See veebikalkulaator on loodud funktsiooni faktoriseerimiseks.

Näiteks faktoriseerige: x 2 /3-3x+12 . Kirjutame selle kujul x^2/3-3*x+12 . Võite kasutada ka seda teenust, kus kõik arvutused salvestatakse Wordi vormingus.

Näiteks lagundage terminiteks. Kirjutame selle kujul (1-x^2)/(x^3+x) . Lahenduse edenemise vaatamiseks klõpsake nuppu Kuva sammud . Kui teil on vaja saada tulemus Wordi vormingus, kasutage seda teenust.

Märge: arv "pi" (π) kirjutatakse pi ; ruutjuur kui sqrt , nt sqrt(3) , tg puutuja kirjutatakse tan . Vastuse saamiseks vaadake jaotist Alternatiiv.

1. Kui on antud lihtne avaldis, näiteks 8*d+12*c*d , siis avaldise faktoriseerimine tähendab avaldise faktoriseerimist. Selleks peate leidma ühised tegurid. Kirjutame selle avaldise järgmiselt: 4*d*(2+3*c) .
2. Väljendage korrutist kahe binoomina: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Siin peame juba leidma mitmeid ühiseid tegureid: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Võtame välja (x+7z) ja saame: (x+7z)(x + 3y) .

vaata ka Polünoomide jagamine nurgaga (näidatud on kõik veeruga jagamise etapid)

Kasulik on faktoriseerimise reeglite õppimisel lühendatud korrutusvalemid, mille abil saab selgeks, kuidas ruuduga sulgusid avada:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringmeetodid

Pärast mõne triki õppimist faktoriseerimine Lahendusi saab liigitada järgmiselt:

1. Lühendatud korrutusvalemite kasutamine.
2. Otsige ühist tegurit.

Faktoriseerimiseks on vaja avaldisi lihtsustada. See on vajalik selleks, et oleks võimalik veelgi vähendada. Polünoomi dekomponeerimine on mõttekas, kui selle aste ei ole teisest madalam. Esimese astmega polünoomi nimetatakse lineaarseks.

Artikkel paljastab kõik lagunemise mõisted, teoreetiline alus ja meetodid polünoomi faktoriseerimiseks.

teooria

1. teoreem

Kui mis tahes polünoom astmega n on kujul P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , esitatakse korrutisena konstantse teguriga kõrgeima astmega a n ja n lineaarset tegurit (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , siis P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kus x i , i = 1 , 2 , … , n - need on polünoomi juured.

Teoreem on mõeldud komplekstüüpi x i, i = 1, 2, …, n juurtele ja komplekskordajatele a k, k = 0, 1, 2, …, n. See on igasuguse lagunemise aluseks.

Kui koefitsiendid kujul a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n on reaalarvud, siis esinevad kompleksjuured konjugeeritud paarides. Näiteks juured x 1 ja x 2, mis on seotud polünoomiga kujul P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 loetakse komplekskonjugaadiks, siis teised juured on reaalsed, seega saame, et polünoom võtab kuju P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kus x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommenteeri

Polünoomi juuri saab korrata. Mõelge algebra teoreemi tõestusele, Bezouti teoreemi tagajärgedele.

Algebra fundamentaalteoreem

2. teoreem

Igal polünoomil astmega n on vähemalt üks juur.

Bezouti teoreem

Pärast polünoomi kujul P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + jagamist. . . + a 1 x + a 0 (x - s) , siis saame jäägi, mis võrdub polünoomiga punktis s , siis saame

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kus Q n - 1 (x) on polünoom astmega n - 1.

Järeldus Bezouti teoreemist

Kui polünoomi P n (x) juureks loetakse s , siis P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Sellest järeldusest piisab lahenduse kirjeldamiseks.

Ruuttrinoomi faktoriseerimine

Ruuttrinoomi kujul a x 2 + b x + c saab arvestada lineaarseteks teguriteks. siis saame, et a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kus x 1 ja x 2 on juured (komplekssed või reaalsed).

See näitab, et lagunemine ise taandub hiljem ruutvõrrandi lahendamiseks.

