Funkcijas atvasinājuma ekstrēmums. Kā atrast funkcijas ekstrēmu (minimālo un maksimālo punktu). Nepieciešams nosacījums funkcijas ekstremitātei

Nododot šīs nevienādības līdz robežai kā Δ x→ 0 un ņemot vērā, ka atvasinājums f "(x 0) pastāv, un līdz ar to ierobežojums kreisajā pusē nav atkarīgs no tā, kā Δ x→ 0, mēs iegūstam: par Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 un pie Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Kopš f"(x 0) definē skaitli, tad šīs divas nevienādības ir savietojamas tikai tad, ja f"(x 0) = 0.

Pierādītā teorēma nosaka, ka maksimālais un minimālais punkts var būt tikai starp tām argumenta vērtībām, kurām atvasinājums pazūd.

Mēs esam aplūkojuši gadījumu, kad funkcijai ir atvasinājums visos noteikta segmenta punktos. Kas notiek, ja atvasinājums neeksistē? Apsveriet piemērus.

y=|x|.

Funkcijai nav atvasinājuma punktā x=0 (šajā brīdī funkcijas grafikam nav noteiktas pieskares), bet šajā brīdī funkcijai ir minimums, jo y(0)=0 un visiem x≠ 0y > 0.

Līdz ar to no dotajiem piemēriem un formulētās teorēmas ir skaidrs, ka funkcijai ekstrēmums var būt tikai divos gadījumos: 1) punktos, kur eksistē atvasinājums un ir vienāds ar nulli; 2) vietā, kur atvasinājums nepastāv.

Tomēr, ja kādā brīdī x 0 mēs to zinām f"(x 0 ) =0, tad no tā nevar secināt, ka punktā x 0 funkcijai ir galējība.

Piemēram.

Bet punkts x=0 nav galējais punkts, jo pa kreisi no šī punkta funkcijas vērtības atrodas zem ass Vērsis, un augšpusē labajā pusē.

Argumenta vērtības no funkcijas domēna, kurai funkcijas atvasinājums pazūd vai neeksistē, sauc kritiskie punkti.

No iepriekš minētā izriet, ka funkcijas galējie punkti ir starp kritiskajiem punktiem, un tomēr ne katrs kritiskais punkts ir galējais punkts. Tāpēc, lai atrastu funkcijas galējību, ir jāatrod visi funkcijas kritiskie punkti un pēc tam katrs no šiem punktiem atsevišķi jāpārbauda maksimālais un minimums. Šim nolūkam kalpo šāda teorēma.

Teorēma 2. (Pietiekams nosacījums ekstrēmuma pastāvēšanai.) Lai funkcija ir nepārtraukta kādā intervālā, kas satur kritisko punktu x 0 , un ir diferencējams visos šī intervāla punktos (izņemot, iespējams, pašu punktu x 0). Ja, izejot no kreisās puses uz labo caur šo punktu, atvasinājums maina zīmi no plusa uz mīnusu, tad punktā x = x 0 funkcijai ir maksimums. Ja, ejot cauri x 0 no kreisās puses uz labo, atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tad funkcijai šajā brīdī ir minimums.

Tādējādi, ja

f"(x)>0 plkst x<x 0 un f"(x)< 0 plkst x > x 0, tad x 0 - maksimālais punkts;

Pierādījums. Vispirms pieņemsim, ka, ejot cauri x 0, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, t.i. visiem x tuvu punktam x 0 f "(x)> 0 par x< x 0 , f"(x)< 0 par x > x 0 . Atšķirībai piemērosim Lagranža teorēmu f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kur c atrodas starp x Un x 0 .

Ļaujiet būt x< x 0 . Tad c< x 0 un f "(c)> 0. Tāpēc f "(c)(x-x 0)< 0 un tāpēc

f(x) - f(x 0 )< 0, t.i. f(x)< f(x 0 ).

Ļaujiet būt x > x 0 . Tad c>x 0 un f"(c)< 0. Līdzekļi f "(c)(x-x 0)< 0. Tāpēc f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Tādējādi visām vērtībām x pietiekami tuvu x 0 f(x)< f(x 0 ) . Un tas nozīmē, ka brīdī x 0 funkcijai ir maksimums.

