Kogumik eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks

Kogumik eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks

Sissejuhatus

Matemaatikakursusel on üks oluline koht eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Esimest korda puutuvad õpilased eksponentsiaalvõrranditega kokku NPE rühmades teisel õppeaastal ja SVE rühmades esimesel õppeaastal. Samuti ilmuvad eksponentsiaalvõrrandid Ühtse riigieksami ülesanded. Seetõttu tuleks nende lahendamise meetodite uurimisele pöörata suurt tähelepanu. Eksponentvõrrandite lahendamisel tekivad sageli raskused seoses järgmiste tunnustega: - eksponentsiaalvõrrandite lahendamise algoritmi toomine; - eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel teevad õpilased teisendusi, mis on samaväärsed algvõrranditega; - eksponentsiaalvõrrandi lahendamisel sisestavad nad uue muutuja ja unustavad pöördasenduse juurde tagasi pöörduda. Kavandatav käsiraamat pakub vastuseid eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks iseseisev töö ja edukalt sooritanud ühtse riigieksami.

Antud kogumiku eesmärk: uurida teemakohast teoreetilist materjali, analüüsida seda teemat algebra ja analüüsi alguse õpikutes, süstematiseerida USE ülesandeid eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks, süstematiseerida ja üldistada metoodilisi soovitusi eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmised ülesanded:

Vaadake nõuded üle osariigi standardid teemal “Eksponentvõrrandid”;

Analüüsida teemakohast materjali algebraõpikutes ja alustada analüüsiga;

Süstematiseerida eksponentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid;

Süstematiseerida ja kokku võtta selle teema uurimise metoodilised tunnused. Kasutusjuhend sisaldab kahte osa. Esimene jaotis määratleb eksponentsiaalvõrrand, kraadide omadused, eksponentsiaalvõrrandite tüübid ja meetodid nende lahendamiseks näidislahendustega. Teises jaotises on toodud hulk näiteid, mida võib leida ühtse riigieksami ülesannetest. Nende ülesannete vastused on toodud lõpus. Seda juhendit saab kasutada nii klassiruumis kui ka individuaalseks koolituseks, aga ka neile, kes soovivad süvendada oma teadmisi teemal "Eksponentvõrrandid".

Definitsioon. Võrrand, mis sisaldab eksponentis tundmatut, on nimetatakse eksponentsiaalseks.

Peab meeles pidama!Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse sageli järgmist:

1. Teoreem: kui a 0 ;, a≠ 1 ja = , siis = .

2. Kraadide omadused : a x * a y = a x + y = = * ( x = , ( y = ,

a - x = ; a 0 = 1, a 1 = a.

Vaatleme põhilisi eksponentsiaalvõrrandite liike ja lahendusmeetodeid.

1. Lihtsaim eksponentsiaalvõrrand on:

a x = b, Kusa 0; b 0, a≠ 1, sellel on lahendusx = .

Näide 1. Lahenda võrrand 2 x = 3.

Lahendus : x =
Vastus:

2. Vormi võrrandite lahendamiseks: a f ( x ) = b, Kusa0; b0, a ≠ 1, vaja põhjendada A sama arvu astme kujul ja seejärel võrrelda näitajaid.

Näide 2. Lahenda võrrand 5 2x+4 = 25.

3. Vormi eksponentsiaalvõrrand

a f ( x ) = a ȹ( x ) , a0, a ≠ 1

lahendatakse võrrandi mõlema poole logaritmi võtmisega alusele A. Selle samaväärne võrrand on

f(x) = ȹ(x).

Näide 3. Lahenda võrrand 6 2x – 8 = 216 x

Lahendus. 6 2x – 8 = 6 3x, sest 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

2x – 3x = 8

Näide 4.(KASUTAMINE) Märkige intervall, kuhu juur kuulub

võrrandid 0,1x-1 = 16.

1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

2). (1;10]; 4). (16; 20].

Lahendus. Esitame numbreid ja 16 astmena 2:

2–5 ja 16 = 2 4

Saame sellega võrdväärse võrrandi:

(2 -5) 0,1x-1 = 2 4, s.o. 2–5 (0,1x–1) = 2 4.

See võrrand on võrdne võrrandiga

5 (0,1x - 1) = 4

0,5x = 4–5

Arv 2 sisaldub intervallis (1;10], mis on märgitud ühe vastusevariandina. Seetõttu on õige vastus 2.