Näide 1

Teguriseeri ruudu kolmik.

Lahendus

On vaja leida võrrandi 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 juured. Selleks peate valemi järgi leidma diskriminandi väärtuse, siis saame D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Seetõttu on meil see

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Siit saame, et 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Kontrolli teostamiseks peate avama sulgud. Siis saame vormi avaldise:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Pärast kontrollimist jõuame algse väljendini. See tähendab, et võime järeldada, et laiendamine on õige.

Näide 2

Teguriseerige ruudukujuline trinoom kujul 3 x 2 - 7 x - 11 .

Lahendus

Saame, et on vaja arvutada saadud ruutvõrrand kujul 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Juurte leidmiseks peate määrama diskriminandi väärtuse. Me saame sellest aru

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Siit saame, et 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Näide 3

Teguristage polünoom 2 x 2 + 1.

Lahendus

Nüüd peate lahendama ruutvõrrandi 2 x 2 + 1 = 0 ja leidma selle juured. Me saame sellest aru

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Neid juuri nimetatakse komplekskonjugaadiks, mis tähendab, et lagunemist ennast saab esitada kujul 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Näide 4

Laiendage ruutkolminoomi x 2 + 1 3 x + 1 .

Lahendus

Kõigepealt peate lahendama ruutvõrrandi kujul x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ja leidma selle juured.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Olles saanud juured, kirjutame

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Kommenteeri

Kui diskriminandi väärtus on negatiivne, jäävad polünoomid teist järku polünoomideks. Sellest järeldub, et me ei jaga neid lineaarseteks teguriteks.

Teisest kõrgema astme polünoomi faktoriseerimise meetodid

Lagundamine eeldab universaalset meetodit. Enamik juhtumeid põhinevad Bezouti teoreemi järelduval. Selleks peate valima juure väärtuse x 1 ja alandama selle astet, jagades polünoomiga 1, jagades arvuga (x - x 1) . Saadud polünoom peab leidma juure x 2 ja otsinguprotsess on tsükliline, kuni saame täieliku lagunemise.

Kui juurt ei leita, kasutatakse muid faktoriseerimise meetodeid: rühmitamist, lisatermineid. See teema eeldab võrrandite lahendamist kõrgemad kraadid ja täisarvu koefitsiendid.

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Vaatleme juhust, kui vaba liige on võrdne nulliga, siis saab polünoomi kujuks P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

On näha, et sellise polünoomi juur on võrdne x 1 \u003d 0, siis saate polünoomi esitada avaldise kujul P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Seda meetodit peetakse ühise teguri sulgudest välja jätmiseks.

Näide 5

Teguriseeri kolmanda astme polünoom 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Lahendus

Näeme, et x 1 \u003d 0 on antud polünoomi juur, siis saame x kogu avaldisest välja sulgudes. Saame:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Liigume edasi ruudukujulise trinoomi 4 x 2 + 8 x - 1 juurte leidmisega. Leiame diskrimineerija ja juured:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Siis järgneb sellest

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Alustuseks võtame vaatluse alla dekomponeerimismeetodi, mis sisaldab täisarvu koefitsiente kujul P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kus suurima võimsuse koefitsient on 1 .

Kui polünoomil on täisarvu juured, peetakse neid vaba liikme jagajateks.

Näide 6

Laiendage avaldist f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Lahendus

Mõelge, kas on täisarvu juuri. On vaja välja kirjutada arvu jagajad - 18. Saame ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 ± 18 . Sellest järeldub, et sellel polünoomil on täisarvu juured. Saate kontrollida Horneri skeemi järgi. See on väga mugav ja võimaldab kiiresti saada polünoomi laienduskoefitsiente:

Sellest järeldub, et x \u003d 2 ja x \u003d - 3 on algse polünoomi juured, mida saab esitada vormi korrutisena:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Pöördume kuju x 2 + 2 x + 3 ruuttrinoomi dekomponeerimise poole.

Kuna diskriminant on negatiivne, tähendab see, et tegelikke juuri pole.