Līdzīgi tiek pierādīta arī minimālās teorēmas otrā daļa.

Ilustrēsim šīs teorēmas nozīmi attēlā. Ļaujiet būt f"(x 1 ) =0 un jebkuram x, pietiekami tuvu x 1 , nevienlīdzības

f"(x)< 0 plkst x< x 1 , f "(x)> 0 plkst x > x 1 .

Pēc tam pa kreisi no punkta x 1 funkcija palielinās, bet labajā pusē samazinās, tāpēc, kad x = x 1 funkcija pāriet no pieaugošas uz samazināšanos, tas ir, tai ir maksimums.

Līdzīgi var apsvērt punktus x 2 un x 3 .

Shematiski visu iepriekš minēto var attēlot attēlā:

Noteikums funkcijas y=f(x) izpētei ekstrēmumam

Atrodiet funkcijas darbības jomu f(x).

Atrodiet funkcijas pirmo atvasinājumu f"(x).

Šim nolūkam nosakiet kritiskos punktus:

atrodiet vienādojuma īstās saknes f"(x)=0;

atrast visas vērtības x saskaņā ar kuru atvasinājums f"(x) neeksistē.

Nosakiet atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no kritiskā punkta. Tā kā atvasinājuma zīme paliek nemainīga starp diviem kritiskajiem punktiem, pietiek ar to, lai noteiktu atvasinājuma zīmi jebkurā punktā pa kreisi un vienā punktā pa labi no kritiskā punkta.

Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

Lai noteiktu funkcijas būtību un runātu par tās uzvedību, ir jāatrod pieauguma un samazināšanās intervāli. Šo procesu sauc par funkciju izpēti un grafiku. Ekstrēmuma punkts tiek izmantots, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības, jo tās palielina vai samazina funkciju no intervāla.

Šis raksts atklāj definīcijas, formulējam pietiekamu pieauguma un samazināšanās zīmi uz intervāla un nosacījuma ekstrēma esamībai. Tas attiecas uz piemēru un problēmu risināšanu. Sadaļa par funkciju diferenciāciju jāatkārto, jo risinot būs jāizmanto atvasinājuma atrašana.

Funkcija y = f (x) palielinās intervālā x, kad jebkuram x 1 ∈ X un x 2 ∈ X , x 2 > x 1 būs iespējama nevienādība f (x 2) > f (x 1). Citiem vārdiem sakot, lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai.

2. definīcija

Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f (x) samazinās intervālā x, ja jebkuram x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 tiek ņemta vērā vienādība f (x 2) > f (x 1) iespējams. Citiem vārdiem sakot, lielāka funkcijas vērtība atbilst mazākai argumenta vērtībai. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

komentēt: Ja funkcija ir definēta un nepārtraukta augošā un dilstošā intervāla galos, t.i. (a; b) kur x = a, x = b, punkti tiek iekļauti augošā un dilstošā intervālā. Tas nav pretrunā ar definīciju, kas nozīmē, ka tas notiek intervālā x.

Tipa y = sin x elementāro funkciju galvenās īpašības ir noteiktība un nepārtrauktība argumentu reālajām vērtībām. No šejienes mēs iegūstam, ka sinusa pieaugums notiek intervālā - π 2; π 2, tad segmenta pieaugumam ir forma - π 2; π 2 .

Tiek izsaukts punkts x 0 maksimālais punkts funkcijai y = f (x), ja visām x vērtībām nevienādība f (x 0) ≥ f (x) ir patiesa. Maksimālā funkcija ir funkcijas vērtība punktā, un to apzīmē ar y m a x .

Punktu x 0 sauc par funkcijas y \u003d f (x) minimālo punktu, ja visām x vērtībām nevienādība f (x 0) ≤ f (x) ir patiesa. Funkcijas minimums ir funkcijas vērtība punktā, un tai ir formas y m i n apzīmējums.

Tiek aplūkotas punkta x 0 apkārtnes ekstremālie punkti, un funkcijas vērtība, kas atbilst galējiem punktiem. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Funkcijas ekstrēma ar lielāko un mazāko funkcijas vērtību. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Pirmajā attēlā teikts, ka ir jāatrod lielākā funkcijas vērtība no segmenta [ a ; b]. Tas tiek atrasts, izmantojot maksimālos punktus un ir vienāds ar funkcijas maksimālo vērtību, un otrais skaitlis vairāk atgādina maksimālā punkta atrašanu pie x = b.