Näide 4.(KASUTAMINE) Leidke võrrandi juurte ruutude summa -5 = 9 -2x .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Lahendus. Kasutades kraadide omadusi, teisendame võrrandi parema poole: 9 -2x = (3 2) -2x = 3 -4x

See võrrand on järgmisel kujul: -5 = 3 -4 .

Eksponentfunktsiooni monotoonsusomadustest järeldub, et eksponentsiaalvõrrand on võrdne võrrandiga

x 2 – 5 = -4x.

Lahendage ruutvõrrand x 2 + 4x -5 = 0

D=b 2 – 4ac

D = 4 2 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, võrrandil on kaks juurt:

Kuna ruutvõrrand on võrdne algvõrrandiga, on saadud juured ka selle võrrandi hobused. Muudes küsimustes saate otsese asendusega kontrollida, et arvud -5 ja 1 on selle võrrandi juured. Seega võrrandi juurte ruutude summa -5 = 9 -2x on võrdne (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Õige vastuse number - 1

4. Vormi võrrand a 0 a 2x + a 1 a x + a 2 = 0.

Seda võrrandit nimetatakse kolmeliikmeliseks eksponentsiaalvõrrandiks. Seisma a x = y muudab selle tavaliseks ruutvõrrandiks a 0 y 2 x + a 1 y + a 2 = 0 . Olles selle lahendanud, leiame juured y 1 Ja y 2 . Pärast seda taandatakse algse võrrandi lahendamine kahe võrrandi lahendamiseks a x = y 1 , a x = y 2 . Viimastel võrranditel on lahendus at y 1 0 Ja y 2 0 .

Näide 5: lahendage võrrand 2 2 x - 2 x - 2=0.

Lahendus. Olgu 2 x = y, siis saab võrrand kuju

y 2 – y – 2 = 0

D = (-1) 2 – 41 (-2) = 9 0, 2 juurt

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, lahendit pole, sest -1

Näide 6: lahendage võrrand 9 x – 3 x – 6 = 0

Lahendus. Võrrandi esimest liiget saab esitada kujul 9 x = 3 2 x = (3 x) 2. Siis on algne võrrand kujul (3 x) 2 – 3 x – 6 = 0. Tähistame 3 x = y, siis saame y 2 – y – 6 = 0

y 1 = 3; y2 = -2.

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – lahendus puudub, sest -2

5. Vormi võrrand

See võrrand lahendatakse, võttes sulgudest välja ühisteguri.

Näide 7: lahendage võrrand

2 x +1 + 32 x -1 – 52 x + 6 = 0

Lahendus. Võtame ühisteguri 2 x -1 sulgudest välja ja saame

2 x -1 (2 2 + 3 – 52) = -6

2 x -1 (-3) = -6

2 x -1 = -6: (-3)

6. Vormi võrrand, kus f(x) on avaldis, mis sisaldab tundmatut arvu; a 0; a ≠ 1.

Selliste võrrandite lahendamiseks vajate:

1. asenda 1 = a 0 ; a f(x) = a0;

2. lahendage võrrand f (x) = 0

Näide 8: Lahenda võrrand

Nullastendajaga astme määratluse järgi on meil:

x 2 – 7x + 12 = 0 (kuna 1 = 2 0)

D=b 2 – 4ac

Lahendades ruutvõrrandi, saame: x 1 = 3, x 2 = 4.

Vastus: 3; 4.

7. Võrrandivaade

See võrrand taandatakse kolmeliikmeliseks eksponentsiaalvõrrandiks, jagades mõlemad pooled a x või b x .

Näide 9. Lahenda võrrand 9 x + 6 x = 2 2 x +1

Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Võrrandi mõlema poole jagamine 2 2 x ≠ 0, saame

Olgu siis võrrand kuju

y 2 + y -2 = 0 . Ruutvõrrandi lahendamisel saame = -2, = 1.

a) - lahendust pole, sest -2

Näited.