Vastus: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommenteeri

Horneri skeemi asemel on lubatud kasutada juurevalikut ja polünoomi polünoomiga jagamist. Jätkame sellise polünoomi laiendusega, mis sisaldab täisarvu koefitsiente kujul P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , millest kõrgeim ei võrdu ühega.

See juhtum toimub murdarvuliste ratsionaalsete murdude puhul.

Näide 7

Faktoriseeri f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Lahendus

Muutuja y = 2 x muutmine on vajalik, tuleks minna polünoomile, mille koefitsiendid on kõrgeimal astmel 1. Alustuseks peate avaldise korrutama 4-ga. Me saame sellest aru

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kui saadud funktsioonil kujul g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 on täisarvulised juured, siis on nende leid vaba liikme jagajate hulgas. Kirje näeb välja selline:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Jätkame funktsiooni g (y) arvutamisega nendes punktides, et saada tulemuseks null. Me saame sellest aru

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Saame, et y \u003d - 5 on vormi y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 võrrandi juur, mis tähendab, et x \u003d y 2 \u003d - 5 2 on algfunktsiooni juur.

Näide 8

On vaja jagada veeruga 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ga.

Lahendus

Kirjutame ja saame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Jagajate kontrollimine võtab palju aega, seetõttu on tulusam teha saadud ruudukujulise kolmiku vormi x 2 + 7 x + 3 faktoriseerimine. Võrdstades nulliga, leiame diskriminandi.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Sellest järeldub

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Kunstlikud nipid polünoomi faktoriseerimisel

Ratsionaaljuured ei ole omased kõikidele polünoomidele. Selleks peate tegurite leidmiseks kasutama spetsiaalseid meetodeid. Kuid mitte kõiki polünoome ei saa lagundada ega korrutisena esitada.

Rühmitamise meetod

On juhtumeid, kus saab polünoomi tingimusi rühmitada, et leida ühine tegur ja see sulgudest välja võtta.

Näide 9

Teguriseerige polünoom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Lahendus

Kuna koefitsiendid on täisarvud, võivad juured oletatavasti olla ka täisarvud. Kontrollimiseks võtame nendes punktides polünoomi väärtuse arvutamiseks väärtused 1 , - 1 , 2 ja - 2. Me saame sellest aru

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

See näitab, et juured puuduvad, on vaja kasutada teistsugust lagunemis- ja lahendusmeetodit.

Rühmitamine on vajalik:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Pärast algse polünoomi rühmitamist on vaja seda esitada kahe ruuttrinoomi korrutisena. Selleks peame faktoriseerima. me saame sellest aru

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommenteeri

Rühmitamise lihtsus ei tähenda, et terminite valimine oleks piisavalt lihtne. Selle lahendamiseks pole kindlat viisi, seetõttu on vaja kasutada spetsiaalseid teoreeme ja reegleid.

Näide 10

Teguriseerige polünoom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Lahendus

Antud polünoomil pole täisarvujuuri. Terminid tuleks rühmitada. Me saame sellest aru

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Pärast faktooringut saame selle kätte

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Kasutades polünoomi faktoriseerimiseks lühendatud korrutamist ja Newtoni binoomvalemeid

Välimus ei anna sageli alati selgeks, millist teed lagunemise ajal kasutada. Pärast teisenduste tegemist saate koostada Pascali kolmnurgast koosneva sirge, vastasel juhul nimetatakse neid Newtoni binoomideks.

Näide 11

Teguriseerige polünoom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Lahendus

Avaldis on vaja teisendada vormiks

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sulgudes oleva summa kordajate jada tähistatakse avaldisega x + 1 4 .

Seega on meil x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Pärast ruutude erinevuse rakendamist saame

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Mõelge avaldisele, mis on teises sulgus. Selge see, et hobuseid seal pole, seega tuleks uuesti rakendada ruutude vahe valemit. Saame väljendi nagu

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Näide 12

Faktoriseeri x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Lahendus

Muudame väljendit. Me saame sellest aru

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

On vaja rakendada kuubikute erinevuse lühendatud korrutamise valemit. Saame:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Meetod muutuja asendamiseks polünoomi faktoriseerimisel

Muutuja muutmisel astet vähendatakse ja polünoom faktoriseeritakse.