Pietiekami apstākļi funkciju palielināšanai un samazināšanai

Lai atrastu funkcijas maksimumus un minimumus, ir jāpiemēro ekstrēma zīmes gadījumā, ja funkcija atbilst šiem nosacījumiem. Pirmā funkcija ir visizplatītākā.

Pirmais pietiekošais nosacījums ekstrēmam

Dota funkcija y = f (x), kas ir diferencējama punkta x 0 apkārtnē ε un ir kontinuitāte dotajā punktā x 0 . Tāpēc mēs to saņemam

• kad f "(x) > 0 ar x ∈ (x 0 - ε; x 0) un f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kad f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , tad x 0 ir minimālais punkts.

Citiem vārdiem sakot, mēs iegūstam viņu zīmju iestatīšanas nosacījumus:

• kad funkcija ir nepārtraukta punktā x 0, tad tai ir atvasinājums ar mainīgu zīmi, tas ir, no + līdz -, kas nozīmē, ka punktu sauc par maksimumu;
• kad funkcija ir nepārtraukta punktā x 0, tad tai ir atvasinājums ar mainīgu zīmi no - uz +, kas nozīmē, ka punktu sauc par minimumu.

Lai pareizi noteiktu funkcijas maksimālo un minimālo punktu, jums jāievēro to atrašanas algoritms:

• atrast definīcijas domēnu;
• atrast funkcijas atvasinājumu šajā apgabalā;
• identificēt nulles un punktus, kur funkcija neeksistē;
• atvasinājuma zīmes noteikšana uz intervāliem;
• atlasiet punktus, kur funkcija maina zīmi.

Apsveriet algoritmu vairāku funkcijas ekstrēmu atrašanas piemēru risināšanas piemērā.

1. piemērs

Atrodiet dotās funkcijas maksimālo un minimālo punktu y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Risinājums

Šīs funkcijas domēns ir visi reālie skaitļi, izņemot x = 2. Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas atvasinājumu un iegūstam:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

No šejienes mēs redzam, ka funkcijas nulles ir x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, tas ir, katrai iekavai jābūt vienādai ar nulli. Atzīmējiet uz skaitļu līnijas un iegūstiet:

Tagad mēs nosakām atvasinājuma zīmes no katra intervāla. Nepieciešams atlasīt intervālā iekļauto punktu, aizstāt to izteiksmē. Piemēram, punkti x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Mēs to sapratām

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, tāpēc intervālam - ∞; - 1 ir pozitīvs atvasinājums. Tāpat iegūstam, ka

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Tā kā otrais intervāls izrādījās mazāks par nulli, tas nozīmē, ka segmenta atvasinājums būs negatīvs. Trešais ar mīnusu, ceturtais ar plusu. Lai noteiktu nepārtrauktību, ir jāpievērš uzmanība atvasinājuma zīmei, ja tā mainās, tad tas ir ekstrēma punkts.

Mēs iegūstam, ka punktā x = - 1 funkcija būs nepārtraukta, kas nozīmē, ka atvasinājums mainīs zīmi no + uz -. Saskaņā ar pirmo zīmi mums ir, ka x = - 1 ir maksimālais punkts, kas nozīmē, ka mēs iegūstam

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punkts x = 5 norāda, ka funkcija ir nepārtraukta, un atvasinājums mainīs zīmi no - uz +. Tādējādi x=-1 ir minimālais punkts, un tā atradumam ir forma

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafiskais attēls

Atbilde: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24 .

Vērts pievērst uzmanību tam, ka pirmās pietiekamās ekstrēma zīmes izmantošana neprasa, lai funkcija būtu diferencējama no punkta x 0, un tas vienkāršo aprēķinu.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 maksimālos un minimālos punktus.

Risinājums.