I. Lahendage võrrandid:

31. 0,5 x +7 0,5 1-2 x = 2

32. 0,6 x 0,6 3 =

34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108

35. 2 x +1 + 2 x -1 + 2 x = 28

36. 2 3 x +2 – 2 3 x -2 = 30

37. 3 x -1 – 3 x + 3 x +1 = 63

40. 7 x – 7 x-1 = 6

41. 5 3x + = 140

42. 3 2a-1 +3 2a-2 -3 2a-4 = 315

43. 2 x+1 + 32 x-1 -52 x + 6 =0

44. 9 x - 43 x +3 =0

45. 16 x -174 x +16 =0

46. ​​25 x – 65 x + 5 =0

47. 64 x – 8 x – 56 =0

48. 84 x – 62 x + 1 =0

50. 13 2 x +1 – 13 x – 12 = 0

II. (KASUTAMINE) Märkige, millisesse intervalli võrrandi juur kuulub:

1. 3 4 x +5 = 81

1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

2. 4 5 x -8 = 64

1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

3. 6 3 x +5 = 36

1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)

6. 6 10 x -1 = 36

1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)

1) [-1;1] 2) (1;2) 3)

10,5 2 x +1 = 125

1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)

11. 2 5 x +1 = 4

1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)

1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)

13. 6 2 x +2 = 216

1) 2) 3) [-2;0] 4)

14. 7 2 x +2 = 343

1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)

15. 3 3 x +3 = 9

1) [-1;1] 2) 3) 4)

16. 2 3 x +1 = 8

1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)

1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)

18. 0,1 2 x = 100 3 x +1

1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)

19. 0,2 x -0,5 = 0,04 x -1

1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

20. 0,008 x = 5 1-2 x

1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

III. Leidke võrrandi juurte ruutude summa

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

Vastused

I.Lahenda võrrandid

II. (KASUTAMINE) Märkige, millisesse intervalli võrrandi juur kuulub

III. Leidke võrrandi juurte ruutude summa

Täiendavad näited:

1. 4 3-2 x = 4 2- x

2. 2 5 x +1 = 4 2 x

3. 5 3 = 25 x +0,5

8. 5 x -4 = 25 2

11. 4 x +2 x -24 = 0

12. 9 x – 4 * 3 x – 45 = 0

13. 4 x – 3 x 2 x = 40

14. 2 4 x – 50 * 2 2 x = 896

15. 7 2 x – 6 * 7 x – 7 = 0

16. 9 x – 8 * 3 x – 9 = 0

17. 16 x + 4 * 4 x – 5 = 0

18. 4 x -9 * 2 x + 8 = 0

19. 36 x – 4 * 6 x – 12 = 0

20. 64 x – 8 x – 56 = 0

21. 7 x +2 + 4 * 7 x +1 = 539

22. 2 x +1 + 3 * 2 x -1 – 5 * 2 x + 6 = 0

23. 7 x + 7 x +2 = 350

24. 7 * 5 x – 5 x +1 = 2 * 5 3

25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21

26. 5 1+2 x + 5 2 x +3 = 650

27. 6 x +1 + 35 * 6 x -1 = 71

28. 4 x +1 +4 x = 320

29. 3 x +1 – 2 * 3 x -2 = 25

30. 2 3 x +2 – 2 3 x -2 = 30

33. 4 x = 5 – x

35. 2 -3 x = 2x - 3

36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0

37. 2 * 2 2 x – 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x =0

38. 3 * 16 x + 2 * 81 x = 5 * 36 x

39. 3 * 4 2 x – 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0

40. 6 * 4 x – 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0

41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 – 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2