Näide 13

Teguristada polünoom kujul x 6 + 5 x 3 + 6 .

Lahendus

Tingimuse järgi on selge, et on vaja teha asendus y = x 3 . Saame:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Saadud ruutvõrrandi juured on y = - 2 ja y = - 3, siis

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

On vaja rakendada kuubikute summa lühendatud korrutamise valemit. Saame vormi avaldised:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

See tähendab, et oleme saavutanud soovitud laienduse.

Eespool käsitletud juhtumid aitavad polünoomi mitmel viisil arvesse võtta ja arvesse võtta.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Klass: 9

Tunni tüüp: teadmiste kinnistamise ja süstematiseerimise tund.

Tunni tüüp: Teadmiste ja tegevusmeetodite kontrollimine, hindamine ja korrigeerimine.

Eesmärgid:

• Hariduslik:

- arendada õpilastes oskust lagundada ruuttrinoomi teguriteks;
- teadmiste kinnistamine erinevate ülesannete lahendamise protsessis teatud teemal;
– matemaatilise mõtlemise kujundamine;
- tõsta käsitletava materjali kordamise käigus huvi aine vastu.

Hariduslik:

- organiseerimis-, keskendumisalane haridus;
- positiivse suhtumise edendamine õppimisse;
- uudishimu kasvatamine.

Arendamine:

- arendada enesekontrolli võimet;
- arendada töö ratsionaalse planeerimise oskust;
- iseseisvuse, tähelepanu arendamine.

Varustus: didaktiline materjal suuliseks tööks, iseseisvaks tööks, testülesanded teadmiste kontrollimiseks, kaardid kodutöödega, algebra õpik Yu.N. Makarychev.

Tunniplaan.

Tunni etapid	Aeg, min	Tehnikad ja meetodid
I. Teadmiste täiendamise etapp. Motivatsioon õppimisprobleemiks	2	Õpetaja vestlus
II. Tunni põhisisu Õpilaste ideede kujundamine ja kinnistamine ruuttrinoomi teguriteks faktoriks arvutamise valemi kohta.	10	Õpetaja selgitus. Heuristiline vestlus
III. Oskuste ja vilumuste kujunemine. Õpitud materjali koondamine	25	Probleemi lahendamine. Vastused õpilaste küsimustele
IV. Teadmiste assimilatsiooni kontrollimine. Peegeldus	5	Õpetaja sõnum. Tudengisõnum
V. Kodutöö	3	Ülesanne kaartidel

Tundide ajal

I. Teadmiste täiendamise etapp. Haridusprobleemi motiveerimine.

Aja organiseerimine.

Tänases tunnis üldistame ja süstematiseerime teadmisi teemal “Ruudutrinoomi faktoriseerimine”. Erinevaid harjutusi tehes tuleks enda jaoks üles märkida punktid, millele võrrandite ja praktiliste ülesannete lahendamisel tuleb erilist tähelepanu pöörata. See on eksamiks valmistumisel väga oluline.
Kirjuta üles tunni teema: „Ruudutrinoomi faktoriseerimine. Lahendusnäited.

II. Tunni põhisisuÕpilaste ideede kujundamine ja kinnistamine ruuttrinoomi teguriteks faktoriks arvutamise valemi kohta.

suuline töö.

- Ruuttrinoomi edukaks faktoriseerimiseks tuleb meeles pidada nii diskriminandi leidmise valemid kui ruutvõrrandi juurte leidmise valemid, ruuttrinoomi faktoriseerimise valem ja need praktikasse rakendada.

1. Vaadake kaarte „Jätka või lõpeta väljavõte”.

2. Vaata tahvlit.

1. Milline pakutud polünoomidest ei ole ruut?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Defineerige ruudukujuline trinoom. Määratlege ruudukujulise trinoomi juur.