Funkcijas domēns ir visi reālie skaitļi. To var uzrakstīt kā vienādojumu sistēmu šādā formā:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Tad jums jāatrod atvasinājums:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 g " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punktam x = 0 nav atvasinājuma, jo vienpusējo robežu vērtības ir atšķirīgas. Mēs to saņemam:

lim y "x → 0 - 0 = lim yx → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim yx → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

No tā izriet, ka funkcija ir nepārtraukta punktā x = 0, tad mēs aprēķinām

lim yx → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim yx → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 g (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Ir jāveic aprēķini, lai atrastu argumenta vērtību, kad kļūst par atvasinājumu nulle:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Visi iegūtie punkti ir jāatzīmē uz līnijas, lai noteiktu katra intervāla zīmi. Tāpēc ir nepieciešams aprēķināt atvasinājumu patvaļīgos punktos katram intervālam. Piemēram, mēs varam ņemt punktus ar vērtībām x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Mēs to sapratām

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 g "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 g "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Attēlam uz taisnas līnijas ir forma

Tātad, mēs nonākam pie tā, ka ir jāizmanto pirmā ekstrēma pazīme. Mēs aprēķinām un iegūstam

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , tad no šejienes maksimālajiem punktiem ir vērtības x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pāriesim pie minimumu aprēķināšanas:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Aprēķināsim funkcijas maksimumus. Mēs to sapratām

ymax = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafiskais attēls

Atbilde:

ymin = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ymin = y (0) = - 8 ymin = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 ymax = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ymax = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ja ir dota funkcija f "(x 0) = 0, tad ar tās f "" (x 0) > 0 mēs iegūstam, ka x 0 ir minimālais punkts, ja f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

3. piemērs

Atrodiet funkcijas y = 8 x x + 1 maksimumus un minimumus.

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam definīcijas jomu. Mēs to sapratām

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Ir nepieciešams diferencēt funkciju, pēc kuras mēs iegūstam

y "= 8 xx + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Ja x = 1, atvasinājums kļūst vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka punkts ir iespējamais ekstrēms. Skaidrības labad ir jāatrod otrais atvasinājums un jāaprēķina vērtība pie x \u003d 1. Mēs iegūstam:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Tādējādi, izmantojot ekstrēmuma nosacījumu 2, mēs iegūstam, ka x = 1 ir maksimālais punkts. Pretējā gadījumā ieraksts ir y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Grafiskais attēls

Atbilde: y m a x = y (1) = 4 ..

Funkcijai y = f (x) ir tās atvasinājums līdz n-jai pakāpei dotā punkta x 0 apkārtnē ε un tās atvasinājums līdz n + 1. kārtai punktā x 0 . Tad f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

No tā izriet, ka, ja n ir pāra skaitlis, tad x 0 tiek uzskatīts par lēciena punktu, kad n ir nepāra skaitlis, tad x 0 ir galējības punkts, un f (n + 1) (x 0) > 0, tad x 0 ir minimālais punkts, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

4. piemērs

Atrodiet funkcijas y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 maksimālos un minimālos punktus.

Risinājums

Sākotnējā funkcija ir pilnīgi racionāla, tāpēc no tā izriet, ka definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi. Funkcija ir jādiferencē. Mēs to sapratām

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x–5)

Šis atvasinājums būs nulle pie x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Tas ir, punkti var būt iespējamās ekstremitātes punkti. Nepieciešams piemērot trešo pietiekamo ekstremitāšu nosacījumu. Otrā atvasinājuma atrašana ļauj precīzi noteikt funkcijas maksimuma un minimuma esamību. Otro atvasinājumu aprēķina tā iespējamās ekstremitātes punktos. Mēs to sapratām

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 g "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Tas nozīmē, ka x 2 \u003d 5 7 ir maksimālais punkts. Piemērojot 3 pietiekamus kritērijus, iegūstam, ka n = 1 un f (n + 1) 5 7< 0 .

Ir nepieciešams noteikt punktu raksturu x 1 = - 1, x 3 = 3. Lai to izdarītu, jums jāatrod trešais atvasinājums, jāaprēķina vērtības šajos punktos. Mēs to sapratām

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Tādējādi x 1 = - 1 ir funkcijas lēciena punkts, jo n = 2 un f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Nepieciešams izpētīt punktu x 3 = 3 . Lai to izdarītu, mēs atrodam 4. atvasinājumu un šajā brīdī veicam aprēķinus:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

No iepriekš minētā mēs secinām, ka x 3 \u003d 3 ir funkcijas minimālais punkts.

