Eksponentvõrrandite lahendamisel tekivad sageli raskused järgmiste tunnuste tõttu: - eksponentsiaalvõrrandite lahendamise algoritmi toomine; - eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel teevad õpilased teisendusi, mis on samaväärsed algvõrranditega; - eksponentsiaalvõrrandi lahendamisel võtavad nad kasutusele uue muutuja ja unustavad pöördasenduse juurde tagasi pöörduda. Kavandatav käsiraamat on vastused eksponentsiaalvõrrandite lahendusele iseseisev töö ja eksami edukat sooritamist.

Antud kogumiku eesmärk: uurida teemakohast teoreetilist materjali, analüüsida antud teemat algebraõpikutes ja analüüsi algust, süstematiseerida USE ülesanded eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks, süstematiseerida ja üldistada metoodilisi soovitusi eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmised ülesanded:

Tutvuge nõuetega osariigi standardid teemal "Eksponentvõrrandid";

Analüüsis algebraõpikutes teemakohast materjali ja alustas analüüsiga;

Süstematiseerida eksponentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid;

Süstematiseerida ja kokku võtta selle teema uurimise metodoloogilised tunnused. Juhend sisaldab kahte osa. Esimeses osas määratletakse eksponentsiaalvõrrand, astmete omadused, eksponentsiaalvõrrandi tüübid ja meetodid nende lahendamiseks näidislahendustega. Teises osas on toodud hulk eksami ülesannetes leiduvaid näiteid. Nendele küsimustele antakse vastused lõpus. Seda käsiraamatut saab kasutada nii klassiruumis kui ka individuaalseks õppimiseks, samuti neile, kes soovivad süvendada oma teadmisi teemal: "Eksponentvõrrandid".

Definitsioon. Võrrand, mille eksponendis on tundmatu, nimetatakse eeskujulikuks.

Peab meeles pidama!Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse seda sageli:

1. Teoreem: kui a 0 ;, a≠ 1 ja = , siis = .

2. Kraadide omadused : a x * a y = a x + y = = * ( x = , ( y = ,

a - x = ; a 0 = 1, a 1 = a.

Mõelge eksponentsiaalvõrrandite põhitüüpidele ja lahendusmeetoditele.

1. Vormi lihtsaim eksponentsiaalvõrrand:

a x = b, kusa 0; b 0, a≠ 1, sellel on lahendusx = .

Näide 1 Lahenda võrrand 2 x = 3.

Lahendus : x =
Vastus:

2. Vormi võrrandite lahendamiseks: a f ( x ) = b, kusa0; b0, a ≠ 1, vaja põhjendada a sama arvu astmena ja seejärel võrrelda näitajaid.

Näide 2 Lahendage võrrand 5 2x+4 = 25.

3. Vormi eksponentsiaalvõrrand

a f ( x ) = a ȹ( x ) , a0, a ≠ 1

lahendatakse võrrandi mõlema poole logaritmi võtmisega alusele a. Selle samaväärne võrrand

f(x) = ȹ(x).

Näide 3 Lahenda võrrand 6 2x - 8 = 216 x

Lahendus. 6 2x - 8 \u003d 6 3x, sest 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

2x - 3x = 8

Näide 4(KASUTAMINE) Märkige intervall, kuhu juur kuulub

võrrandid 0,1x-1 = 16.

1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

2). (1;10]; 4). (16; 20].

Lahendus. Esitame numbreid ja 16 astmena 2:

2–5 ja 16 = 2 4

Saame sellega võrdväärse võrrandi:

(2 -5) 0,1x-1 \u003d 2 4, s.o. 2 -5 (0,1x - 1) = 2 4.

See võrrand on võrdne võrrandiga

5 (0,1x - 1) = 4

0,5x \u003d 4–5

Number 2 sisaldub intervallis (1;10], mis on märgitud ühe vastusena. Seetõttu on õige vastus 2.

Näide 4(KASUTAMINE) Leidke võrrandi juurte ruutude summa -5 = 9 -2x .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Lahendus. Kasutades kraadide omadusi, teisendame võrrandi parema külje: 9 -2x \u003d (3 2) -2x \u003d 3 -4x

See võrrand on järgmisel kujul: -5 = 3 -4 .

Eksponentfunktsiooni monotoonsusomadustest järeldub, et eksponentsiaalvõrrand on võrrandiga samaväärne

x 2 - 5 \u003d -4x.