2. Milline valemitest ei ole ruutvõrrandi juurte arvutamise valem?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Leia kolmikruudu - 2 koefitsiendid a, b, c X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Milline valemitest on ruutvõrrandi juurte arvutamise valem

x2 + px + q= 0 Vieta teoreemi järgi?

1) x 1 + x 2 =p,
xüks · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
xüks · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
xüks · x 2 = – q .

5. Laienda ruudukujulist trinoomi X 2 – 11x + 18 kordajate jaoks.

Vastus:( X – 2)(X – 9)

6. Laienda ruudukujulist trinoomi juures 2 – 9y + 20 kordajate jaoks

Vastus:( X – 4)(X – 5)

III. Oskuste ja vilumuste kujunemine. Õpitud materjali koondamine.

1. Teguriseerige ruudu kolmik:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
kell 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktooring aitab meid murdude vähendamisel.

3. Otsige ruuttrinoomi juured ilma juurvalemit kasutamata:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Koostage ruudukujuline trinoom, mille juured on arvud:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Iseseisev töö.

Täitke ülesanne iseseisvalt vastavalt valikutele, millele järgneb kontrollimine. Esimesele kahele ülesandele tuleb vastata "jah" või "ei". Igast variandist kutsutakse üks õpilane (töötavad tahvli revääridel). Pärast iseseisva töö tegemist tahvlil viiakse läbi lahenduse ühine kontroll. Õpilased hindavad oma tööd.

1. variant:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Arv 2 on võrrandi x 2 + 3x - 10 = 0 juur.

3. Tegutsege ruudukujuline kolmik teguriks 6 x 2 – 5x + 1;

2. variant:

1.D>0. Võrrandil on 2 juurt.

2. Arv 3 on ruutvõrrandi x 2 - x - 12 = 0 juur.

3. Jagage ruuttrinoom teguriteks 2 X 2 – 5x + 3

IV. Teadmiste assimilatsiooni kontrollimine. Peegeldus.

– Tund näitas, et tunned selle teema teoreetilist algmaterjali. Oleme teadmised kokku võtnud

Interneti-kalkulaator.
Binoomi ruudu valimine ja ruuttrinoomi faktoriseerimine.

See matemaatikaprogramm eraldab binoomi ruudu ruuttrinoomist, st. muudab vormi:
\(ax^2+bx+c \paremnool a(x+p)^2+q \) ja kordab ruudu kolminoomi: \(ax^2+bx+c \paremnool a(x+n)(x+m) \)

Need. ülesanded on taandatud arvude \(p, q \) ja \(n, m \) leidmisele

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahendusprotsessi.

See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele valmistumisel kontrolltööd ja eksamid, enne eksamit teadmiste kontrollimisel vanemad kontrollivad paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Sel viisil saate ise koolitust läbi viia ja/või oma koolitust läbi viia nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate ülesannete vallas tõuseb.

Kui te ei ole kursis ruudukujulise trinoomi sisestamise reeglitega, soovitame teil nendega tutvuda.

Ruutpolünoomi sisestamise reeglid

Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Arve saab sisestada täisarvude või murdudena.
Veelgi enam, murdarvu saab sisestada mitte ainult kümnendkoha, vaid ka tavalise murru kujul.

Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Kümnendmurdudes võib murdosa täisarvust eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendkohad järgmiselt: 2,5x - 3,5x^2

Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.

Nimetaja ei saa olla negatiivne.

Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Täisarvu osa eraldatakse murdosast ampersandiga: &
Sisend: 3&1/3 – 5&6/5x +1/7x^2
Tulemus: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Väljendi sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul lahendamisel esmalt lihtsustatakse sissetoodud avaldist.
Näiteks: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Üksikasjalik lahendusnäide

Binoomi ruudu valik.$$ ax^2+bx+c \paremnool a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Vastus:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktoriseerimine.$$ ax^2+bx+c \paremnool a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Vastus:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Otsustama

Leiti, et mõned selle ülesande lahendamiseks vajalikud skriptid ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Ruutbinoomi eraldamine ruuttrinoomist

Kui ruutkolminoomi telg 2 + bx + c on esitatud kui (x + p) 2 + q, kus p ja q on reaalarvud, siis öeldakse, et alates ruudu kolmik, binoom ruut on esile tõstetud.