Grafiskais attēls

Atbilde: x 2 \u003d 5 7 ir maksimālais punkts, x 3 \u003d 3 - dotās funkcijas minimālais punkts.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Nodarbība par tēmu: "Funkciju ekstrēmu punktu atrašana. Piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvie būvniecības uzdevumi 7.-10.klasei
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Ievads.
2. Minimālā un maksimālā punkti.

4. Kā aprēķināt ekstrēmus?
5. Piemēri.

Ievads funkciju galējībās

Puiši, apskatīsim kādas funkcijas grafiku:

Ņemiet vērā, ka mūsu funkcijas y=f (x) darbību lielā mērā nosaka divi punkti x1 un x2. Sīkāk apskatīsim funkcijas grafiku šajos punktos un ap tiem. Līdz punktam x2 funkcija palielinās, punktā x2 ir locījums, un uzreiz pēc šī punkta funkcija samazinās līdz punktam x1. Punktā x1 funkcija atkal saliecas un pēc tam atkal palielinās. Punkti x1 un x2 pagaidām tiks saukti par lēciena punktiem. Zīmēsim pieskares šajos punktos:

Pieskares mūsu punktos ir paralēlas x asij, kas nozīmē, ka pieskares slīpums ir nulle. Tas nozīmē, ka mūsu funkcijas atvasinājums šajos punktos ir nulle.

Apskatīsim šīs funkcijas grafiku:

Pieskares punktos x2 un x1 nevar uzzīmēt. Tādējādi atvasinājums šajos punktos nepastāv. Tagad vēlreiz aplūkosim mūsu punktus abās diagrammās. Punkts x2 ir punkts, kurā funkcija sasniedz maksimālo vērtību kādā apgabalā (netālu no punkta x2). Punkts x1 ir punkts, kurā funkcija sasniedz mazāko vērtību kādā apgabalā (netālu no punkta x1).

Augstākie un zemākie punkti

Definīcija: Punktu x= x0 sauc par funkcijas y=f(x) minimālo punktu, ja ir tāda punkta x0 apkārtne, kurā ir patiesa šāda nevienādība: f(x) ≥ f(x0).

Definīcija: Punktu x=x0 sauc par funkcijas y=f(x) maksimālo punktu, ja ir tāda punkta x0 apkārtne, kurā ir patiesa šāda nevienādība: f(x) ≤ f(x0).

Puiši, kas ir apkārtne?

Definīcija: Punkta apkārtne ir punktu kopa, kas satur mūsu punktu un tuvu tam.

Mēs paši varam definēt apkārtni. Piemēram, punktam x=2 mēs varam definēt apkārtni kā punktus 1 un 3.

Atgriezīsimies pie saviem grafikiem, apskatīsim punktu x2, tas ir lielāks par visiem citiem punktiem no kādas apkārtnes, tad pēc definīcijas tas ir maksimālais punkts. Tagad apskatīsim punktu x1, tas ir mazāks par visiem citiem punktiem no kādas apkaimes, tad pēc definīcijas tas ir minimālais punkts.

Puiši, ieviesīsim apzīmējumu:

Ymin — minimālais punkts,
ymax - maksimālais punkts.

Svarīgs! Puiši, nejauciet maksimālo un minimālo punktu ar funkcijas mazāko un lielāko vērtību. Vismazākās un lielākās vērtības tiek meklētas visā dotās funkcijas definīcijas jomā, un minimālais un maksimālais punkts tiek meklēts kādā apkaimē.

Funkciju galējības

Pastāv vienots minimālo un maksimālo punktu apzīmējums – ekstremālie punkti.

Ekstrēmums (lat. extremum - ekstrēms) - funkcijas maksimālā vai minimālā vērtība noteiktā kopā. Punktu, kurā tiek sasniegts galējais punkts, sauc par galējības punktu.

Attiecīgi, ja tiek sasniegts minimums, ekstrēma punktu sauc par minimālo punktu, un, ja sasniegts maksimums, par maksimālo punktu.

Kā atrast funkcijas ekstrēmus?