42. 4 x + 3 x -1 = 4 x -1 + 3 x +2

44. 7 x -5 * - 49 * + 3 * 7 x -5 = 147

45. 3 * 2 x +1 +2 * 5 x -2 = 5 x + 2 x -2

47. 0,125 * 2 -4x-16 =

51. (0,2) x + 0,5 = (0,04) x

53, 32 (x+8) (x-4) = 0,25 *

54. 5 x+1 = 5 x-1

55. 7 x+1 – 7 x + 2 x 7 x-1 – 14 x 7 x-2 = 48

56. 3 2x-1 – 9 x + = 675

57. 5 2x-1 + 5 x+1 = 250

58. – 5 * + 4 = 0

59. 2 2+x + 2 2x = 17

60. 2 x+1 * 5 x = 10 x+1 * 5 x+2

61. 2 x * 5 x-1 = 200

64. 7 x+1 + 3 * 7 x = 3 x+2 + 3 x

65. 9 x – 5 x – 3 2x * 15 + 5 x+1 * 3 = 0

66. 25 x – 7 x – 7 * 5 2x+1 + 5 * 7 x+1 = 0

67. 9 x + 6 x – 2 * 4 x = 0

68. 4 * 2 2x – 6 x = 18 * 9 x

69. 4 x = 2 * 10 x + 3 * 25 x

70. 64 * 9 -x - 84 * 12 -x + 27 * 16 -x = 0

72. 8 x + 8 = 3 * 4 x + 3 * 2 x+1

73. 3 -12x-1 - 9 -6x-1 - 27 -4x-1 + 81 1-3x = 2192

Järeldus

Tulemusi kokku võttes võime teha järgmised järeldused:

1. Eksponentvõrrandid pakuvad õpilastele huvi. Eksponentvõrrandite lahendamisel arendatakse süstematiseerimisoskust ja loogilist mõtlemist valikul. õige meetod lahendusi, suurendab loovust ja vaimseid võimeid.

2. Iga võrranditüübi puhul võib lahendusmeetodi määramisel tekkida raskusi.

Algebra käigus ja analüüsi alguses leidub USE ülesannetes sageli eksponentsiaalvõrrandeid. Tundides pühendatakse selle teema õppimisele vähe aega, kõiki eksponentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid pole õpikutes näidatud, iseseisvaks lahendamiseks tuuakse vähe näiteid. Seetõttu aitab käesolev juhend õpilastel lahendusse süveneda, omandada selle teema programmimaterjali, et sooritada edukalt üldhariduskursuse kirjalik eksam, aga ka neile, kes soovivad sooritada ühtset riigieksamit.

Kirjandus

    Matemaatika tabelites ja diagrammides. Koolilastele ja taotlejatele. Peterburi, Victoria Plus LLC, 2004, 224 lk.

    Matemaatika. 2004. aasta ühtse riigieksami kontrollmõõtmismaterjalid. M.: Venemaa Haridusministeeriumi katsekeskus, 2004.

    Matemaatika treeningülesannete ja -harjutuste süsteem / A.Ya. Simonov, D.S. Bakaev, A.G. Epelman jt - M.: Haridus, 1991. -208 lk.

    Valmistume ühtseks riigieksamiks. Matemaatika/ J1.0. Deništševa, E. M. Boytšenko, Yu.A. Glazkov jt – 2. väljaanne, stereotüüp. - M.: Bustard, 2004, - 120 lk.

    Lappo L.D., Popov M.A. Matemaatika. Tüüpiline testülesanded: Õppe- ja praktiline käsiraamat / L.D. Lappo, M.A. Popov. - M.: Kirjastus "Eksam", 2004 - 48 lk.

    Ühtne riigieksam: matemaatika: 2004 - 2005: kontroll. tahe mõõta, materjalid / L. O. Deništševa, G. K. Bezrukova, E.M. Boychenko ja teised; toimetanud G.S. Kovaljova; M - Venemaa hariduses ja teaduses. Föderatsioon. Föderaalne. hariduse ja teaduse valdkonna järelevalveteenus. - M.: Haridus, 2005. - 80 lk.

    Matemaatika. Koolitus Ühtse riigieksami testid 2004 - 2005 / T.A. Koreshkova, V.V. Miroshin, N.V. Sheveleva. - M.6 Ilmunud Eksmos, 2005. - 80 lk. (Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks)

Võrrandid, osa $C$

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut arvu, mida tähistatakse tähega, nimetatakse võrrandiks. Võrdlusmärgist vasakul olevat avaldist nimetatakse võrrandi vasakuks pooleks ja paremal asuvat avaldist võrrandi parempoolseks pooleks.

Keerukate võrrandite lahendamise skeem:

  1. Enne võrrandi lahendamist on vaja üles kirjutada selle lubatud väärtuste vahemik (ADV).
  2. Lahenda võrrand.
  3. Valige saadud võrrandi juurtest need, mis vastavad ODZ-le.

Erinevate väljendite ODZ (avaldise all peame silmas tähtnumbrilist tähistust):

1. Nimetaja avaldis ei tohi olla võrdne nulliga.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Radikaalne avaldis ei tohi olla negatiivne.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Nimetaja radikaalavaldis peab olema positiivne.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Logaritmi puhul: alamaritmiline avaldis peab olema positiivne; alus peab olema positiivne; Alus ei saa võrduda ühega.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmilised võrrandid

Logaritmvõrrandid on võrrandid kujul $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kus $a$ on positiivne arv, mis erineb väärtusest $1$, ja võrrandid, mis taanduvad sellele kujule.

Logaritmvõrrandite lahendamiseks on vaja teada logaritmide omadusi: me võtame arvesse kõiki logaritmide omadusi $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – mis tahes reaalarvu puhul.

1. Mis tahes reaalarvude $m$ ja $n$ korral on võrdsused tõesed:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Korrutise logaritm võrdub iga teguri sama aluse logaritmide summaga.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Jagatise logaritm võrdub sama aluse lugeja ja nimetaja logaritmide vahega

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kahe logaritmi korrutamisel saate nende aluseid vahetada

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, kui $a, b, c$ ja $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kus $a, b, c > 0, a≠1$

6. Valem uude baasi kolimiseks

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Eelkõige juhul, kui on vaja vahetada baasi ja alamaritmilist avaldist

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Logaritmilisi võrrandeid on mitut tüüpi:

Lihtsamad logaritmvõrrandid: $log_(a)x=b$. Seda tüüpi võrrandi lahendus tuleneb logaritmi definitsioonist, s.o. $x=a^b$ ja $x > 0$

Esitame võrrandi mõlemad pooled logaritmina baasiks $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Kui sama alusega logaritmid on võrdsed, siis on võrdsed ka alaaritmilised avaldised.

Vastus: $ x = 8 $

Võrrandid kujul: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised ja võtame arvesse ODZ-d:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised

Liigutame kõik terminid võrrandi vasakule poole ja esitame sarnased terminid

Kontrollime leitud juuri vastavalt tingimustele $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Teise võrratuse asendamisel ei vasta juur $x=4$ tingimusele, seega on tegemist kõrvalise juurega

Vastus: $x=-3$

  • Muutuv asendusmeetod.

Selle meetodi puhul vajate:

  1. Kirjutage üles ODZ võrrandid.
  2. Kasutades logaritmide omadusi, veenduge, et võrrandid annavad identsed logaritmid.
  3. Asenda $log_(a)f(x)$ mis tahes muutujaga.
  4. Lahendage uue muutuja võrrand.
  5. Naaske 3. sammu juurde, asendage muutuja väärtus ja hankige lihtsaim võrrand kujul: $log_(a)x=b$
  6. Lahendage kõige lihtsam võrrand.
  7. Pärast logaritmilise võrrandi juurte leidmist peate need asetama 1. sammu ja kontrollima ODZ tingimust.

Lahendage võrrand $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Kirjutame üles ODZ võrrandi:

$\table\(\ x>0,\text"kuna see on juure ja logaritmi märgi all";\ √x≠1→x≠1;$

2. Teeme logaritmid baasile $2$, selleks kasutame teisel liikmel uude baasi liikumise reeglit:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Muutuja t jaoks saame murdartsionaalvõrrandi

Tahandagem kõik terminid ühisele nimetajale $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Murd on võrdne nulliga, kui lugeja võrdne nulliga, ja nimetaja ei ole null.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Lahendage saadud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil:

6. Naaskeme 3. sammu juurde, teeme pöördasenduse ja saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Logaritme võrrandite paremad küljed

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Võrdleme sublogaritmilised avaldised

$√x=2$, $√x=4$

Juurest vabanemiseks paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Asendame sammus 1 logaritmilise võrrandi juured ja kontrollime ODZ tingimust.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Esimene juur vastab ODZ-le.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Teine juur vastab ka ODZ-le.

Vastus: 4 dollarit; 16 dollarit

  • Võrrandid kujul $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Sellised võrrandid lahendatakse uue muutuja sisseviimisega ja üleminekuga tavalisele ruutvõrrandile. Pärast võrrandi juurte leidmist tuleb need valida, võttes arvesse ODZ-d.

Murdratsionaalvõrrandid

  • Kui murdosa on null, siis lugeja on null ja nimetaja ei ole null.
  • Kui vähemalt üks osa ratsionaalsest võrrandist sisaldab murdosa, siis nimetatakse võrrandit murdratsionaalvõrrandiks.

Murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamiseks peate:

  1. Leidke muutuja väärtused, mille puhul võrrandil pole mõtet (ODZ)
  2. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja;
  3. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga;
  4. Lahendage saadud täisvõrrand;
  5. Jäta selle juurtest välja need, mis ei vasta ODZ tingimusele.
  • Kui võrrand hõlmab kahte murdosa ja lugejad on nende võrdsed avaldised, siis saab nimetajaid omavahel võrdsustada ja saadud võrrandit lahendada lugejatele tähelepanu pööramata. AGA võttes arvesse kogu algse võrrandi ODZ-d.

Eksponentvõrrandid

Eksponentvõrrandid on need, mille eksponendis sisaldub tundmatu.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse astmete omadusi, meenutagem mõnda neist:

1. Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus samaks ja astendajad liidetakse.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus samaks ja astendajad lahutatakse

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Kraadi tõstmisel astmeni jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Murru tõstmisel astmeni tõstetakse lugeja ja nimetaja selle astmeni

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Kui ükskõik milline alus on tõstetud nullastendajani, on tulemus võrdne ühega

7. Mis tahes negatiivse eksponendi alust saab esitada sama positiivse eksponendi alusena, muutes aluse asukohta murdosa käigu suhtes

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikaali (juure) saab esitada murdarvulise astendajaga astmena

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentvõrrandite tüübid:

1. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid:

a) Kuju $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a >0, a≠1, x$ on tundmatu. Selliste võrrandite lahendamiseks kasutame astmete omadust: sama alusega astmed ($a >0, a≠1$) on võrdsed ainult siis, kui nende eksponendid on võrdsed.

b) Võrrand kujul $a^(f(x))=b, b>0$

Selliste võrrandite lahendamiseks tuleb mõlemad pooled võtta logaritmiliselt alusele $a$, selgub

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Aluse tasandamise meetod.

3. Faktoriseerimise ja muutuja asendamise meetod.

  • Selle meetodi jaoks on kogu võrrandis, vastavalt astmete omadusele, vaja teisendada astmed üheks kujule $a^(f(x))$.
  • Muutke muutujat $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Saame ratsionaalse võrrandi, mis tuleb lahendada avaldise faktoriseerimisega.
  • Teeme pöördasendusi, võttes arvesse asjaolu, et $t >

Lahendage võrrand $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Kasutades astmete omadust, teisendame avaldise nii, et saame astme 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Muudame muutujat $2^x=t; t>0 $

Saame vormi kuupvõrrandi

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Nimetajatest vabanemiseks korrutage kogu võrrand 2 dollariga

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Laiendame võrrandi vasakut poolt rühmitusmeetodi abil

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Võtame esimesest suust välja ühisteguri $2$ ja teisest $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Lisaks näeme esimeses sulus kuubikute valemi erinevust

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Lahendame esimese võrrandi

Lahendame teise võrrandi diskriminandi kaudu

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3 = 1 $

Vastus: $-1; 0; 1 $

4. Ruutvõrrandi teisendusmeetod

  • Meil on võrrand kujul $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, kus $A, B$ ja $C$ on koefitsiendid.
  • Teeme asenduseks $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Tulemuseks on ruutvõrrand kujul $A·t^2+B·t+С=0$. Lahendame saadud võrrandi.
  • Teeme pöördasenduse, võttes arvesse asjaolu, et $t > 0$. Saame lihtsaima eksponentsiaalvõrrandi $a^(f(x))=t$, lahendame selle ja kirjutame tulemuse vastuseks.

Faktoriseerimise meetodid:

  • Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

Polünoomi faktoriseerimiseks, võttes ühisteguri sulgudest välja, peate:

  1. Määrake ühine tegur.
  2. Jagage antud polünoom sellega.
  3. Kirjutage üles ühisteguri ja saadud jagatise korrutis (märkige see jagatis sulgudes).

Polünoomi kordamine: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Selle polünoomi ühine tegur on $2a$, kuna kõik liikmed jaguvad $2$ ja “a”-ga. Järgmisena leiame jagatise, mis jagatakse algse polünoomiga "2a", saame:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

See on faktoriseerimise lõpptulemus.

Lühendatud korrutusvalemite kasutamine

1. Summa ruut jagatakse ruuduks, kus on esimene arv pluss esimese ja teise arvu kahekordne korrutis ning pluss teise arvu ruut.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Erinevuse ruut jagatakse esimese arvu ruuduks, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis ning pluss teise arvu ruut.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Ruudude vahe jagatakse arvude erinevuse ja nende summa korrutiseks.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga pluss esimese ruudu korrutis teise arvuga pluss esimese ruudu korrutis teise arvu ruuduga pluss teise arvu kuup. number.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese arvu ruudu kolmikkorrutis teise arvuga pluss esimese numbri kolmikkorrutis teise arvu ruuduga ja miinus kuup teine ​​number.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kuubikute summa võrdub arvude summa ja vahe osalise ruudu korrutisega.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kuubikute vahe võrdub arvude erinevuse ja summa mittetäieliku ruudu korrutisega.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Rühmitamise meetod

Rühmitamismeetodit on mugav kasutada siis, kui on vaja paarisarvuliste liikmetega polünoomi faktoriseerida. Selle meetodi puhul on vaja terminid rühmadesse koguda ja igast rühmast ühistegur välja võtta. Pärast nende paigutamist sulgudesse peaksid mitmed rühmad saama identsed avaldised, seejärel võtame selle sulg ühiseks teguriks edasi ja korrutame selle saadud jagatise suuga.

Korrutage polünoomi $2a^3-a^2+4a-2$

Selle polünoomi lagundamiseks kasutame terminite rühmitamise meetodit, selleks rühmitame kaks esimest ja kaks viimast liiget ning oluline on panna märk õigesti teise rühmituse ette, paneme + märgi ja seetõttu kirjuta terminid koos nende märkidega sulgudes.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Pärast renderdamist ühised tegurid sai paar identset sulgu. Nüüd võtame selle klambri ühise tegurina välja.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Nende sulgude korrutis on faktoriseerimise lõpptulemus.

Ruuttrinoomvalemi kasutamine.

Kui see on olemas ruuttrinoom kujul $ax^2+bx+c$, siis saab seda valemi järgi laiendada

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kus $x_1$ ja $x_2$ on ruuttrinoomi juured

Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.

a) Lahenda võrrand: .

b) Märkige selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti.

Probleemi lahendus

See õppetund näitab, kuidas õigesti kasutada asendust eksponentsiaalvõrrandis, kuidas lahendada lihtsaimat trigonomeetrilist võrrandit ja määrata selle teatud intervalli kuuluvad juured. Ülesande esimene osa on eksponentsiaalvõrrandi lahendamine. Selleks tehakse asendus ja saadakse murdratsionaalvõrrand, mille lahendamine on võimalik mitmel viisil: taandamine ruutvõrrandiks või valik. IN sel juhul mõlemad meetodid on vastuvõetavad, kuna võrrand pole kuigi keeruline. Peale juurte saamist teostame pöördasenduse ja saame kaks lihtsat trigonomeetrilist võrrandit kujul sina=t. Selle võrrandi juured leitakse standardsete valemite abil. Lahenduses olevate lisajuurte määramiseks on kõige optimaalsem kasutada ühikringi, millele on märgitud võrrandi juured. Nii saame ühine otsus võrrandid – ülesande punkti a) vastus. Punkti b) vastamiseks on vaja õigesti arvesse võtta tühimikku ja arvutada juured. Sel juhul on seda väga lihtne teha, kuna siinuse ja koosinuse perioodilisuse abil on lihtne märkida kõik juured ja leida nende väärtust siinuse ja koosinuse perioodilisuse abil (ei tohiks unustada, et siinuse ja koosinuse periood on 2π) . Lahendus on kätte saadud.

Selle ülesande lahendus on soovitatav 10. klassi õpilastele teema „Trigonomeetrilised võrrandid“ („Arcsine“, „Arcsine ja võrrandi sina=t lahendus“) õppimisel; 11. klassi õpilastele teema “Eksponent- ja logaritmfunktsioonid” õppimisel (“ Eksponentfunktsioon, selle omadused. Lihtsamad eksponentsiaalvõrrandid", "Eksponentvõrrandid"). Ühtse riigieksamiks valmistumisel on tund soovitatav korrata teemasid “Trigonomeetrilised võrrandid”, “Eksponent- ja logaritmfunktsioonid”.

Seotud väljaanded