Eraldame trinoomist 2x 2 +12x+14 binoomarvu ruudu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Selleks esitame 6x korrutisena 2 * 3 * x ning seejärel liidame ja lahutame 3 2 . Saame:
$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

See. meie valis kolmikruudust binoom ruudu ja näitas, et:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Ruuttrinoomi faktoriseerimine

Kui kolmikruudu telg 2 +bx+c on esitatud kujul a(x+n)(x+m), kus n ja m on reaalarvud, siis öeldakse, et tehe sooritatakse ruudukujulise trinoomi faktorisatsioonid.

Näitame näite abil, kuidas seda teisendust tehakse.

Teguriseerime ruudu trinoomi 2x 2 +4x-6.

Võtame koefitsiendi a sulgudest välja, s.t. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Teisendame sulgudes oleva avaldise.
Selleks esitame 2x erinevusena 3x-1x ja -3 kui -1*3. Saame:
$$ = 2(x^2+3 \cpunkt x -1 \cpunkt x -1 \cpunkt 3) = 2(x(x+3)-1 \cpunkt (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

See. meie faktoriseerida ruudu kolmik ja näitas, et:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Pange tähele, et ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine on võimalik ainult siis, kui sellele trinoomile vastaval ruutvõrrandil on juured.
Need. meie puhul on trinoomi 2x 2 +4x-6 faktoriseerimine võimalik, kui ruutvõrrandil 2x 2 +4x-6 =0 on juured. Faktooringu käigus leidsime, et võrrandil 2x 2 +4x-6 =0 on kaks juurt 1 ja -3, sest nende väärtustega muutub võrrand 2(x-1)(x+3)=0 tõeliseks võrduseks.

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE testide kokkuvõtted võrgus Mängud, mõistatused Funktsioonide graafik Vene keele õigekirjasõnastik Noorte slängi sõnaraamat Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu

Maailm on sukeldunud tohututesse numbritesse. Kõik arvutused toimuvad nende abiga.

Inimesed õpivad numbreid selleks, et hilisemas elus mitte sattuda pettuse alla. Harimiseks ja oma eelarve arvutamiseks on vaja pühendada tohutult aega.

Kokkupuutel

Matemaatika on täppisteadus, millel on elus suur roll. Koolis õpivad lapsed numbreid ja seejärel nendega toiminguid.

Toimingud numbritega on täiesti erinevad: korrutamine, laiendamine, liitmine ja muud. Matemaatika õppes kasutatakse lisaks lihtsatele valemitele ka keerulisemaid tegevusi. Seal on tohutult palju valemeid, mille järgi on teada mis tahes väärtused.

Koolis lisatakse algebra ilmumisel õpilase ellu lihtsustusvalemid. On võrrandeid, kui on kaks tundmatut arvu, kuid leidke lihtsal viisil ei tööta. Trinoom on kolme monoomi kombinatsioon, kasutades lihtsat lahutamise ja liitmise meetodit. Trinoom lahendatakse Vieta teoreemi ja diskriminandi abil.

Ruuttrinoomi teguriteks faktoorimise valem

On kaks õiget ja lihtsaid lahendusi näide:

• diskrimineeriv;
• Vieta teoreem.

Ruuttrinoomil on tundmatu ruudus, samuti arv ilma ruuduta. Esimene võimalus probleemi lahendamiseks kasutab Vieta valemit. seda lihtne valem kui teadmata ette tulevad numbrid on miinimumväärtus.

Teiste võrrandite puhul, kus arv on tundmatu ees, tuleb võrrand lahendada diskriminandi kaudu. See on keerulisem lahendus, kuid diskriminanti kasutatakse palju sagedamini kui Vieta teoreemi.

Esialgu on võrrandi kõigi muutujate leidmiseks vaja näide tõsta 0. Näite lahendust saab kontrollida ja teada saada, kas arvud on õigesti korrigeeritud.

Diskrimineeriv

1. Võrrand on vaja võrdsustada 0-ga.

2. Iga arvu enne x nimetatakse numbriteks a, b, c. Kuna enne esimest ruutu x pole arvu, võrdub see 1-ga.

3. Nüüd algab võrrandi lahendamine läbi diskriminandi:

4. Nüüd oleme leidnud diskriminandi ja leiame kaks x. Erinevus seisneb selles, et ühel juhul eelneb b-le pluss ja teisel juhul miinus:

5. Kahe arvu lahendamisel selgus -2 ja -1. Asendage algse võrrandi all:

6. Selles näites on kaks õiget valikut. Kui mõlemad lahendused on õiged, on igaüks neist tõene.

Lahendage diskriminandi ja muu kaudu kompleksvõrrand. Aga kui diskriminandi enda väärtus on väiksem kui 0, siis on näide vale. Otsingus olev diskriminant on alati juure all ja negatiivne väärtus ei saa olla juures.

Vieta teoreem

Seda kasutatakse lihtsate ülesannete lahendamiseks, kus esimesele x-ile ei eelne arvu, st a=1. Kui valik sobib, tehakse arvutus Vieta teoreemi kaudu.

Mis tahes trinoomi lahendamiseks võrrandit on vaja tõsta 0-ni. Diskriminandi ja Vieta teoreemi esimesed sammud on samad.

2. Nüüd on nende kahe meetodi vahel erinevusi. Vieta teoreem ei kasuta mitte ainult "kuiva" arvutust, vaid ka loogikat ja intuitsiooni. Igal numbril on oma täht a, b, c. Teoreem kasutab kahe arvu summat ja korrutist.

Pea meeles! Arv b liidetakse alati vastupidise märgiga ja arv c jääb muutumatuks!

Andmeväärtuste asendamine näites , saame:

3. Kasutades loogikameetodit, asendame sobivaimad arvud. Kaaluge kõiki võimalikke lahendusi:

1. Arvud on 1 ja 2. Lisades saame 3, aga korrutades ei saa 4. Ei sobi.
2. Väärtus 2 ja -2. Korrutades on see -4, aga liitmisel selgub 0. Ei sobi.
3. Numbrid 4 ja -1. Kuna korrutis sisaldab negatiivset väärtust, tähendab see, et üks arvudest on miinusega. Sobib liitmiseks ja korrutamiseks. Õige variant.

4. Jääb vaid numbrite paika pannes kontrollida ja vaadata, kas valitud variant on õige.

5. Tänu veebikontrollile saime teada, et -1 ei vasta näite tingimusele, mis tähendab, et see on vale lahendus.

Näites negatiivse väärtuse lisamisel tuleb arv sulgudesse panna.

Matemaatikas on alati lihtsaid ja raskeid ülesandeid. Teadus ise sisaldab mitmesuguseid probleeme, teoreeme ja valemeid. Kui mõistate ja õigesti rakendate teadmisi, on kõik arvutustega seotud raskused tühised.

Matemaatika ei vaja pidevat päheõppimist. Peate õppima lahendust mõistma ja õppima paar valemit. Järk-järgult, vastavalt loogilistele järeldustele, on võimalik lahendada sarnaseid ülesandeid, võrrandeid. Selline teadus võib esmapilgul tunduda väga raske, kuid kui sukelduda numbrite ja ülesannete maailma, muutub vaade dramaatiliselt paremaks.

Tehnilised erialad jäävad alati maailma ihaldatuimaks. Nüüd maailmas kaasaegsed tehnoloogiad Matemaatikast on saanud mis tahes valdkonna asendamatu atribuut. Peate alati meeles pidama kasulikud omadused matemaatika.

Trinoomi dekomponeerimine sulgudega

Lisaks tavapärastel viisidel lahendamisele on veel üks – sulgudesse lagundamine. Kasutatakse Vieta valemiga.

1. Võrdsusta võrrand 0-ga.

kirves 2 + bx+ c= 0

2. Võrrandi juured jäävad samaks, kuid nulli asemel kasutavad nad nüüd sulgude laiendusvalemeid.

kirves 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Lahendus x=-1, x=3