Lahendage ruutvõrrand x 2 + 4x -5 = 0

D = b 2 – 4ac

D \u003d 4 2 - 4 * 1 * (-5) \u003d 16 + 20 \u003d 36 0, võrrandil on kaks juurt:

Kuna ruutvõrrand on võrdne algvõrrandiga, on saadud juured selle võrrandi hobused. Muudes küsimustes saate otsese asendusega kontrollida, et arvud -5 ja 1 on selle võrrandi juured. Seega võrrandi juurte ruutude summa -5 = 9 -2x võrdub (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Õige vastuse number - 1

4. Tüüpvõrrand a 0 a 2x + a 1 a x + a 2 = 0.

Seda võrrandit nimetatakse kolmeliikmeliseks eksponentsiaalvõrrandiks. Seisma a x = y teisendab selle tavaliseks ruutvõrrandiks a 0 y 2 x + a 1 y + a 2 = 0 . Olles selle lahendanud, leiame juured y 1 ja y 2 . Pärast seda taandatakse algvõrrandi lahend kahe võrrandi lahendiks a x = y 1 , a x = y 2 . Viimastel võrranditel on lahendus y 1 0 ja y 2 0 .

Näide 5. Lahenda võrrand 2 2 x - 2 x - 2=0.

Lahendus. Olgu 2 x = y, siis saab võrrand kuju

y 2 – y – 2 = 0

D \u003d (-1) 2 - 41 (-2) \u003d 9 0, 2 juurt

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, lahendus puudub, sest - üks

Näide 6. Lahenda võrrand 9 x – 3 x – 6 = 0

Lahendus. Võrrandi esimest liiget saab esitada kujul 9 x = 3 2 x = (3 x) 2 . Siis on algne võrrand kujul (3 x) 2 - 3 x - 6 = 0. Tähistage 3 x = y, siis saame y 2 - y - 6 = 0

y 1 = 3; y 2 \u003d -2.

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – lahendus puudub, sest -2

5. Tüüpvõrrand

See võrrand lahendatakse, võttes sulgudest välja ühisteguri.

Näide 7. Lahenda võrrand

2 x +1 + 32 x -1 – 52 x + 6 = 0

Lahendus. Võtame sulgudest välja ühisteguri 2 x -1, saame

2 x -1 (2 2 + 3 - 52) = -6

2 x -1 (-3) = -6

2 x -1 = -6: (-3)

6. Vormi võrrand, kus f(x) on avaldis, mis sisaldab tundmatut arvu; a0; a ≠ 1.

Nende võrrandite lahendamiseks vajate:

1. asenda 1 = a 0 ; a f(x) = a0;

2. lahendage võrrand f (x) = 0

Näide 8. Lahenda võrrand

Nullastendajaga kraadi määratluse järgi on meil:

x 2 - 7x + 12 = 0 (kuna 1 = 2 0)

D = b 2 – 4ac

Ruutvõrrandi lahendamisel saame: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Vastus: 3; neli.

7. Võrrandivaade

See võrrand taandatakse kolmeliikmeliseks eksponentsiaalvõrrandiks, jagades mõlemad osad arvuga a x või b x .

Näide 9 Lahenda võrrand 9 x + 6 x = 2 2 x +1

Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Võrrandi mõlema poole jagamine 2 2 x ≠ 0, saame

Seejärel võtab võrrand kuju

y 2 + y -2 = 0 . Ruutvõrrandi lahendamisel saame = -2, = 1.

a) - lahendust pole, sest -2

Näited.

I. Lahenda võrrandid:

31. 0,5 x +7 0,5 1-2 x = 2

32,0,6 x 0,6 3 =

34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108

35. 2x +1 + 2x -1 + 2x = 28

36. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

37. 3x -1 - 3x + 3x +1 = 63

40. 7x - 7x-1 = 6

41,5 3x += 140

42. 3 2a-1 +3 2a-2 -3 2a-4 = 315

43. 2x+1 + 32x-1 -52x+6=0

44,9x - 43x +3 =0

45,16 x -174 x +16 =0

46, 25x - 65x + 5 = 0

47,64x-8x-56=0

48. 84x - 62x + 1 = 0

50. 13 2 x +1 - 13 x - 12 = 0

II. (KASUTAMINE) Märkige, millisesse intervalli võrrandi juur kuulub:

1. 3 4 x +5 = 81

1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

2,45 x -8 = 64

1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

3,6 3 x +5 = 36

1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)

6,6 10 x -1 = 36

1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)