Atgriezīsimies pie mūsu diagrammām. Mūsu punktos atvasinājums vai nu pazūd (pirmajā grafikā), vai neeksistē (otrajā grafikā).

Tad mēs varam izteikt svarīgu apgalvojumu: Ja funkcijai y= f(x) ir ekstremitāte punktā x=x0, tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vai nu vienāds ar nulli, vai arī neeksistē.

Tiek izsaukti punkti, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli stacionārs.

Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums neeksistē kritisks.

Kā aprēķināt galējības?

Puiši, atgriezīsimies pie pirmās funkcijas grafika:

Analizējot šo grafiku, mēs teicām: līdz punktam x2 funkcija palielinās, punktā x2 ir lēciens, un pēc šī punkta funkcija samazinās līdz punktam x1. Punktā x1 funkcija atkal saliecas, un pēc tam funkcija atkal palielinās.

Pamatojoties uz šādu argumentāciju, mēs varam secināt, ka funkcija ekstremālajos punktos maina monotonitātes raksturu, un līdz ar to atvasinātā funkcija maina zīmi. Atcerieties, ka, ja funkcija samazinās, tad atvasinājums ir mazāks vai vienāds ar nulli, un, ja funkcija palielinās, tad atvasinājums ir lielāks vai vienāds ar nulli.

Iegūtās zināšanas vispārināsim ar apgalvojumu:

Teorēma: Pietiekams galējības nosacījums: lai funkcija y=f(x) ir nepārtraukta kādā intervālā X un tai intervālā ir stacionārs vai kritiskais punkts x= x0. Pēc tam:

• Ja šim punktam ir apkārtne, kurā f’(x)>0 ir izpildīts x x0, tad punkts x0 ir funkcijas y= f(x) minimālais punkts.
• Ja šim punktam ir tāda apkārtne, kurā x 0 un x> x0 f'(x) nav ekstrēma.

Lai atrisinātu problēmas, atcerieties šādus noteikumus: Ja ir definētas atvasinājumu pazīmes, tad:

Algoritms nepārtrauktas funkcijas y= f(x) izpētei monotonitātei un ekstrēmumam:

• Atrodiet atvasinājumu y'.
• Atrast stacionāros (atvasinājums ir nulle) un kritiskos punktus (atvasinājums neeksistē).
• Ciparu rindā atzīmējiet stacionāros un kritiskos punktus un nosakiet atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos.
• Pamatojoties uz iepriekš minētajiem apgalvojumiem, izdariet secinājumu par ekstrēmu punktu būtību.

Ekstrēmu punktu atrašanas piemēri

1) Atrodiet funkcijas galējos punktus un nosakiet to raksturu: y= 7+ 12*x - x 3

Risinājums: mūsu funkcija ir nepārtraukta, tad mēs izmantosim mūsu algoritmu:
a) y "= 12 - 3x2,
b) y"= 0, pie x = ±2,

Punkts x= -2 ir funkcijas minimālais punkts, punkts x= 2 ir funkcijas maksimālais punkts.
Atbilde: x= -2 - funkcijas minimālais punkts, x= 2 - funkcijas maksimālais punkts.

2) Atrast funkcijas galējos punktus un noteikt to raksturu.

3) Atrodiet funkcijas y= x - 2cos(x) galējos punktus un nosakiet to raksturu, ja -π ≤ x ≤ π.

Risinājums: mūsu funkcija ir nepārtraukta, izmantosim mūsu algoritmu:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) atrodiet vērtības, kurās atvasinājums ir vienāds ar nulli: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
jo -π ≤ x ≤ π, tad: x= -π/6, -5π/6,
c) atzīmē stacionāros punktus uz reālās līnijas un nosaka atvasinājuma zīmes: d) apskatiet mūsu attēlu, kurā parādīti ekstrēmu noteikšanas noteikumi.
Punkts x= -5π/6 ir funkcijas maksimālais punkts.
Punkts x= -π/6 ir funkcijas minimālais punkts.
Atbilde: x= -5π/6 - funkcijas maksimālais punkts, x= -π/6 - funkcijas minimālais punkts.

4) Atrodiet funkcijas galējos punktus un nosakiet to raksturu:

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Funkcijas galējais punkts ir funkcijas domēna punkts, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkciju vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..