1) [-1;1] 2) (1;2) 3)

10,5 2 x +1 = 125

1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)

11,25 x +1 = 4

1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)

1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)

13,6 2 x +2 = 216

1) 2) 3) [-2;0] 4)

14,72 x +2 = 343

1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)

15. 3 3 x +3 = 9

1) [-1;1] 2) 3) 4)

16,2 3 x +1 = 8

1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)

1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)

18. 0,1 2 x = 100 3 x +1

1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)

19. 0,2 x -0,5 = 0,04 x -1

1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

20.008 x = 5 1-2 x

1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

III. Leidke võrrandi juurte ruutude summa

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

Vastused

I.Lahenda võrrandid

II. (KASUTAMINE) Märkige, millisesse intervalli võrrandi juur kuulub

III. Leidke võrrandi juurte ruutude summa

Täiendavad näited:

1. 4 3-2x = 4 2-x

2. 2 5 x +1 = 4 2 x

3,5 3 = 25 x +0,5

8,5 x -4 = 25 2

11,4 x +2 x -24 = 0

12. 9 x - 4 * 3 x - 45 = 0

13. 4x - 3x2x = 40

14. 2 4 x - 50 * 2 2 x \u003d 896

15. 7 2 x - 6 * 7 x - 7 = 0

16. 9 x - 8 * 3 x - 9 = 0

17. 16 x + 4 * 4 x - 5 = 0

18. 4x -9 * 2x + 8 = 0

19. 36 x - 4 * 6 x - 12 = 0

20. 64 x - 8 x - 56 = 0

21. 7 x +2 + 4 * 7 x +1 = 539

22. 2x +1 + 3 * 2x -1 - 5 * 2x + 6 = 0

23. 7x + 7x +2 = 350

24. 7 * 5 x - 5 x +1 = 2 * 5 3

25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21

26,5 1+2 x + 5 2 x +3 = 650

27. 6 x +1 + 35 * 6 x -1 = 71

28. 4x +1 +4x = 320

29. 3 x +1 - 2 * 3 x -2 = 25

30. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

33,4 x = 5 - x

35. 2-3 x = 2x - 3

36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0

37. 2 * 2 2 x - 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x \u003d 0

38. 3 * 16 x + 2 * 81 x = 5 * 36 x

39. 3 * 4 2 x - 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0

40. 6 * 4 x - 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0

41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 - 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2

42. 4x + 3x -1 = 4x -1 + 3x +2

44. 7 x -5 * - 49 * + 3 * 7 x -5 = 147

45. 3 * 2 x +1 +2 * 5 x -2 = 5 x + 2 x -2

47. 0,125 * 2 -4x-16 \u003d

51. (0,2) x + 0,5 = (0,04) x

53,32 (x + 8) (x-4) \u003d 0,25 *

54. 5x+1 = 5x-1

55. 7 x + 1 - 7 x + 2 * 7 x-1 - 14 * 7 x-2 \u003d 48

56. 3 2x-1 - 9 x + = 675

57. 5 2x-1 + 5 x + 1 = 250

58. – 5 * + 4 = 0

59. 2 2+x + 2 2-x = 17

60. 2 x + 1 * 5 x \u003d 10 x + 1 * 5 x + 2

61. 2 x * 5 x-1 = 200

64. 7 x + 1 + 3 * 7 x \u003d 3 x + 2 + 3 x

65. 9 x - 5 x - 3 2x * 15 + 5 x + 1 * 3 = 0

66. 25 x - 7 x - 7 * 5 2x + 1 + 5 * 7 x + 1 \u003d 0

67. 9 x + 6 x - 2 * 4 x \u003d 0

68. 4 * 2 2x - 6 x \u003d 18 * 9 x

69, 4 x \u003d 2 * 10 x + 3 * 25 x

70. 64 * 9 -x - 84 * 12 -x + 27 * 16 -x \u003d 0

72. 8 x + 8 = 3 * 4 x + 3 * 2 x + 1

73. 3 -12x-1 - 9 -6x-1 - 27 -4x-1 + 81 1-3x \u003d 2192

Järeldus

Kokkuvõttes võib teha järgmised järeldused:

1, eksponentsiaalvõrrandid pakuvad õpilastele huvi. Eksponentvõrrandite lahendamisel arendatakse süstematiseerimisoskust, valikul loogilist mõtlemist õige meetod lahendusi, suurendab loovust ja vaimseid võimeid.

2. Iga võrranditüübi puhul võib lahendusmeetodi määramisel tekkida raskusi.

Algebra käigus ja analüüsi alguses leitakse USE ülesannetes sageli eksponentsiaalvõrrandeid. Tundides pühendatakse selle teema uurimisele vähe aega, kõiki eksponentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid pole õpikutes näidatud, iseseisvaks lahendamiseks tuuakse vähe näiteid. Seetõttu aitab käesolev käsiraamat nii õpilastel lahendusse süveneda, selle teema programmimaterjali omastada nii põhikooli kursuse kirjaliku eksami edukaks sooritamiseks kui ka eksami sooritamiseks soovijatel.

Kirjandus

Matemaatika tabelites ja diagrammides. Koolilastele ja sisseastujatele. Peterburi, Victoria Plus LLC, 2004, 224 lk.

Matemaatika. 2004. aasta ühtse riigieksami kontrollmõõtmismaterjalid. M .: Venemaa Haridusministeeriumi katsekeskus, 2004.

Matemaatika treeningülesannete ja -harjutuste süsteem / A.Ya. Simonov, D.S. Bakaev, A.G. Epelman ja teised - M .: Haridus, 1991. -208 lk.

Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks. Matemaatika / J1.0. Deništševa, E. M. Boytšenko, Yu.A. Glazkov ja teised – 2. väljaanne, stereotüüp. - M.: Bustard, 2004, - 120 lk.

Lappo L.D., Popov M.A. Matemaatika. Tüüpiline testülesanded: Hariduslik ja praktiline juhend / L.D. Lappo, M.A. Popov. - M.: Kirjastus "Eksam", 2004 - 48 lk.

Ühtne riigieksam: matemaatika: 2004 - 2005: Kontroll. tahe mõõta, materjalid / L. O. Deništševa, G.K. Bezrukova, E.M. Boychenko ja teised; toim. G.S. Kovaljova; M - hariduses ja teaduses Ros. Föderatsioon. Föderaalne. hariduse ja teaduse valdkonna järelevalveteenus. - M. : Haridus, 2005. - 80 lk.

Matemaatika. Koolitus KASUTADA teste 2004 - 2005 / T.A. Koreshkova, V.V. Miroshin, N.V. Ševelev. - M.6 Ed - Eksmos, 2005. - 80 lk. (Ettevalmistus eksamiks)

a) Lahenda võrrand: .

b) Märkige selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti.

Probleemi lahendus

See õppetund näitab, kuidas õigesti kasutada asendust eksponentsiaalvõrrandis, kuidas lahendada kõige lihtsamat trigonomeetrilist võrrandit ja määrata selle teatud intervalli kuuluvaid juuri. Ülesande esimene osa on eksponentsiaalvõrrandi lahendus. Selleks teostatakse asendus ja saadakse murdartsionaalvõrrand, mille lahendamine on võimalik mitmel viisil: taandamine ruutvõrrandiks või valik. AT sel juhul mõlemad viisid on vastuvõetavad, kuna võrrand pole kuigi keeruline. Peale juurte saamist teostame pöördasenduse ja saame kaks lihtsat trigonomeetrilist võrrandit kujul sina=t. Selle võrrandi juured leitakse standardvalemite abil. Lahenduses lisajuurte määramiseks on kõige optimaalsem kasutada ühikringi, millele on märgitud võrrandi juured. Nii saame ühine otsus võrrandid – ülesande punkti a) vastus. Punkti b) vastamiseks on vaja õigesti arvesse võtta tühimikku ja arvutada juured. Sel juhul on seda väga lihtne teha, kuna siinuse ja koosinuse perioodilisuse abil on lihtne märkida kõik juured ja leida nende väärtust siinuse ja koosinuse perioodilisuse abil (ei maksa unustada, et siinuse ja koosinuse periood on 2π). Otsus kätte saadud.

Selle ülesande lahendus on soovitatav 10. klassi õpilastele teema "Trigonomeetrilised võrrandid" ("Arcsine", "Arcsine ja võrrandi sina = t lahendus") õppimisel; klassi õpilastele teema "Eksponent- ja logaritmfunktsioonid" õppimisel (" Eksponentfunktsioon, selle omadused. Lihtsamad eksponentsiaalvõrrandid”, “Eksponentvõrrandid”). Eksamiks valmistumisel on tund soovitatav teemade “Trigonomeetrilised võrrandid”, “Eksponent- ja logaritmfunktsioonid” kordamisel.