Definīcija. Punkts x1 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.

Definīcija. Punkts x2 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām punktos, kas atrodas pietiekami tuvu tai, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x2 minimums.

Teiksim būtību x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Fermā teorēma (nepieciešams kritērijs funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x), tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti .

1. piemērs Apskatīsim funkciju.

Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējības punkts.

Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamām norādēm, kas ļauj spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēmums un kurš - maksimums vai minimums.

Teorēma (pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 f(x) , ja funkcijas atvasinājums maina zīmi, ejot cauri šim punktam, un ja zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad maksimālais punkts, un ja no "mīnus" uz "pluss", tad minimālais punkts. .

Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās kādā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekāda ekstrēma.

Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
3. Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitliskās ass un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no "mīnus" uz "pluss", tad kritiskais punkts ir minimālais punkts.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

2. piemērs Atrodiet funkcijas galējības .

Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:

.

Tā kā jebkurai "x" vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, tad mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:

Ir viens kritisks punkts x= 3. Mēs nosakām atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:

diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnus zīme, tas ir, funkcija samazinās,

diapazonā no 3 līdz plus bezgalībai - plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.

Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.

Atrodiet funkcijas vērtību minimālajā punktā:

Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0) , un tas ir minimālais punkts.

Teorēma (otrais pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x), ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0 ), turklāt, ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Piezīme 1. Ja kādā punktā x0 pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrās pietiekamās zīmes. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas galējībai.

2. piezīme. Otrs pietiekams funkcijas ekstrēma kritērijs nav piemērojams arī tad, ja stacionārajā punktā neeksistē pirmais atvasinājums (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir nepieciešams arī izmantot pirmo pietiekamo kritēriju funkcijas ekstremitātei.

Funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs

No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmumam ir lokāls raksturs - tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām.

Pieņemsim, ka apsverat savus ienākumus viena gada laika posmā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, aprīlī 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir maksimālā peļņas funkcija, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tātad oktobra peļņa ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.

Vispārīgi runājot, funkcijai vienā intervālā var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka jebkurš funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .

Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimums un minimums ir attiecīgi tās maksimālās un minimālās vērtības visā aplūkojamā segmentā. Maksimālajā punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir pietiekami tuvu maksimālajam punktam. tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.

Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš dotās funkcijas ekstrēmu punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimumiem, bet maksimālos punktus par vietējiem maksimālajiem punktiem.

Mēs kopā meklējam funkcijas galējību

3. piemērs

Risinājums Funkcija ir definēta un nepārtraukta veselā skaitļa rindā. Tā atvasinājums eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc iekšā Šis gadījums tikai tie, kuros, t.i., , no kurienes un . Kritiskos punktus un sadaliet visu funkcijas domēnu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem izvēlamies vienu kontrolpunktu un šajā punktā atrodam atvasinājuma zīmi.

Intervālam atskaites punkts var būt: mēs atrodam . Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam , un, ņemot punktu intervālā, mums ir . Tātad, intervālos un , Un intervālā . Saskaņā ar pirmo pietiekamo ekstrēma zīmi punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā ), un funkcijai punktā ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, kad iet garām caur šo punktu). Atrodiet atbilstošās funkcijas vērtības: , un . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā.

Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes un , t.i., ir atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumā).

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.

Funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .

Lai saīsinātu pētījumu, mēs varam izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo . Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam .

Atvasinājuma atrašana un funkcijas kritiskie punkti:

1) ;

2) ,

taču funkcija šajā brīdī tiek pārtraukta, tāpēc tā nevar būt galējības punkts.

Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudām tikai punktu ar otro pietiekamo ekstrēma zīmi. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu un noteikt tās zīmi pie : mēs saņemam . Kopš un , tad ir funkcijas minimālais punkts, while .

Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas domēna robežās:

(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli labajā pusē un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli kreisajā pusē un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam

,

tie. ja tad .

Funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

Kopā turpinām meklēt funkcijas ekstrēmus

8. piemērs Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums. Atrodiet funkcijas domēnu. Tā kā nevienlīdzībai ir jābūt spēkā, mēs iegūstam no .

Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu.